Теорема Гизина – Хьюстона – Джозсы – Вуттерса

редактировать

В квантовой теории информации и квантовая оптика, Гизин – Хьюстон – Джоз a – Wootters (GHJW ) Теорема является результатом реализации смешанного состояния квантовой системы как ансамбля чистых квантовых состояний и связи между соответствующими очищениями операторов плотности . Теорема названа в честь физиков и математиков Николаса Гизина, Лейна П. Хьюстона, Ричарда Джозсы и Уильяма Вуттерса, хотя многое из этого была основана десятилетиями ранее Эрвином Шредингером. Результат был также независимо обнаружен Николасом Хаджисаввасом на основе работы Эда Джейнса, в то время как значительная его часть была также независимо обнаружена Н. Дэвид Мермин. Благодаря своей сложной истории, она также известна как теорема HJW и теорема Шредингера – HJW .

Очистка смешанного квантового состояния

Рассмотрим смешанное состояние $ρ = ∑ ipi | ϕ i⟩ ⟨ϕ i | {\ displaystyle \ rho = \ sum _ {i} p_ {i} | \ phi _ {i} \ rangle \ langle \ phi _ {i} |}$ ${\ displaystyle \ rho = \ sum _ {i} p_ {i} | \ phi _ {i} \ rangle \ langle \ phi _ {i} |}$ системы $S {\ displaystyle S}$ $S$ , где состояния $| ϕ я⟩ {\ displaystyle | \ phi _ {i} \ rangle}$ $| \ phi _ {i} \ rangle$ не считаются взаимно ортогональными. Мы можем добавить вспомогательное пространство $H A {\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {A}}$ с ортонормированным базисом ${| a i⟩} {\ displaystyle \ {| a_ {i} \ rangle \}}$ ${\ displaystyle \ {| a_ {i} \ rangle \}}$ , тогда смешанное состояние может быть получено как оператор уменьшенной плотности из чистого двудольного состояния

| Ψ S A⟩ = ∑ i p i | ϕ i⟩ | а я⟩. {\ displaystyle | \ Psi _ {SA} \ rangle = \ sum _ {i} {\ sqrt {p_ {i}}} | \ phi _ {i} \ rangle | a_ {i} \ rangle.}

{\ displaystyle | \ Psi _ {SA } \ rangle = \ sum _ {i} {\ sqrt {p_ {i}}} | \ phi _ {i} \ rangle | a_ {i} \ rangle.}

Точнее, $ρ = T r A | Ψ S A⟩ ⟨Ψ S A | {\ displaystyle \ rho = \ mathrm {Tr} _ {A} | \ Psi _ {SA} \ rangle \ langle \ Psi _ {SA} |}$ ${\ displaystyle \ rho = \ mathrm {Tr} _ {A} | \ Psi _ {SA} \ rangle \ langle \ Psi _ {SA} |}$ . Государство $| Ψ S A⟩ {\ displaystyle | \ Psi _ {SA} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ Psi _ {SA} \ rangle}$ , таким образом, называется очищением $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ . Поскольку вспомогательное пространство и базис могут быть выбраны произвольно, очистка смешанного состояния не является единственной; на самом деле существует бесконечно много очищений данного смешанного состояния.

Теорема GHJW

Рассмотрим смешанное квантовое состояние $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ с двумя разными реализациями как ансамбль чистых состояний как $ρ = ∑ ipi | ϕ i⟩ ⟨ϕ i | {\ displaystyle \ rho = \ sum _ {i} p_ {i} | \ phi _ {i} \ rangle \ langle \ phi _ {i} |}$ ${\ displaystyle \ rho = \ sum _ {i} p_ {i} | \ phi _ {i} \ rangle \ langle \ phi _ {i} |}$ и $ρ = ∑ j q j | φ j⟩ ⟨φ j | {\ displaystyle \ rho = \ sum _ {j} q_ {j} | \ varphi _ {j} \ rangle \ langle \ varphi _ {j} |}$ ${\ displaystyle \ rho = \ sum _ {j} q_ {j} | \ varphi _ {j} \ rangle \ langle \ varphi _ {j} |}$ . Здесь оба $| ϕ я⟩ {\ displaystyle | \ phi _ {i} \ rangle}$ $| \ phi _ {i} \ rangle$ и $| φ j⟩ {\ displaystyle | \ varphi _ {j} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ varphi _ {j} \ rangle}$ не считаются взаимно ортогональными. Будет две соответствующих очистки смешанного состояния $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ со следующим значением:

Purification 1:

| Ψ S A 1⟩ = ∑ i p i | ϕ i⟩ | ai⟩ {\ displaystyle | \ Psi _ {SA} ^ {1} \ rangle = \ sum _ {i} {\ sqrt {p_ {i}}} | \ phi _ {i} \ rangle | a_ {i} \ rangle}

{\ displaystyle | \ Psi _ {SA} ^ {1} \ rangle = \ sum _ {i} {\ sqrt {p_ {i}}} | \ phi _ {i} \ rangle | a_ { я} \ rangle}

;

Очищение 2:

| Ψ S A 2⟩ = ∑ j q j | φ j⟩ | bj⟩ {\ displaystyle | \ Psi _ {SA} ^ {2} \ rangle = \ sum _ {j} {\ sqrt {q_ {j}}} | \ varphi _ {j} \ rangle | b_ {j} \ rangle}

{\ displaystyle | \ Psi _ {SA} ^ {2} \ rangle = \ sum _ {j} {\ sqrt {q_ {j}}} | \ varphi _ {j } \ rangle | b_ {j} \ rangle}

Наборы ${| а я⟩} {\ displaystyle \ {| a_ {i} \ rangle \}}$ ${\ displaystyle \ {| a_ {i} \ rangle \}}$ и ${| b j⟩} {\ displaystyle \ {| b_ {j} \ rangle \}}$ ${\ displaystyle \ {| b_ {j} \ rangle \}}$ - два набора ортонормированных базисов соответствующих вспомогательных пространств. Эти два очищения отличаются только унитарным преобразованием, действующим во вспомогательном пространстве, а именно, существует унитарная матрица $U A {\ displaystyle U_ {A}}$ $U_ {A}$ такая, что $| Ψ S A 1⟩ = I ⊗ U A | Ψ S A 2⟩ {\ displaystyle | \ Psi _ {SA} ^ {1} \ rangle = I \ otimes U_ {A} | \ Psi _ {SA} ^ {2} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ Psi _ {SA} ^ {1} \ rangle = I \ oti mes U_ {A} | \ Psi _ {SA} ^ {2} \ rangle}$ . Следовательно, $| Ψ S A 1⟩ = ∑ j q j | φ i⟩ ⊗ U A | bj⟩ {\ displaystyle | \ Psi _ {SA} ^ {1} \ rangle = \ sum _ {j} {\ sqrt {q_ {j}}} | \ varphi _ {i} \ rangle \ otimes U_ {A} | b_ {j} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ Psi _ {SA} ^ {1} \ rangle = \ sum _ {j} {\ sqrt {q_ {j}}} | \ varphi _ {i} \ rangle \ otimes U_ {A} | b_ {j} \ rangle}$ , что означает, что мы можем реализовать различные ансамбли смешанного состояния, просто выбрав для измерения разные наблюдаемые для одного данного очищения.

Ссылки