Иерархические уравнения движения

редактировать

Метод Иерархических уравнений движения (HEOM), полученный Йошитакой Танимурой и Риого Кубо в 1989 году, представляет собой непертурбативный подход, разработанный для изучения эволюции матрицы плотности $ρ (t) {\ displaystyle \ rho (t)}$ ${\ displaystyle \ rho (t)}$ of квантовые диссипативные системы. Этот метод может обрабатывать взаимодействие системы и ванны непертурбативно, а также время корреляции немарковского шума без помех типичных допущений, от которых страдают обычные уравнения Редфилда (основные), такие как приближения Борна, Маркова и вращающейся волны. HEOM применима даже при низких температурах, где нельзя пренебречь квантовыми эффектами.

Иерархическое уравнение движения для системы в гармонической марковской ванне:

$∂ ∂ t ρ ^ n = - i (H ^ A + n γ) ρ ^ n - 1 ℏ V ^ × ρ ^ n + 1 + в ℏ Θ ^ ρ ^ n - 1 {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ hat {\ rho}} _ {n} = - i ({\ hat { H}} _ {A} + n \ gamma) {\ hat {\ rho}} _ {n} - {1 \ over \ hbar} {\ hat {V}} ^ {\ times} {\ hat {\ rho }} _ {n + 1} + {in \ over \ hbar} {\ hat {\ Theta}} {\ hat {\ rho}} _ {n-1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ hat {\ rho}} _ {n} = - i ({\ hat {H}} _ {A} + n \ gamma) {\ hat {\ rho}} _ {n} - {1 \ over \ hbar} { \ hat {V}} ^ {\ times} {\ hat {\ rho}} _ {n + 1} + {in \ over \ hbar} {\ hat {\ Theta}} {\ hat {\ rho}} _ {n-1}}$

Содержание

1 Иерархические уравнения Движение
- 1.1 Произвольная спектральная плотность и поправка на низкие температуры
- 1.2 Вычислительные затраты
- 1.3 Реализации
2 См. Также
3 Ссылки

Иерархические уравнения движения

Разработаны HEOM для описания временной эволюции матрицы плотности $ρ (t) {\ displaystyle \ rho (t)}$ ${\ displaystyle \ rho (t)}$ для открытой квантовой системы. Это непертурбативный, немарковский подход к распространению во времени квантового состояния. Руководствуясь формализмом интегралов по путям, представленным Фейнманом и Верноном, Танимура выводит HEOM из комбинации статистических и квантовых динамических методов. Используя двухуровневую спин-бозонную систему, гамильтониан

$H ^ = H ^ A (a ^ +, a ^ -) + V (a ^ +, a ^ -) ∑ jcjx ^ j + ∑ j [p ^ 2 2 + 1 2 x ^ j 2] {\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {H}} _ {A} ({\ hat {a}} ^ {+}, {\ hat {a}} ^ {-}) + V ({\ hat {a}} ^ {+}, {\ hat {a}} ^ {-}) \ sum _ {j} c_ {j} {\ hat {x}} _ {j} + \ sum _ {j} {\ big [} {\ {\ hat {p}} ^ {2} \ over {2}} + {\ frac {1} {2}} {\ hat {x }} _ {j} ^ {2} {\ big]}}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {H}} _ {A} ({\ hat {a}} ^ {+}, {\ hat {a}} ^ {-}) + V ({\ hat {a}} ^ {+}, {\ hat {a}} ^ {-}) \ sum _ {j} c_ {j} {\ hat {x}} _ {j} + \ sum _ {j} {\ big [} {\ {\ hat {p}} ^ {2} \ over {2}} + {\ frac {1} {2}} {\ hat {x}} _ {j} ^ {2} {\ big]}}$

Характеристика фононов ванны спектральной плотностью $J (ω) = ∑ jcj 2 δ (ω - ω j) {\ displaystyle J ( \ omega) = \ sum \ nolimits _ {j} c_ {j} ^ {2} \ delta (\ omega - \ omega _ {j})}$ ${\ displaystyle J (\ omega) = \ sum \ nolimits _ {j} c_ {j} ^ {2} \ delta (\ omega - \ omega _ {j})}$

Путем записи матрицы плотности в виде интеграла по путям и использования Функционал влияния Фейнмана-Вернона, все координаты ванны в членах взаимодействия могут быть сгруппированы в этот функционал влияния, который в некоторых конкретных случаях может быть вычислен в замкнутой форме. Предположим, что термостат с высокой температурой со спектральным распределением Друде $J (ω) = ℏ η γ 2 ω / π (γ 2 + ω 2) {\ displaystyle J (\ omega) = \ hbar \ eta \ gamma ^ { 2} \ omega / \ pi (\ gamma ^ {2} + \ omega ^ {2})}$ ${\ displaystyle J (\ omega) = \ hbar \ эта \ гамма ^ {2} \ омега / \ пи (\ гамма ^ {2} + \ омега ^ {2})}$ и взяв производную по времени от интеграла по путям, формируя матрицу плотности, уравнение и записав его в иерархической форме, получаем

$∂ ∂ T ρ ^ N = - я (H ^ A + n γ) ρ ^ N - 1 ℏ V ^ × ρ ^ n + 1 + в ℏ Θ ^ ρ ^ n - 1 {\ Displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ hat {\ rho}} _ {n} = - i ({\ hat {H}} _ {A} + n \ gamma) {\ hat {\ rho}} _ {n} - {1 \ over \ hbar} {\ hat {V}} ^ {\ times} {\ hat {\ rho}} _ {n + 1} + {in \ over \ hbar} {\ hat { \ Theta}} {\ hat {\ rho}} _ {n-1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ hat {\ rho}} _ {n} = - i ({\ hat {H}} _ {A} + n \ gamma) {\ hat {\ rho}} _ {n} - {1 \ over \ hbar} { \ hat {V}} ^ {\ times} {\ hat {\ rho}} _ {n + 1} + {in \ over \ hbar} {\ hat {\ Theta}} {\ hat {\ rho}} _ {n-1}}$

где $Θ {\ displaystyle \ Theta}$ $\ Theta$ разрушает возбуждение системы и, следовательно, может называться оператор релаксации.

$Θ ^ = - N γ β (V ^ × - я β ℏ γ 2 V ^ ∘) {\ displaystyle {\ hat {\ Theta}} = - {\ frac {n \ gamma} {\ beta}} {\ big (} {\ hat {V}} ^ {\ times} -i {\ frac {\ beta \ hbar \ gamma} {2}} {\ hat {V}} ^ {\ circ} {\ big) }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ Theta}} = - {\ frac {n \ gamma} {\ beta}} {\ big (} {\ hat {V}} ^ {\ times} -i {\ frac {\ beta \ hbar \ gamma} {2}} {\ hat {V}} ^ {\ circ} {\ big)}}$

Второй член в $Θ ^ {\ displaystyle {\ hat {\ Theta}}}$ ${\ hat { \ Theta}}$ - это член поправки на температуру с обратной температурой $β = 1 / k BT {\ displaystyle \ beta = 1 / k_ {B} T}$ ${\ displaystyle \ beta = 1 / k_ {B} T}$ и вводится нотация «гипероператор».

$A ^ × ρ ^ = A ^ ρ ^ - ρ ^ A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}} ^ {\ times} {\ hat {\ rho}} = {\ hat {A}} { \ шляпа {\ rho}} - {\ шляпа {\ rho}} {\ шляпа {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A }} ^ {\ times} {\ hat {\ rho}} = {\ hat {A}} {\ hat {\ rho}} - {\ шляпа {\ rho}} {\ hat {A}}}$

$A ^ ∘ ρ ^ = A ^ ρ ^ + ρ ^ A ^ {\ displaystyle {\ hat {A }} ^ {\ circ} {\ hat {\ rho}} = {\ hat {A}} {\ hat {\ rho}} + {\ hat {\ rho}} {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}} ^ {\ circ} {\ hat {\ rho}} = {\ hat {A}} {\ hat {\ rho}} + {\ hat {\ rho}} {\ hat {A}}}$

Как и в случае стохастического уравнения Лиувилля Кубо в иерархической форме, счетчик $n {\ displaystyle n}$ $n$ может доходить до бесконечности, что является проблемой численно, однако Танимура и Кубо предоставляют метод, с помощью которого бесконечная иерархия может быть усечена до конечного набора $N {\ displaystyle N}$ $N$ дифференциальных уравнений, где $N {\ displaystyle N}$ $N$ определяется некоторым ограничением, чувствительным к характеристики системы, то есть частота, амплитуда колебаний, связь ванны и т. д. «Терминатор» определяет глубину иерархии. Найдено простое соотношение для исключения члена $ρ ^ n + 1 {\ displaystyle {\ hat {\ rho}} _ {n + 1}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} _ {n + 1 }}$ . $ρ ^ N + 1 = - Θ ^ ρ ^ N / ℏ γ {\ displaystyle \ {\ hat {\ rho}} _ {N + 1} = - {\ hat {\ Theta}} {\ hat { \ rho}} _ {N} / \ hbar \ gamma}$ ${\ displaystyle \ {\ hat {\ rho}} _ {N + 1} = - {\ hat {\ Theta}} {\ hat {\ rho}} _ {N} / \ hbar \ гамма}$ . С этим терминатором иерархия замыкается на глубине $N {\ displaystyle N}$ $N$ иерархии последним членом: $∂ ∂ t ρ ^ N = - i (H ^ A + N γ) ρ ^ N - 1 γ ℏ 2 V ^ × Θ ^ ρ ^ N + я N ℏ Θ ^ ρ ^ N - 1 {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ hat { \ rho}} _ {N} = - i ({\ hat {H}} _ {A} + N \ gamma) {\ hat {\ rho}} _ {N} - {1 \ over \ gamma \ hbar ^ {2}} {\ hat {V}} ^ {\ times} {\ hat {\ Theta}} {\ hat {\ rho}} _ {N} + {iN \ over \ hbar} {\ hat {\ Theta }} {\ hat {\ rho}} _ {N-1}}$ ${ \ Displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ hat {\ rho}} _ {N} = - я ({\ hat {H}} _ {A} + N \ gamma) {\ hat {\ rho}} _ {N} - {1 \ over \ gamma \ hbar ^ {2}} {\ hat {V}} ^ {\ times} {\ hat {\ Theta}} {\ hat {\ rho} } _ {N} + {iN \ over \ hbar} {\ hat {\ Theta}} {\ hat {\ rho}} _ {N-1}}$ .

Статистическая природа подхода HEOM позволяет кодировать информацию о шуме ванны и реакции системы в уравнение движения, решающее проблему бесконечной энергии СКВ Кубо путем введения оператора релаксации, обеспечивающего возврат к равновесию.

Произвольная спектральная плотность и поправка на низкие температуры

HEOM может быть получен для множества спектральных распределений, например, функций Друде, Броуновского, лоренцевского и субомического, или даже произвольных функций отклика ванны при любой температуре.

В случае Друде, модифицируя корреляционную функцию, которая описывает функцию корреляции шума, можно иметь дело с сильно немарковскими и непертурбативными взаимодействиями система-ванна. Уравнения движения в этом случае можно записать в виде

$∂ ∂ t ρ ^ n, j 1,.., j K = - [i ℏ H ^ A × + n γ + ∑ k = 1 K (jk ν k - 1 ν k ℏ 2 V ^ × Θ ^ k) + Γ ^ 0] ρ ^ n, j 1,.., j K - i ℏ V ^ × [ρ ^ (n + 1), j 1,.., j K + ∑ k = 1 K ρ ^ n, j 1,.., (j k + 1),.., j K] - i n Θ ^ 0 ρ ^ (n - 1), j 1.. j K - k знак равно 1 K i j k ℏ Θ ^ k ρ ^ n, j 1,.., (j k - 1),.., j К {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ hat {\ rho}} _ {n, j_ {1},.., j_ {K}} = - {\ bigg [} {i \ over \ hbar} {\ hat {H}} _ {A} ^ {\ times} + n \ gamma + \ sum _ {k = 1} ^ {K} (j_ {k} \ nu _ {k} - {1 \ over {\ nu _ {k} \ hbar ^ {2}}} {\ hat {V}} ^ {\ times} {\ hat {\ Theta}} _ {k}) + {\ hat {\ Gamma}} _ {0} {\ bigg]} {\ hat {\ rho}} _ {n, j_ {1},.., j_ {K}} - {i \ over \ hbar} {\ hat {V}} ^ {\ times} {\ bigg [} {\ hat {\ rho}} _ {(n + 1), j_ {1},.., j_ {K} } + \ sum _ {k = 1} ^ {K} {\ hat {\ rho}} _ {n, j_ {1},.., (j_ {k} +1),.., j_ {K} } {\ bigg]} \\ - {in \ over \ hbar} {\ hat {\ Theta}} _ {0} {\ hat {\ rho}} _ {(n-1), j_ {1}..j_ {K}} - \ sum _ {k = 1} ^ {K} {ij_ {k} \ over \ hbar} {\ hat {\ Theta}} _ {k} {\ hat {\ rho}} _ {n, j_ {1},.., (j_ {k} -1),.., j_ {K}} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {выровнено} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ hat {\ rho}} _ {n, j_ {1},.., j_ {K}} = - {\ bigg [} {i \ over \ hbar} {\ hat {H}} _ {A} ^ {\ times} + n \ gamma + \ sum _ {k = 1} ^ {K} (j_ {k} \ nu _ {k} - {1 \ over {\ nu _ {k} \ hbar ^ {2}}} {\ hat {V}} ^ {\ times} {\ hat { \ Theta}} _ {k}) + {\ hat {\ Gamma}} _ {0} {\ bigg]} {\ hat {\ rho}} _ {n, j_ {1},.., j_ {K }} - {i \ over \ hbar} {\ hat {V}} ^ {\ times} {\ bigg [} {\ hat {\ rho}} _ {(n + 1), j_ {1},.., j_ {K}} + \ sum _ {k = 1} ^ {K} {\ hat {\ rho}} _ {n, j_ {1},.., (j_ {k} +1),.., j_ {K}} {\ bigg]} \\ - {in \ over \ hbar} {\ hat {\ Theta}} _ {0} {\ hat {\ rho}} _ {(n-1), j_ {1}.. j_ {K}} - \ sum _ {k = 1} ^ {K} {ij_ {k} \ over \ hbar} {\ hat {\ Theta}} _ {k} {\ hat { \ rho}} _ {n, j_ {1},.., (j_ {k} -1),.., j_ {K}} \ end {align}}}$

В этом уравнении только $ρ ^ 0, 0,..., 0 {\ displaystyle {\ hat {\ rho}} _ {0,0,..., 0}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} _ {0,0,..., 0}}$ содержит весь порядок взаимодействия системной ванны с другими элементами $ρ ^ n, j 1... j K {\ displaystyle {\ hat {\ rho}} _ {n, j_ {1}... j_ {K}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} _ {n, j_ {1}... j_ {K}}}$ вспомогательные термины, углубляющиеся в иерархию, порядок взаимодействий уменьшается, что противоречит обычным пертурбативным трактовкам таких систем. $Θ ^ k = ck V ^ × {\ displaystyle {\ hat {\ Theta}} _ {k} = c_ {k} {\ hat {V}} ^ {\ times}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ Theta}} _ {k} = c_ {k} {\ hat {V}} ^ {\ times}}$ где $ck {\ displaystyle c_ {k}}$ ${\ displaystyle c_ {k} }$ - константа, определяемая в корреляционной функции.

$Γ ^ 0 ≡ η β ℏ 2 (1 - β γ nc 0) V ^ × V ^ × {\ displaystyle {\ hat {\ Gamma}} _ {0} \ Equiv {\ eta \ over {\ beta \ hbar ^ {2}}} {\ big (} 1 - {\ beta \ over \ gamma n} c_ {0} {\ big)} {\ hat {V}} ^ {\ times} {\ hat {V }} ^ {\ times}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ Gamma }} _ {0} \ Equiv {\ eta \ over {\ beta \ hbar ^ {2}}} {\ big (} 1 - {\ beta \ over \ gamma n} c_ {0} {\ big)} { \ hat {V}} ^ {\ times} {\ hat {V}} ^ {\ times}}$

Этот термин $Γ ^ 0 {\ displaystyle {\ hat {\ Gamma}} _ {0}}$ ${\ Displaystyle {\ шляпа {\ Gamma}} _ {0}}$ возникает из введенного исключаемого термина Мацубара к корреляционной функции и, таким образом, содержит информацию о памяти шума.

Ниже указан терминатор для HEOM

$∂ ∂ t ρ ^ n, j 1,..., j K ≃ - (i ℏ H ^ A × - ∑ k = 1 K 1 ν k ℏ 2 V ^ × Θ ^ k + Γ ^ 0) ρ ^ n, j 1,..., j К {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ hat {\ rho}} _ {n, j_ {1},..., j_ {K}} \ simeq - {\ big (} {i \ over \ hbar} {\ hat {H}} _ {A} ^ {\ times} - \ sum _ {k = 1} ^ {K} {1 \ over {\ nu _ {k} \ hbar ^ {2}}} {\ hat {V}} ^ {\ times} {\ hat {\ Theta}} _ {k} + {\ hat {\ Gamma}} _ {0} {\ big)} {\ hat {\ rho}} _ {n, j_ {1},..., j_ {K}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ hat {\ rho}} _ {n, j_ {1 },..., j_ {K}} \ simeq - {\ big (} {i \ over \ hbar} {\ hat {H}} _ {A} ^ {\ times} - \ sum _ {k = 1 } ^ {K} {1 \ over {\ nu _ {k} \ hbar ^ {2}}} {\ hat {V}} ^ {\ times} {\ hat {\ Theta}} _ {k} + { \ hat {\ Gamma}} _ {0} {\ big)} {\ hat {\ rho}} _ {n, j_ {1},..., j_ {K}}}$

Выполняя преобразование Вигнера на этом HEOM, возникает квантовое уравнение Фоккера-Планка с поправочными членами для низких температур.

вычислительные затраты

Когда открытая квантовая система представлена $M {\ displaystyle M}$ $M$ уровнями и $M {\ displaystyle M}$ $M$ ванны с каждой функцией отклика ванны, представленной $K {\ displaystyle K}$ $K$ экспонентами, иерархия с $N {\ displaystyle {\ mathcal { N}}}$ ${\ mathcal {N}}$ слои будут содержать:

$(MK + N)! (M K)! N! {\ displaystyle {\ frac {\ left (MK + {\ mathcal {N}} \ right)!} {\ left (MK \ right)! {\ mathcal {N}}!}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ left (MK + {\ mathcal {N}} \ right)!} {\ left (MK \ right)! {\ mathcal {N}}!}}}$

матриц, каждая с $M 2 {\ displaystyle M ^ {2}}$ $М ^ {2}$ комплексные (содержащие как действительную, так и мнимую части) элементы. Следовательно, ограничивающим фактором в расчетах HEOM является объем требуемой RAM, поскольку, если сохраняется одна копия каждой матрицы, общая необходимая RAM будет:

$16 M 2 (M K + N)! (M K)! N! {\ displaystyle 16M ^ {2} {\ frac {\ left (MK + {\ mathcal {N}} \ right)!} {\ left (MK \ right)! {\ mathcal {N}}!}}}$ ${\ displaystyle 16M ^ {2} {\ frac {\ left (MK + {\ mathcal {N}} \ right)!} {\ left (MK \ right)! { \ mathcal {N}}!}}}$

байтов (при условии двойной точности).

Реализации

Метод HEOM реализован в нескольких свободно доступных кодах. Некоторые из них находятся на веб-сайте Ёситаки Танимура, включая версию для графического процессора, в которой использовались улучшения, представленные в диссертации Дэвида Уилкинса. Версия nanoHUB обеспечивает очень гибкую реализацию. Реализация параллельного ЦП с открытым исходным кодом доступна в группе Schulten.

См. Также

Ссылки