Эрмитская функция

редактировать

сложной функции f (x) такой, что f (-x) = f * (x)

В математическом анализе, эрмитова функция - это комплексная функция со свойством t что его комплексно-сопряженное равно исходной функции с переменной, измененной в знаке :

f * (x) = f (- x) {\ displaystyle f ^ {*} (x) = f (-x)}

{\ displaystyle f ^ {*} (x) = f (-x)}

(где $∗ {\ displaystyle ^ {*}}$ $^ {*}$ указывает комплексное сопряжение) для всех $x {\ displaystyle x}$ $x$ в домене $f {\ displaystyle f}$ $е$ . В физике это свойство упоминается как PT-симметрия.

Это определение распространяется также на функции двух или более переменных, например, в случае, когда $f {\ displaystyle f}$ $е$ является функцией двух переменных, она эрмитова, если

f ∗ (x 1, x 2) = f (- x 1, - x 2) {\ displaystyle f ^ {*} (x_ {1}, x_ {2 }) = f (-x_ {1}, - x_ {2})}

{\ displaystyle f ^ {*} (x_ {1}, x_ {2}) = f (-x_ {1}, - x_ {2})}

для всех пар $(x 1, x 2) {\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$ $(x_ {1}, x_ {2})$ в области $f {\ displaystyle f}$ $е$ .

Из этого определения сразу следует, что: $f {\ displaystyle f}$ $е$ - эрмитова функция тогда и только тогда, когда

действительная часть $f {\ displaystyle f}$ $е$ является четной функцией,
мнимой частью $f {\ displaystyle f}$ $е$ - это нечетная функция.

Мотивация

Эрмитовы функции часто встречаются в математике, физике и обработке сигналов. Например, следующие два утверждения следуют из основных свойств преобразования Фурье:

Функция $f {\ displaystyle f}$ $е$ принимает действительные значения тогда и только тогда, когда преобразование Фурье of $f {\ displaystyle f}$ $е$ является эрмитовым.
Функция $f {\ displaystyle f}$ $е$ эрмитова тогда и только тогда. если преобразование Фурье для $f {\ displaystyle f}$ $е$ является вещественным.

Поскольку преобразование Фурье реального сигнала гарантированно является эрмитовым, оно может быть сжатым с использованием эрмитовой четной / нечетной симметрии. Это, например, позволяет сохранять дискретное преобразование Фурье сигнала (которое в целом является комплексным) в том же пространстве, что и исходный реальный сигнал.

Если f эрмитово, то $f ⋆ g = f * g {\ displaystyle f \ star g = f * g}$ $f \ star g = f * g$ .

где $⋆ {\ displaystyle \ star}$ $\ star$ - это взаимная корреляция, а $∗ {\ displaystyle *}$ $*$ - свертка.

Если и f, и g эрмитовы, то $f ⋆ g = g ⋆ f {\ displaystyle f \ star g = g \ star f}$ $f \ star g = g \ star е$ .

См. Также

Четные и нечетные функции