Обобщенная линейная смешанная модель

В статистика, обобщенная линейная смешанная модель (GLMM) является расширением обобщенной линейной модели (GLM), в которой линейный предиктор содержит случайные эффекты в дополнение к обычным фиксированные эффекты. Они также унаследовали от GLM идею расширения линейных смешанных моделей на данные, отличные от нормальных.

GLM-модели предоставляют широкий спектр моделей для анализа сгруппированных данных, поскольку различия между группами можно моделировать как случайный эффект. Эти модели полезны при анализе многих видов данных, включая продольные данные.

• 1 Модель
• 2 Подбор модели
• 3 Программное обеспечение
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

GLMM обычно определяются как такие, которые обусловлены случайными эффектами, $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$, зависимой переменной, $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$, распределяется согласно экспоненциальному семейству.

$ln\; \; p\; (y\; |\; u)\; =\; \sum \; yi\; \theta \; i\; -\; b\; (\theta \; i)\; \varphi \; +\; c\; (yi,\; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \{p\}\; (y\; \backslash \; vert\; u)\; =\; \backslash \; sum\; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{i\}\; \backslash \; theta\; \_\; \{i\}\; -b\; (\backslash \; theta\; \_\; \{i\})\}\; \{\backslash \; phi\}\}\; +\; c\; (\; y\_\; \{i\},\; \backslash \; phi)\}$

$E\; [y\; |\; u]\; =\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [y\; \backslash \; vert\; u]\; =\; \backslash \; mu\}$

$v\; a\; r\; [y\; |\; u]\; знак\; равно\; \varphi \; V\; (\mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; var\; [y\; \backslash \; vert\; u]\; =\; \backslash \; phi\; V\; (\backslash \; mu)\}$

$g\; (\mu )\; =\; X\; \beta \; +\; Z\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\backslash \; mu)\; =\; X\; \backslash \; beta\; +\; Zu\}$

Где $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$- матрица проектирования с фиксированными эффектами, а фиксированные последствия; $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$и $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$- это матрица плана случайных эффектов и случайные эффекты.

Полная вероятность,

$ln\; \; p\; (y,\; u)\; =\; ln\; \; \int \; p\; (y\; |\; u)\; p\; (u)\; du\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \{p\}\; (y,\; u)\; =\; \backslash \; ln\; \backslash \; int\; p\; (y\; \backslash \; vert\; u)\; p\; (u)\; du\}$

не имеет общей замкнутой формы, и интегрирование по случайным эффектам обычно требует чрезвычайно больших вычислительных ресурсов. В дополнение к численной аппроксимации этого интеграла (например, с помощью квадратур Гаусса – Эрмита ) были предложены методы, основанные на приближении Лапласа. Например, метод квази-правдоподобия со штрафными санкциями, который, по сути, включает многократную подгонку (т.е. дважды итерацию) взвешенной нормальной смешанной модели с рабочей переменной, реализуется различными коммерческими статистическими программами и программами с открытым исходным кодом.

Подбор GLMM через максимальное правдоподобие (например, через AIC ) включает интегрирование по случайным эффектам. Как правило, эти интегралы не могут быть выражены в аналитической форме. Были разработаны различные приближенные методы, но ни один из них не имеет хороших свойств для всех возможных моделей и наборов данных (например, разгруппированные двоичные данные особенно проблематичны). По этой причине методы, использующие числовую квадратуру или цепь Маркова Монте-Карло, получили все большее распространение, поскольку увеличение вычислительной мощности и развитие методов сделали их более практичными.

Информационный критерий Акаике (AIC) является общим критерием для выбора модели. Недавно были получены оценки AIC для GLMM на основе некоторых распределений экспоненциального семейства.

• Несколько дополнительных пакетов в R обеспечивают функциональность GLMM
• GLMM можно настроить с помощью SAS и SPSS
• Matlab также предоставляет функцию под названием «fitglme» для соответствия моделям GLMM.

• Обобщенное уравнение оценки
• Иерархическая обобщенная линейная модель