Общий процесс продления

В математической теории вероятности, обобщенный процесс восстановления (GRP) или процесс G-обновление является процесс стохастический точка используется для модели отказа / ремонта поведения восстанавливаемых систем в надежности техники. Точечный процесс Пуассона - это частный случай GRP.

• 1 Вероятностная модель
  • 1.1 Виртуальный век
  • 1.2 Уравнение G-восстановления
• 2 Статистическая оценка
  • 2.1 подход Монте-Карло
  • 2.2 Подход максимального правдоподобия
  • 2.3 Метод регуляризации при оценке параметров ВРП
• 3 ссылки

Виртуальный век

Киджима и Сумита представили процесс G-обновления через понятие виртуального века.

${\ displaystyle y_ {i} = qt_ {i}}$

где:

${\ displaystyle t_ {i}}$и - реальный и виртуальный возраст (соответственно) системы на момент / после i- ^го ремонта,${\ displaystyle y_ {i}}$

${\ displaystyle q}$является фактором восстановления (ака, ремонт фактор эффективности),

${\ displaystyle q = 0}$, представляет состояние безупречного ремонта, при котором возраст системы сбрасывается до нуля после ремонта. Это условие соответствует обычному процессу продления.

${\ displaystyle q = 1}$, представляет собой состояние минимального ремонта, при котором состояние системы после ремонта остается таким же, как и перед ремонтом. Это условие соответствует неоднородному пуассоновскому процессу.

${\ displaystyle 0 lt;q lt;1}$, представляет собой состояние общего ремонта, при котором состояние системы находится между идеальным ремонтом и минимальным ремонтом. Это условие соответствует Общему процессу продления.

Каминский и Кривцов расширили модели Кидзима, допустив q  gt; 1, так что ремонт повреждает (стареет) систему в большей степени, чем это было непосредственно перед соответствующим отказом.

Уравнение G-восстановления

Математически процесс G-обновления количественно оценивается путем решения уравнения G-обновления:

${\ Displaystyle W (t) = \ int _ {0} ^ {t} (g (\ tau \ mid 0) + \ int _ {0} ^ {\ tau} w (x) \ cdot (g (\ tau -x \ mid x) \, dx) \, d \ tau}$

где,

${\ Displaystyle г (\ тау \ середина х) = {\ гидроразрыва {(т + qx, \ theta)} {1-F (qx, \ theta)}}}$ ${\ Displaystyle т, х \ geq 0}$

${\ Displaystyle ш (х) = {\ гидроразрыва {dW (x)} {dx}}}$

f ( t) - функция плотности вероятности (PDF) основного распределения времени отказа,

F ( t) - кумулятивная функция распределения (CDF) основного распределения времени отказа,

q - коэффициент восстановления,

${\ displaystyle {\ theta}}$ - вектор параметров основного распределения времени отказа.

Закрытые формы решения уравнения G-обновления не представляется возможным. Кроме того, численные приближения трудно получить из-за рекуррентного бесконечного ряда. Монте - Карло на основе подхода к решению G-обновление Equation была разработана Kaminiskiy и Кривцов.

Процесс G-восстановления приобрел практическую популярность в проектировании надежности только после того, как стали доступны методы оценки его параметров.

Подход Монте-Карло

Оценка нелинейного LSQ процесса обновления G-была впервые предложена на Каминского amp; Кривцова. Случайное время между прибытиями из параметризованного процесса G-Renewal определяется как:

${\ displaystyle X_ {i} = F ^ {- 1} (1-U_ {i} [1-F (qS_ {i-1})]) - qS_ {i-1}}$

где,

${\ displaystyle S_ {i-1}}$- совокупный реальный возраст до i- ^го прибытия,

${\ displaystyle U_ {i}}$ - равномерно распределенная случайная величина,

${\ displaystyle F}$- CDF основного распределения времени отказа.

Впоследствии решение Монте-Карло было улучшено и реализовано в виде веб-ресурса.

Подход максимального правдоподобия

В максимальном правдоподобии процедура была впоследствии обсуждена Yañez, и др. al, и Mettas amp; Zhao. Оценка фактора восстановления G – возобновления была подробно рассмотрена Kahle amp; Love.

Метод регуляризации в оценке параметров ВРП

Оценка параметров процесса G-обновления является некорректно поставленной обратной задачей, и поэтому решение может быть не единственным и чувствительным к входным данным. Кривцов и Евкин предложили сначала оценить основные параметры распределения, используя только время до первых отказов. Затем полученные параметры используются в качестве начальных значений для второго шага, на котором все параметры модели (включая коэффициент (ы) восстановления) оцениваются одновременно. Такой подход позволяет, с одной стороны, избежать нерелевантных решений (неправильных локальных максимумов или минимумов целевой функции), а с другой стороны, повысить скорость вычислений, поскольку количество итераций существенно зависит от выбранных начальных значений.