Геометрически необходимые дислокации

Геометрически необходимые дислокации имеют одинаковые знаки дислокации, необходимые для компенсации пластического изгиба в кристаллический материал. Они присутствуют, когда пластическая деформация материала сопровождается внутренними градиентами пластической деформации. Они отличаются от статистически сохраненных дислокаций со статистикой равных положительных и отрицательных знаков, которые возникают во время пластического течения в результате процессов размножения, таких как источник Франка-Рида.

• 1 Дислокации в кристаллических материалах
  • 1.1 Статистически сохраненные дислокации
  • 1.2 Геометрически необходимые дислокации
• 2 Концепция
  • 2.1 Монокристалл
  • 2.2 Поликристаллический материал
• 3 Тензор Ная
• 4 Измерение
• 5 Применение
• 6 Ссылки

Статистически сохраненные дислокации

По мере развития деформации плотность дислокаций увеличивается, а подвижность дислокаций уменьшается во время пластического течения. Есть разные способы накопления дислокаций. Многие дислокации накапливаются в результате размножения, когда дислокации встречаются друг с другом случайно. Дислокации, хранящиеся в таких прогрессиях, называются статистически сохраненными дислокациями с соответствующей плотностью $\rho \; s\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{s\}\}$. Другими словами, это дислокации, возникшие в результате случайных процессов захвата во время пластической деформации.

Геометрически необходимые дислокации

В дополнение к статистически сохраненной дислокации, геометрически необходимые дислокации накапливаются в полях градиента деформации, вызванных геометрическими причинами. ограничения кристаллической решетки. В этом случае пластическая деформация сопровождается внутренними градиентами пластической деформации. Теория геометрически необходимых дислокаций была впервые введена Най в 1953 году. Поскольку геометрически необходимые дислокации присутствуют в дополнение к статистически сохраненным дислокациям, общая плотность - это накопление двух плотностей, например $\rho \; s\; +\; \rho \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{s\}\; +\; \backslash \; rho\; \_\; \{g\}\}$, где $\rho \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{g\}\}$- плотность геометрически необходимых дислокаций.

Монокристалл

Пластический изгиб монокристалла можно использовать для иллюстрации концепции геометрически необходимой дислокации, когда плоскости скольжения и ориентации кристаллов параллельны направление изгиба. Идеальный (недеформированный) кристалл имеет длину $l\; \{\backslash \; displaystyle\; l\}$и толщину $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$. Когда кристаллический стержень изгибается до радиуса кривизны $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, образуется градиент деформации, когда деформация растяжения возникает в верхней части кристаллического стержня, увеличивая длину верхнего поверхность от $l\; \{\backslash \; displaystyle\; l\}$до $l\; +\; dl\; \{\backslash \; displaystyle\; l\; +\; dl\}$. Здесь $d\; l\; \{\backslash \; displaystyle\; dl\}$положительно, и его величина предполагается равной $t\; \theta \; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; theta\; /\; 2\}$. Точно так же длина противоположной внутренней поверхности уменьшается с $l\; \{\backslash \; displaystyle\; l\}$до $l\; -\; dl\; \{\backslash \; displaystyle\; l-dl\}$из-за деформация сжатия, вызванная изгибом. Таким образом, градиент деформации - это разность деформации между внешней и внутренней поверхностями кристалла, деленная на расстояние, на котором существует градиент

$straingradient\; =\; 2\; dl\; /\; lt\; =\; 2\; t\; \theta \; /\; 2\; lt\; =\; \theta \; l\; \{\backslash \; displaystyle\; stress\; \backslash \; gradient\; =\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{dl\; /\; l\}\; \{t\}\}\; =\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{t\; \backslash \; theta\; /\; 2l\}\; \{t\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{l\}\}\}$. Поскольку $l\; =\; r\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; l\; =\; r\; \backslash \; theta\}$, $straingradient\; =\; 1\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; stretch\; \backslash \; gradient\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\}$.

Рисунок для объяснения образования геометрически необходимых дислокаций в монокристалле

Длина поверхности, деленная на межатомное расстояние, и есть количество кристаллических плоскостей на этой поверхности. Межатомный интервал $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$равен величине вектора Бюргерса $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$. Таким образом, количество кристаллических плоскостей на внешней (растягивающей) поверхности и внутренней (сжатой) поверхности составляет $(l\; +\; dl)\; /\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; (l\; +\; dl)\; /\; b\}$и $(l\; -\; dl)\; /\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; (l-dl)\; /\; b\}$соответственно. Поэтому вводится понятие геометрически необходимых дислокаций, согласно которому краевые дислокации одного знака компенсируют разницу в количестве атомных плоскостей между поверхностями. Плотность геометрически необходимых дислокаций $\rho \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{g\}\}$- это разница, деленная на площадь поверхности кристалла

$\rho \; g\; =\; (l\; +\; dl)\; /\; b\; -\; (l\; -\; dl)\; /\; blt\; =\; 2\; dlltb\; =\; 1\; rb\; =\; straingradientb\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{g\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(l\; +\; dl)\; /\; b-\; (l-dl)\; /\; b\}\; \{lt\}\}\; =\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{dl\}\; \{ltb\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{rb\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{stretch\; \backslash \; gradient\}\; \{b\}\}\}$.

Точнее, ориентация плоскости скольжения и направление относительно изгиба следует учитывать при расчете плотности геометрически необходимых дислокаций. В частном случае, когда нормали плоскости скольжения параллельны оси изгиба, а направления скольжения перпендикулярны этой оси, в процессе изгиба происходит обычное скольжение дислокации вместо геометрически необходимой дислокации. Таким образом, постоянная порядка единицы $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$включена в выражение для плотности геометрически необходимых дислокаций

$\rho \; g\; =\; \alpha \; straingradientb\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{\; g\}\; =\; \backslash \; alpha\; \{\backslash \; frac\; \{Деформация\; \backslash \; gradient\}\; \{b\}\}\}$.

Поликристаллический материал

Между соседними зернами поликристаллического материала геометрически необходимые дислокации могут обеспечить совместимость смещений за счет адаптации к деформации каждого кристалла градиент. Эмпирически можно сделать вывод, что такие области дислокаций существуют, потому что кристаллиты в поликристаллическом материале не имеют пустот или перекрывающихся сегментов между ними. В такой системе плотность геометрически необходимых дислокаций можно оценить, рассматривая среднее зерно. Перекрытие между двумя соседними зернами пропорционально $\epsilon \; ¯\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\; d\}$, где $\epsilon \; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\; \}$- средняя деформация, а $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$- диаметр зерна. Смещение $dl\; \{\backslash \; displaystyle\; dl\}$пропорционально $\epsilon \; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\}$, умноженному на измерительную длину, которая принимается как $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$для поликристалла. Разделив его на вектор Бюргерса, b, получим количество дислокаций и разделим на площадь ($\cong \; d\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cong\; d\; ^\; \{2\}\}$) дает плотность

$\rho \; g\; \cong \; \epsilon \; ¯\; bd\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{g\}\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\; \{bd\}\}\}$

, которая с учетом геометрических соображений может быть уточнено до

$\rho \; g\; =\; \epsilon \; ¯\; 4\; bd\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{g\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\; \{4bd\}\}\}$.

Най ввел набор тензоров (так называемый тензор Ная) для вычисления геометрически необходимой плотности дислокаций.

Для трехмерных дислокаций в кристалле с учетом области, где влияние дислокаций усредняется (т. Е. кристалл достаточно большой). Дислокации можно определить по векторам Бюргерса. Если схема Бюргерса с единичной площадью, нормальной к единичному вектору $lj\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{j\}\}$, имеет вектор Бюргерса $B\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{i\}\}$

$В\; я\; =\; \alpha \; ijlj\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{ij\}\; l\_\; \{j\}\}$($i,\; j\; =\; 1,\; 2,\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; i,\; j\; =\; 1,2,3\}$)

где коэффициент $\alpha \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{ij\}\}$- тензор Ная, относящийся к единичному вектору $lj\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{j\; \}\}$и вектор Бюргерса $B\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{i\}\}$. Этот тензор второго ранга определяет дислокационное состояние особой области.

Предположим, $B\; i\; =\; bi\; (nrjlj)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{i\}\; =\; b\_\; \{i\}\; (nr\_\; \{j\}\; l\_\; \{j\})\}$, где $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- единичный вектор, параллельный дислокациям, и $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$- вектор Бюргерса, n - количество единиц пересечения дислокаций. область, нормальная к $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$. Таким образом, $\alpha \; i\; j\; =\; n\; b\; i\; r\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{ij\}\; =\; nb\_\; \{i\}\; r\_\; \{j\}\}$. Итого $\alpha \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{ij\}\}$- это сумма всех различных значений $nbirj\; \{\backslash \; displaystyle\; nb\_\; \{i\}\; r\_\; \{j\}\}$. Предположим, что тензор второго ранга $kij\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{ij\}\}$для описания кривизны решетки, $d\; \varphi \; i\; =\; kijdxj\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; phi\; \_\; \{i\}\; =\; k\_\; \{ij\}\; dx\_\; \{j\}\}$, где $d\; \varphi \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; phi\; \_\; \{i\}\}$- небольшие повороты решетки вокруг трех осей и $dxj\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\_\; \{j\}\}$- вектор смещения. Можно доказать, что $kij\; =\; \alpha \; ji\; -\; 1\; 2\; \delta \; ij\; \alpha \; kk\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{ji\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{kk\}\}$где $\delta \; ij\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; =\; 1\}$для $i\; =\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; j\}$и $\delta \; ij\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; =\; 0\}$для $i\; \ne \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; neq\; j\; \}$.

Уравнения равновесия дают $\partial \; \alpha \; ij\; \partial \; xj\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\; \_\; \{ij\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}\; =\; 0\}$. Поскольку $kij\; =\; \partial \; \varphi \; i\; \partial \; xj\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{ij\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; phi\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}\}$, поэтому $\partial \; kij\; \partial \; xk\; =\; \partial \; 2\; \partial \; xj\; \partial \; xk\; \varphi \; i\; =\; \partial \; kik\; \partial \; xj\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; k\_\; \{ij\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{k\}\}\}\; =\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\; \backslash \; partial\; x\_\; \{k\}\}\; \backslash \; phi\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; k\_\; \{ik\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}\}$. Заменяя $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$на $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, $\partial \; \alpha \; ji\; \partial \; xk\; -\; \partial \; \alpha \; ki\; \partial \; xj\; =\; 1\; 2\; (\delta \; ij\; \partial \; \alpha \; ll\; \partial \; xk\; -\; \delta \; ik\; \partial \; \alpha \; ll\; \partial \; xj)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\; \_\; \{ji\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{k\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\; \_\; \{ki\}\; \}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\; \_\; \{ll\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{k\}\}\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{ik\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\; \_\; \{ll\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\})\}$. Из-за нулевого решения для уравнений с $j\; =\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; =\; k\}$равны нулю и симметрии $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$и $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, из всех двадцати семи возможных перестановок $i,\; j,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; i,\; j,\; k\}$<66 остается только девять независимых уравнений>. Тензор Ная $\alpha \; i\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{ij\}\}$можно определить с помощью этих девяти дифференциальных уравнений.

Таким образом, потенциал дислокации можно записать как $W\; =\; 1\; 2\; \alpha \; ijkij\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{ij\}\; k\_\; \{ij\}\}$, где $\partial \; W\; \partial \; kij\; =\; 1\; 2\; \alpha \; ij\; +\; 1\; 2\; \partial \; \alpha \; kl\; \partial \; kijkkl\; =\; 1\; 2\; \alpha \; ij\; +\; 1\; 2\; kji\; -\; 1\; 2\; \delta \; ijkkk\; =\; \alpha \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; W\}\; \{\backslash \; partial\; k\_\; \{ij\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{ij\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\; \_\; \{kl\}\}\; \{\backslash \; partial\; k\_\; \{ij\}\}\}\; k\_\; \{kl\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{ij\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; k\_\; \{ji\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; k\_\; \{kk\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{ij\}\}$.

В испытании на одноосное растяжение в основном выполнялись для получения зависимости напряжения от деформации и соответствующих механических свойств объемных образцов. Однако существует дополнительное хранилище дефектов, связанных с неоднородной пластической деформацией в геометрически необходимых дислокациях, и только обычные макроскопические испытания, например Испытания на одноосное растяжение недостаточно для выявления эффектов таких дефектов, например градиент пластической деформации. Кроме того, геометрически необходимые дислокации находятся в микронном масштабе, где обычное испытание на изгиб, выполненное в миллиметровом масштабе, не может обнаружить эти дислокации.

Только после изобретения методов с пространственным и угловым разрешением для измерения искажения решетки за счет обратного рассеяния электронов дифракция Адамса и др. в 1997 г. стало возможным экспериментальное измерение геометрически необходимых дислокаций. Например, Sun et al. в 2000 г. изучали характер кривизны решетки вблизи границы раздела деформированных бикристаллов алюминия с помощью дифракционной ориентационной микроскопии. Таким образом, наблюдение геометрически необходимых дислокаций осуществлялось с использованием данных кривизны.

Но из-за экспериментальных ограничений плотность геометрически необходимой дислокации для общего состояния деформации было трудно измерить до тех пор, пока метод нижней границы не был введен Kysar et al. в 2010 г. Они изучили вдавливание клина под углом 90 градусов в единый кристалл никеля (а позже включенные углы 60 и 120 градусов были также доступны Dahlberg et al.). Сравнивая ориентацию кристаллической решетки в конфигурации после деформации с недеформированным однородным образцом, они смогли определить вращение решетки в плоскости и обнаружили, что оно на порядок больше, чем вращение решетки вне плоскости, таким образом демонстрируя предположение о плоской деформации.

Тензор плотности дислокаций Най имеет только две ненулевые компоненты из-за состояния двумерной деформации, и они могут быть получены из измерений вращения решетки. Поскольку линейная зависимость между двумя компонентами тензора Ная и плотностями геометрически необходимых дислокаций обычно недооценивается, общая плотность геометрически необходимых дислокаций минимизируется при соблюдении этой зависимости. Это решение с нижней границей представляет собой минимальную геометрически необходимую плотность дислокаций в деформированном кристалле, согласующуюся с измеренной геометрией решетки. А в областях, где, как известно, действуют только одна или две эффективные системы скольжения, решение с нижней границей сводится к точному решению для геометрически необходимых плотностей дислокаций.

Поскольку $\rho \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{g\}\}$является дополнением к плотности статистически сохраненных дислокаций $\rho \; s\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{s\}\}$, увеличение плотности дислокаций из-за размещения поликристаллов приводит к эффекту размера зерна во время деформационного упрочнения ; то есть поликристаллы с более мелкими зернами будут иметь тенденцию к деформационному упрочнению быстрее.

Геометрически необходимые дислокации могут обеспечить упрочнение, причем в разных случаях существуют два механизма. Первый механизм обеспечивает макроскопическое изотропное упрочнение за счет локального взаимодействия дислокаций, например образование ступеньки при прорезании существующей геометрически необходимой дислокации движущейся дислокацией. Второй механизм - кинематическое упрочнение за счет накопления дальнодействующих обратных напряжений.

Геометрически необходимые дислокации могут снижать свою свободную энергию, накладываясь одна на другую (см. Напряжения дислокации-дислокации) и образовывать малоугловые границы наклона. Это движение часто требует, чтобы дислокации поднялись в разные плоскости скольжения, поэтому часто требуется отжиг при повышенной температуре. В результате дуга превращается из непрерывно изогнутой в дискретную с перегибами на границах под небольшим углом наклона.