Лемма Адамара

редактировать

В математике, лемма Адамара, названный в честь Жака Адамара, по существу, форма первого порядка из теоремы Тейлора, в которой мы можем выразить гладкой, вещественная функция точно в удобной форме.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Заявление
- 1.1 Доказательство
2 Последствия и приложения
3 См. Также
4 цитаты
5 ссылки

Заявление

Лемма Адамара - Пусть будет гладкой вещественнозначной функцией, определенной на открытой звездно-выпуклой окрестности точки в -мерном евклидовом пространстве. Тогда это для всех может быть выражено в виде: ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle a}$ $а$ ${\ displaystyle n}$ $п$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ ${\ Displaystyle х \ в U,}$ ${\ Displaystyle х \ в U,}$

${\ displaystyle f (x) = f (a) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (x_ {i} -a_ {i} \ right) g_ {i} (x),}$ ${\ displaystyle f (x) = f (a) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (x_ {i} -a_ {i} \ right) g_ {i} (x),}$ где каждая - гладкая функция на и ${\ displaystyle g_ {i}}$ $g_ {i}$ ${\ displaystyle U,}$ ${\ displaystyle U,}$ ${\ displaystyle a = \ left (a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ right),}$ ${\ displaystyle a = \ left (a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ right),}$ ${\ displaystyle x = \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right).}$ ${\ displaystyle x = \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right).}$
Доказательство
Доказательство -
Пусть Определить по ${\ Displaystyle х \ в U.}$ $х \ в U.$ ${\ Displaystyle ч: [0,1] \ к \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle ч: [0,1] \ к \ mathbb {R}}$
${\ displaystyle h (t) = f (a + t (xa)) \ qquad {\ text {для всех}} t \ in [0,1].}$ ${\ displaystyle h (t) = f (a + t (xa)) \ qquad {\ text {для всех}} t \ in [0,1].}$
потом
${\ displaystyle h '(t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a + t (xa)) \ left (x_ {i} -a_ {i} \ right),}$ ${\ displaystyle h '(t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a + t (xa)) \ left (x_ {i} -a_ {i} \ right),}$ что подразумевает ${\ displaystyle h (1) -h (0) = \ int _ {0} ^ {1} h '(t) \, dt = \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a + t (xa)) \ left (x_ {i} -a_ {i} \ right) \, dt = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (x_ {i} -a_ {i} \ right) \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i} }} (a + t (xa)) \, dt.}$ ${\ displaystyle h (1) -h (0) = \ int _ {0} ^ {1} h '(t) \, dt = \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a + t (xa)) \ left (x_ {i} -a_ {i} \ right) \, dt = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (x_ {i} -a_ {i} \ right) \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i} }} (a + t (xa)) \, dt.}$
Но, кроме того, позволяя ${\ displaystyle h (1) -h (0) = f (x) -f (a),}$ ${\ displaystyle h (1) -h (0) = f (x) -f (a),}$
${\ displaystyle g_ {i} (x) = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a + t (xa)) \, dt, }$ ${\ displaystyle g_ {i} (x) = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a + t (xa)) \, dt, }$ Теорема доказана. ${\ displaystyle \ blacksquare}$ $\ blacksquare$
Последствия и приложения

Следствие - If является гладкой, а затем является гладкой функцией на Явно, этот вывод означает, что функция, которая отправляет в ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f (0) = 0}$ $f (0) = 0$ ${\ displaystyle f (x) / x}$ ${\ displaystyle f (x) / x}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle х \ in \ mathbb {R}}$ $х \ в \ mathbb {R}$
${\ Displaystyle {\ begin {case} е (х) / х amp; {\ текст {if}} х \ neq 0 \\\ lim _ {t \ to 0} f (t) / t amp; {\ text {if}} x = 0 \\\ end {case}}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {case} е (х) / х amp; {\ текст {if}} х \ neq 0 \\\ lim _ {t \ to 0} f (t) / t amp; {\ text {if}} x = 0 \\\ end {case}}}$ - корректно определенная гладкая функция на ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$ Доказательство -
По лемме Адамара, существует какой - то такое, что так, что подразумевает ${\ Displaystyle г \ в С ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle г \ в С ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle f (x) = f (0) + xg (x)}$ ${\ Displaystyle f (x) = f (0) + xg (x)}$ ${\ displaystyle f (0) = 0}$ $f (0) = 0$ ${\ Displaystyle f (x) / x = g (x).}$ ${\ Displaystyle f (x) / x = g (x).}$ ${\ displaystyle \ blacksquare}$ $\ blacksquare$

Следствие - Если различные точки и гладкая функция, которая удовлетворяет то существуют гладкие функции (), удовлетворяющая для каждого таким образом, что ${\ displaystyle y, z \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle y, z \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle f (z) = 0 = f (y)}$ ${\ Displaystyle f (z) = 0 = f (y)}$ ${\ displaystyle g_ {i}, h_ {i} \ in C ^ {\ infty} \ left (\ mathbb {R} ^ {n} \ right)}$ ${\ displaystyle g_ {i}, h_ {i} \ in C ^ {\ infty} \ left (\ mathbb {R} ^ {n} \ right)}$ ${\ Displaystyle я = 1, \ ldots, 3n-2}$ ${\ Displaystyle я = 1, \ ldots, 3n-2}$ ${\ displaystyle g_ {i} (z) = 0 = h_ {i} (y)}$ ${\ displaystyle g_ {i} (z) = 0 = h_ {i} (y)}$ ${\ displaystyle i}$ $я$
${\ displaystyle f = \ sum _ {i} ^ {} g_ {i} h_ {i}.}$ ${\ displaystyle f = \ sum _ {i} ^ {} g_ {i} h_ {i}.}$ Доказательство -
Применяя обратимую аффинную линейную замену координат, без ограничения общности можно предположить, что и По лемме Адамара существуют такие, что Для каждого let где следует Тогда для любого ${\ Displaystyle Z = (0, \ ldots, 0)}$ ${\ Displaystyle Z = (0, \ ldots, 0)}$ ${\ displaystyle y = (0, \ ldots, 0,1).}$ ${\ displaystyle y = (0, \ ldots, 0,1).}$ ${\ displaystyle g_ {1}, \ ldots, g_ {n} \ in C ^ {\ infty} \ left (\ mathbb {R} ^ {n} \ right)}$ ${\ displaystyle g_ {1}, \ ldots, g_ {n} \ in C ^ {\ infty} \ left (\ mathbb {R} ^ {n} \ right)}$ ${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} g_ {i} (x).}$ ${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} g_ {i} (x).}$ ${\ Displaystyle я = 1, \ ldots, п,}$ ${\ Displaystyle я = 1, \ ldots, п,}$ ${\ Displaystyle \ альфа _ {я}: = г_ {я} (у)}$ ${\ Displaystyle \ альфа _ {я}: = г_ {я} (у)}$ ${\ displaystyle 0 = f (y) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} y_ {i} g_ {i} (y) = g_ {n} (y)}$ ${\ displaystyle 0 = f (y) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} y_ {i} g_ {i} (y) = g_ {n} (y)}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {n} = 0.}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {n} = 0.}$ ${\ displaystyle x = \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {n},}$ ${\ displaystyle x = \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {n},}$
${\ displaystyle {\ begin {alignat} {8} f (x) amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} g_ {i} (x) amp;amp; \\ amp; = \ sum _ { i = 1} ^ {n} \ left [x_ {i} \ left (g_ {i} (x) - \ alpha _ {i} \ right) \ right] + \ sum _ {i = 1} ^ {n -1} \ left [x_ {i} \ alpha _ {i} \ right] amp;amp; \ quad {\ text {using}} g_ {i} (x) = \ left (g_ {i} (x) - \ alpha _ {i} \ right) + \ alpha _ {i} {\ text {and}} \ alpha _ {n} = 0 \\ amp; = \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ { i} \ left (g_ {i} (x) - \ alpha _ {i} \ right) \ right] + \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {n-1} x_ {i} x_ {n } \ alpha _ {i} \ right] + \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {n-1} x_ {i} \ left (1-x_ {n} \ right) \ alpha _ {i} \ right] amp;amp; \ quad {\ text {using}} x_ {i} = x_ {n} x_ {i} + x_ {i} \ left (1-x_ {n} \ right). \\\ end {выровнено }}}$ ${\ displaystyle {\ begin {alignat} {8} f (x) amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} g_ {i} (x) amp;amp; \\ amp; = \ sum _ { i = 1} ^ {n} \ left [x_ {i} \ left (g_ {i} (x) - \ alpha _ {i} \ right) \ right] + \ sum _ {i = 1} ^ {n -1} \ left [x_ {i} \ alpha _ {i} \ right] amp;amp; \ quad {\ text {using}} g_ {i} (x) = \ left (g_ {i} (x) - \ alpha _ {i} \ right) + \ alpha _ {i} {\ text {and}} \ alpha _ {n} = 0 \\ amp; = \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ { i} \ left (g_ {i} (x) - \ alpha _ {i} \ right) \ right] + \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {n-1} x_ {i} x_ {n } \ alpha _ {i} \ right] + \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {n-1} x_ {i} \ left (1-x_ {n} \ right) \ alpha _ {i} \ right] amp;amp; \ quad {\ text {using}} x_ {i} = x_ {n} x_ {i} + x_ {i} \ left (1-x_ {n} \ right). \\\ end {выровнено }}}$ Каждый из приведенных выше терминов имеет желаемые свойства. ${\ displaystyle 3n-2}$ ${\ displaystyle 3n-2}$ ${\ displaystyle \ blacksquare}$ $\ blacksquare$
Смотрите также

Функция Bump - плавная и компактная функция

Непрерывно дифференцируемый

Гладкость - свойство, измеряющее, сколько раз функция может быть дифференцирована.

Теорема Тейлора - приближение функции усеченным степенным рядом

Цитаты

Рекомендации

Неструев, Джет (2002). Гладкие многообразия и наблюдаемые. Берлин: Springer. ISBN 0-387-95543-7.

Неструев, Джет (10 сентября 2020 г.). Гладкие многообразия и наблюдаемые. Тексты для выпускников по математике. 220. Чам, Швейцария: Springer Nature. ISBN 978-3-030-45649-8. OCLC 1195920718. CS1 maint: дата и год ( ссылка )