Формулы для создания пифагоровых троек

Помимо формулы Евклида, многие другие формулы для создания пифагоровых троек имеют был разработан.

• 1 Формулы Евклида, Пифагора и Платона
• 2 Метод Фибоначчи
• 3 Прогрессии целых и дробных чисел
• 4 Метод Диксона
• 5 Обобщенная последовательность Фибоначчи
  • 5.1 Метод I
  • 5.2 Метод II
  • 5.3 Метод III
    • 5.3.1 Пифагоровы тройки и уравнение круга Декарта
    • 5.3.2 Тройное дерево: создание всех примитивных пифагоровых троек
• 6 Генерация троек с использованием квадратных уравнений
• 7 троек Пифагора с использованием матриц и линейных преобразований
• 8 Площадь, пропорциональная суммам квадратов
• 9 Теорема перечисления превышения высоты
• 10 Ссылки

Формулы Евклида, Пифагора и Платона для вычисления троек были описаны здесь:

Приведенные ниже методы появляются в различных источниках, часто без указания их происхождения.

Леонардо Пизанский (c.1170 - ок. 1250) описал этот метод генерации примитивных троек с использованием последовательности последовательных нечетных целых чисел $1,\; 3,\; 5,\; 7,\; 9,\; 11,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; 1,3,5,7,9,11,\; \backslash \; ldots\}$и тот факт, что сумма первых $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$членов этой последовательности равна $n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{2\}\}$. Если $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$является $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-м членом этой последовательности, тогда $n\; =\; (k\; +\; 1)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; (k\; +\; 1)\; /\; 2\}$.

Выберите любое нечетное квадратное число $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$из этой последовательности ($k\; =\; a\; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; k\; =\; a\; ^\; \{2\}\}$), и пусть этот квадрат будет $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-м членом последовательности. Кроме того, пусть $b\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{2\}\}$будет суммой предыдущих $n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n-1\}$терминов, и пусть $c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{2\}\}$будет суммой всех $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$терминов. Затем мы установили, что $a\; 2\; +\; b\; 2\; =\; c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; =\; c\; ^\; \{2\}\}$, и сгенерировали примитивную тройку [а, б, в]. Этот метод производит бесконечное количество примитивных троек, но не все из них.

ПРИМЕР. Выберите $k\; =\; 9\; =\; 3\; 2\; =\; a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 9\; =\; 3\; ^\; \{2\}\; =\; a\; ^\; \{2\}\}$. Это нечетное квадратное число является пятым членом последовательности, потому что $5\; =\; n\; =\; (a\; 2\; +\; 1)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 5\; =\; n\; =\; (a\; ^\; \{2\}\; +1)\; /\; 2\}$. Сумма предыдущих 4 членов равна $b\; 2\; =\; 4\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{2\}\; =\; 4\; ^\; \{2\}\}$, а сумма всех $n\; =\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 5\}$условия равны $c\; 2\; =\; 5\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{2\}\; =\; 5\; ^\; \{2\}\}$, что дает нам $a\; 2\; +\; b\; 2\; =\; c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; =\; c\; ^\; \{2\}\}$и примитивная тройка [a, b, c] = [3, 4, 5 ].

Немецкий математик и монах Михаэль Штифель опубликовал следующий метод в 1544 году.

Рассмотрим последовательность целых и дробных чисел. дробные числа: $1\; 1\; 3,\; 2\; 2\; 5,\; 3\; 3\; 7,\; 4\; 4\; 9,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\},\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; 2\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\; \}\; \{5\}\},\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; 3\; \{\backslash \; tfrac\; \{3\}\; \{7\}\},\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; 4\; \{\backslash \; tfrac\; \{4\}\; \{9\}\},\; \backslash \; ldots\}$

Свойства к этой прогрессии относятся: (а) целые числа являются числами общего ряда и имеют единство как их общее различие; (б) числители дробей, приложенные к целым числам, также являются натуральными числами; (c) знаменатели дробей - нечетные числа, $3,\; 5,\; 7,\; 9,\; \{\backslash \; displaystyle\; 3,\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; 5,\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; 7,\; \{\backslash \; text\; \{\}\; \}\; 9,\}$и т. Д.

Чтобы вычислить тройку Пифагора, выберите любой член этой прогрессии и уменьшите его до неправильной дроби. Например, возьмите термин $3\; 3\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; \{\backslash \; tfrac\; \{3\}\; \{7\}\}\}$. Неправильная дробь: $24\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{24\}\; \{7\}\}\}$. Числа 7 и 24 - это стороны a и b прямоугольного треугольника, а гипотенуза на единицу больше наибольшей стороны. Например:

$1\; 1\; 3\; \to \; дает\; [3,\; 4,\; 5],\; 2\; 2\; 5\; \to \; дает\; [5,\; 12,\; 13],\; 3\; 3\; 7\; \to \; дает\; [7,\; 24,\; 25],\; 4\; 4\; 9\; \to \; дает\; [9,\; 40,\; 41],\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \; text\; \{yields\}\}\}\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; [3,4,\; 5],\; \{\backslash \; text\; \{2\}\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\}\; \{5\}\}\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \; text\; \{yields\}\}\}\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; [5,12,13\; ],\; \{\backslash \; text\; \{3\}\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{3\}\; \{7\}\}\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \; text\; \{yields\}\}\}\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; [7,24,25],\; \{\backslash \; text\; \{4\}\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{4\}\; \{9\}\}\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \; text\; \{yields\}\}\}\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; [9,40,41],\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; \backslash \; ldots\}$

Жак Озанам переиздал последовательность Стифеля в 1694 году и добавил аналогичную последовательность $1\; 7\; 8,\; 2\; 11\; 12,\; 3\; 15\; 16,\; 4\; 19\; 20,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \{\; \backslash \; tfrac\; \{7\}\; \{8\}\},\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; 2\; \{\backslash \; tfrac\; \{11\}\; \{12\}\},\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; 3\; \{\backslash \; tfrac\; \{15\}\; \{16\}\},\; \{\backslash \; text\; \{\; \}\}\; 4\; \{\backslash \; tfrac\; \{19\}\; \{20\}\},\; \backslash \; ldots\}$с членами, производными от $n\; +\; 4\; n\; +\; 3\; 4\; n\; +\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{4n\; +\; 3\}\; \{4n\; +\; 4\}\}\}$. Как и раньше, чтобы получить тройку из этой последовательности, выберите любой член и уменьшите его до неправильной дроби. Числитель и знаменатель - это стороны a и b прямоугольного треугольника. В этом случае гипотенуза полученной тройки (ей) на 2 больше, чем большая сторона. Например:

$1\; 7\; 8\; \to \; дает\; [15,\; 8,\; 17],\; 2\; 11\; 12\; \to \; дает\; [35,\; 12,\; 37],\; 3\; 15\; 16\; \to \; дает\; [63,\; 16,\; 65],\; 4\; 19\; 20\; \to \; дает\; [99,\; 20,\; 101],\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \{\backslash \; tfrac\; \{7\}\; \{8\}\}\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \; text\; \{yields\}\}\}\; [15,8,17],\; 2\; \{\backslash \; tfrac\; \{11\}\; \{\; 12\}\}\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \; text\; \{yields\}\}\}\; [35,12,37],\; 3\; \{\backslash \; tfrac\; \{15\}\; \{16\}\}\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \; text\; \{yields\}\}\}\; [63,16,65\; ],\; 4\; \{\backslash \; tfrac\; \{19\}\; \{20\}\}\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \; text\; \{yields\}\}\}\; [99,20,101],\; \backslash \; ldots\}$

Вместе последовательности Стифеля и Озанама производят все примитивные тройки Платон и Пифагор семьи соответственно. Семейство Fermat нужно искать другими способами.

С a более коротким и b более длинным участком треугольника:

$Платон:\; c\; -\; b\; =\; 2,\; Пифагор:\; c\; -\; b\; =\; 1,\; Ферма:\; |\; а\; -\; б\; |\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Plato:\}\}\; cb\; =\; 2,\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{Pythagoras:\}\}\; cb\; =\; 1,\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{Fermat:\}\}\; \backslash \; left\; |\; ab\; \backslash \; right\; |\; =\; 1\}$

Леонард Юджин Диксон (1920) приписывает себе следующий метод генерации пифагоровых троек. Чтобы найти целочисленные решения для $x\; 2\; +\; y\; 2\; =\; z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; =\; z\; ^\; \{2\}\}$, найдите целые положительные числа r, s, и t такое, что $r\; 2\; =\; 2\; st\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{2\}\; =\; 2st\}$представляет собой полный квадрат.

Тогда:

$x\; =\; r\; +\; s,\; y\; =\; r\; +\; t,\; z\; =\; r\; +\; s\; +\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; r\; +\; s\; \backslash ,,\; \backslash ,\; y\; =\; r\; +\; t\; \backslash ,,\; \backslash ,\; z\; =\; r\; +\; s\; +\; t.\}$

Отсюда мы видим, что $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- любое четное целое число, а s и t - множители $r\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\}$. Этим методом можно найти все пифагоровы тройки. Когда s и t взаимно просты, тройка будет примитивной. Простое доказательство метода Диксона было представлено Джозефом Рукавицкой (2013).

Пример: выберите r = 6. Тогда $r\; 2\; 2\; =\; 18\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{r\; ^\; \{2\}\; \}\; \{2\}\}\; =\; 18\}$. Три пары факторов из 18: (1, 18), (2, 9) и (3, 6). Все три пары факторов дадут тройки, используя приведенные выше уравнения.

s = 1, t = 18 дает тройку [7, 24, 25], потому что x = 6 + 1 = 7, y = 6 + 18 = 24, z = 6 + 1 + 18 = 25.

s = 2, t = 9 производит тройное число [8, 15, 17], поскольку x = 6 + 2 = 8, y = 6 + 9 = 15, z = 6 + 2 + 9 = 17.

s = 3, t = 6 дает тройку [9, 12, 15], потому что x = 6 + 3 = 9, y = 6 + 6 = 12, z = 6 + 3 + 6 = 15. (Поскольку s и t не взаимно просты, эта тройка не является примитивной.)

Метод I

Для чисел Фибоначчи, начинающихся с F 1 = 0 и F 2 = 1, и каждое последующее число Фибоначчи является суммой двух предыдущих, можно сгенерировать последовательность пифагоровых троек, начиная с (a 3, b 3, c 3) = (4, 3, 5) через

$(an,\; bn,\; cn)\; =\; (an\; -\; 1\; +\; bn\; -\; 1\; +\; cn\; -\; 1,\; F\; 2\; n\; -\; 1\; -\; bn\; -\; 1,\; F\; 2\; п)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{n\},\; b\_\; \{n\},\; c\_\; \{n\})\; =\; (a\_\; \{n-1\}\; +\; b\_\; \{n-1\}\; +\; c\_\; \{n-1\},\; \backslash ,\; F\_\; \{2n-\; 1\}\; -b\_\; \{n-1\},\; \backslash ,\; F\_\; \{2n\})\}$

для n ≥ 4.

Метод II

Пифагорова тройка может быть сгенерирована с использованием любого t два положительных целых числа с помощью следующих процедур с использованием обобщенных последовательностей Фибоначчи.

Для начальных положительных целых чисел h n и h n + 1, если h n + h n + 1 = h n + 2 и h n + 1 + h n + 2 = h n +3, затем

$(2\; hn\; +\; 1\; hn\; +\; 2,\; hnhn\; +\; 3,\; 2\; hn\; +\; 1\; hn\; +\; 2\; +\; hn\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (2h\_\; \{n\; +\; 1\}\; h\_\; \{n\; +\; 2\}),\; h\_\; \{n\}\; h\_\; \{n\; +\; 3\},\; 2h\_\; \{n\; +\; 1\}\; h\_\; \{n\; +\; 2\}\; +\; h\_\; \{n\}\; ^\; \{2\})\}$

- тройка Пифагора.

Метод III

Далее следует подход на основе матрицы к генерации примитивных троек с обобщенными последовательностями Фибоначчи. Начните с массива 2 × 2 и вставьте два взаимно простых положительных целых числа (q, q ') в верхнюю строку. Поместите четное целое число (если есть) в левый столбец.

$[qq\; \prime \; \bullet \; \bullet ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{*\; \{20\}\; c\}\; q\; \{q\; \text{'}\}\; \backslash \backslash \backslash \; bullet\; \backslash \; bullet\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\}$

Теперь примените следующее «правило Фибоначчи», чтобы получить записи в нижней строке:

$q\; \prime \; +\; q\; =\; pq\; +\; p\; =\; p\; \prime \; \to \; [qq\; \prime \; pp\; \prime ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{*\; \{20\}\; c\}\; q\; \text{'}+\; q\; =\; p\; \backslash \backslash \; q\; +\; p\; =\; p\text{'}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; to\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{*\; \{20\}\; c\}\; q\; q\; \text{'}\backslash \backslash \; p\; p\; \text{'}\backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\}$

Такой массив можно назвать «Блоком Фибоначчи». Обратите внимание, что q ', q, p, p' - это обобщенная последовательность Фибоначчи. Взяв произведение столбцов, строк и диагоналей, мы получим стороны треугольника [a, b, c], его площадь A и его периметр P, как а также радиусы riего вписанной окружности и трех вневписанных окружностей следующим образом:

$a\; =\; 2\; qpb\; =\; q\; \prime \; p\; \prime \; c\; =\; pp\; \prime \; -\; qq\; \prime \; =\; qp\; \prime \; +\; q\; \prime \; p\; радиусы\; \to \; (r\; 1\; =\; qq\; \prime ,\; r\; 2\; =\; qp\; \prime ,\; r\; 3\; =\; q\; \prime \; p,\; r\; 4\; =\; pp\; \prime )\; A\; =\; qq\; \prime \; pp\; \prime \; P\; =\; r\; 1\; +\; r\; 2\; +\; r\; 3\; +\; r\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{l\}\; a\; =\; 2qp\; \backslash \backslash \; b\; =\; q\text{'}p\; \text{'}\backslash \backslash \; c\; =\; pp\text{'}-qq\text{'}\; =\; qp\; \text{'}+\; q\text{'}p\; \backslash \backslash \backslash \backslash \; \{\backslash \; text\; \{радиусы\}\; \}\; \backslash \; to\; (r\_\; \{1\}\; =\; qq\; \text{'},\; r\_\; \{2\}\; =\; qp\text{'},\; r\_\; \{3\}\; =\; q\text{'}p,\; r\_\; \{4\}\; =\; pp\; \text{'})\; \backslash \backslash \; A\; =\; qq\text{'}pp\text{'}\; \backslash \backslash \; P\; =\; r\_\; \{1\}\; +\; r\_\; \{2\}\; +\; r\_\; \{3\}\; +\; r\_\; \{4\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

Касательные половины углов при острых углах равны q / p и q '/ p' .

ПРИМЕР:

Использование взаимно простых целых чисел 9 и 2.

$[2\; 9\; \bullet \; \bullet ]\; \to \; [2\; 9\; 11\; 13]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{*\; \{20\}\; c\}\; 2\; 9\; \backslash \backslash \backslash \; bullet\; \backslash \; bullet\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; to\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{*\; \{20\}\; c\}\; 2\; и\; 9\; \backslash \backslash \; 11\; и\; 13\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\}$

Столбцы, строки и диагональные произведения: (столбцы: 22 и 117), (строки: 18 и 143), (диагонали: 26 и 99), поэтому

$a\; =\; 2\; (22)\; =\; 44\; b\; =\; 117\; c\; =\; (143-18)\; =\; (26\; +\; 99)\; =\; 125\; радиусов\; \to \; (r\; 1\; =\; 18,\; r\; 2\; =\; 26,\; r\; 3\; =\; 99,\; r\; 4\; =\; 143)\; A\; =\; 18\; (143)\; =\; 2574\; P\; =\; (18\; +\; 26\; +\; 99\; +\; 143)\; =\; 286\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{l\}\; a\; =\; 2\; (22)\; =\; 44\; \backslash \backslash \; b\; =\; 117\; \backslash \backslash \; c\; =\; (143-18)\; =\; (26\; +\; 99)\; =\; 125\; \backslash \backslash \backslash \backslash \; \{\backslash \; text\; \{radii\}\}\; \backslash \; to\; (r\_\; \{1\}\; =\; 18,\; \backslash \; quad\; r\_\; \{\; 2\}\; =\; 26,\; \backslash \; quad\; r\_\; \{3\}\; =\; 99,\; \backslash \; quad\; r\_\; \{4\}\; =\; 143)\; \backslash \backslash \; A\; =\; 18\; (143)\; =\; 2574\; \backslash \backslash \; P\; =\; (18\; +\; 26\; +\; 99\; +\; 143)\; =\; 286\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

Касательные половины углов к острым углам равны 2/11 и 9/13. Обратите внимание, что если выбранные целые числа q, q'не являются взаимно простыми, та же процедура приводит к непримитивной тройке.

Пифагоровы тройки и уравнение круга Декарта

Этот метод генерации примитивных пифагоровых троек также обеспечивает целочисленные решения для уравнения круга Декарта,

$(k\; 1\; +\; k\; 2\; +\; k\; 3\; +\; к\; 4)\; 2\; знак\; равно\; 2\; (к\; 1\; 2\; +\; к\; 2\; 2\; +\; к\; 3\; 2\; +\; к\; 4\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (k\_\; \{1\}\; +\; k\_\; \{2\}\; +\; k\_\; \{3\}\; +\; k\_\; \{4\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; 2\; \backslash \; left\; (k\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; k\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; k\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; +\; k\_\; \{4\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right),\}$

, где целое число кривизны kiполучают путем умножения обратной величины каждого радиуса на площадь A . Результат: k 1 = pp ', k 2 = qp', k 3 = q'p, k 4 = qq. '. Здесь самая большая окружность имеет отрицательную кривизну по сравнению с тремя другими. Самый большой круг (кривизна k 4) также может быть заменен меньшим кругом с положительной кривизной (k 0 = 4pp '- qq').

ПРИМЕР:

Используя площадь и четыре радиуса, полученные выше для примитивной тройки [44, 117, 125], мы получаем следующие целочисленные решения уравнения Декарта: k 1 = 143, k 2 = 99, k 3 = 26, k 4 = (−18) и k 0 = 554.

Тернарное дерево: создание всех примитивных пифагоровых троек

Каждая примитивная пифагорова тройка однозначно соответствует прямоугольнику Фибоначчи. И наоборот, каждый ящик Фибоначчи соответствует уникальной и примитивной пифагорейской тройке. В этом разделе мы будем использовать прямоугольник Фибоначчи вместо примитивной тройки, которую он представляет. Бесконечное троичное дерево, содержащее все примитивные пифагоровы тройки / блоки Фибоначчи, может быть построено с помощью следующей процедуры.

Рассмотрим блок Фибоначчи, содержащий два нечетных взаимно простых целых числа x и y в правой части. ручная колонка.

$[\bullet \; x\; \bullet \; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{*\; \{20\}\; \{c\}\}\; \backslash \; bullet\; x\; \backslash \backslash \backslash \; bullet\; y\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\}$

Можно видеть, что эти целые числа также могут быть размещены следующим образом:

$[\bullet \; ху\; \bullet ],\; [ху\; \bullet \; \bullet ],\; [yx\; \bullet \; \bullet ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{*\; \{\; 20\}\; \{c\}\}\; \backslash \; bullet\; x\; \backslash \backslash \; y\; \backslash \; bullet\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right],\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{*\; \{20\}\; \{c\}\}\; x\; y\; \backslash \backslash \backslash \; bullet\; \backslash \; bullet\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right],\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{*\; \{20\}\; \{c\}\}\; y\; x\; \backslash \backslash \backslash \; bullet\; \backslash \; bullet\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\}$

результат в еще трех допустимых ячейках Фибоначчи, содержащих x и y. Мы можем думать о первом Box как о «родителе» следующих трех. Например, если x = 1 и y = 3, мы имеем:

$[1\; 1\; 2\; 3]\; \leftarrow \; parent\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{*\; \{20\}\; \{c\}\}\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 2\; 3\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; leftarrow\; \{\backslash \; text\; \{parent\}\}\}$

$[2\; 1\; 3\; 5],\; [1\; 3\; 4\; 5],\; [3\; 1\; 4\; 7]\; \leftarrow \; дочерние\; элементы\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{*\; \{20\}\; \{c\}\}\; 2\; 1\; \backslash \backslash \; 3\; 5\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right],\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{*\; \{20\}\; \{c\}\}\; 1\; 3\; \backslash \backslash \; 4\; и\; 5\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right],\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{*\; \{20\}\; \{c\}\}\; 3\; 1\; \backslash \backslash \; 4\; 7\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; leftarrow\; \{\backslash \; text\; \{children\}\; \}\}$

Более того, каждый «потомок» сам является родителем еще трех потомков, которые могут быть получены с помощью той же процедуры. Продолжение этого процесса в каждом узле приводит к бесконечному тернарному дереву, содержащему все возможные блоки Фибоначчи, или, что эквивалентно, к тернарному дереву, содержащему все возможные примитивные тройки. (Показанное здесь дерево отличается от классического дерева, описанного Берггреном в 1934 году, и имеет множество различных теоретико-числовых свойств.) Сравните: «Классическое дерево». См. Также Дерево примитивных пифагоровых троек.

Существует несколько методов для определения квадратных уравнений для вычисления каждого отрезка пифагоровой тройки. Простой способ - изменить стандартное уравнение Евклида, добавив переменную x к каждой паре m и n. Пара m, n рассматривается как константа, в то время как значение x изменяется для создания «семейства» троек на основе выбранной тройки. Произвольный коэффициент может быть помещен перед значением «x» на m или n, что приводит к тому, что результирующее уравнение систематически «пропускает» тройки. Например, рассмотрим тройку [20, 21, 29], которую можно вычислить из уравнений Евклида со значением m = 5 и n = 2. Также произвольно поставьте коэффициент 4 перед «x» в термин "м".

Пусть $m\; 1\; =\; (4\; x\; +\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{1\}\; =\; (4x\; +\; m)\}$и пусть $n\; 1\; =\; (x\; +\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{1\}\; =\; (x\; +\; n)\}$

Следовательно, подставляя значения m и n:

$Сторона\; A\; =\; 2\; m\; 1\; n\; 1\; =\; 2\; (4\; x\; +\; 5)\; (x\; +\; 2)\; =\; 8\; x\; 2\; +\; 26\; x\; +\; 20\; Сторона\; B\; =\; m\; 1\; 2\; -\; n\; 1\; 2\; =\; (4\; x\; +\; 5)\; 2\; -\; (x\; +\; 2)\; 2\; =\; 15\; x\; 2\; +\; 36\; x\; +\; 21\; Сторона\; C\; =\; m\; 1\; 2\; +\; n\; 1\; 2\; =\; (4\; x\; +\; 5)\; 2\; +\; (x\; +\; 2)\; 2\; =\; 17\; x\; 2\; +\; 44\; x\; +\; 29\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; text\; \{Side\}\}\; A\; =\; 2m\_\; \{\; 1\}\; n\_\; \{1\}\; =\; 2\; (4x\; +\; 5)\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; (x\; +\; 2)\; =\; 8x\; ^\; \{2\}\; +\; 26x\; +\; 20\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; text\; \{Side\}\}\; B\; =\; m\_\; \{1\; \}\; ^\; \{2\}\; -n\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; =\; (4x\; +\; 5)\; ^\; \{2\}\; -\; (x\; +\; 2)\; ^\; \{2\}\; =\; 15x\; ^\; \{2\}\; +\; 36x\; +\; 21\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; текст\; \{Side\}\}\; C\; =\; m\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; n\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; =\; (4x\; +\; 5)\; ^\; \{2\}\; +\; (x\; +\; 2)\; ^\; \{2\}\; =\; 17x\; ^\; \{\; 2\}\; +\; 44x\; +\; 29\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Обратите внимание, что исходная тройка содержит постоянный член в каждом из соответствующих квадратных уравнений. Ниже приведен пример вывода этих уравнений. Обратите внимание, что в результате этих уравнений значение «m» в уравнениях Евклида увеличивается с шагом 4, а значение «n» увеличивается на 1.

Пусть [a, b, c] будет примитивной тройкой с нечетным числом. Затем 3 новых тройки [a 1, b 1, c 1 ], [a 2, b 2, c 2 ], [a 3, b 3, c 3 ] могут быть получены из [a, b, c ] с использованием матричного умножения и трех матриц Берггрена A, B, C. Тройка [a, b, c] называется родительской для трех новых троек (дочерних). Каждый ребенок сам является родителем еще трех детей и так далее. Если начать с примитивной тройки [3, 4, 5], все примитивные тройки в конечном итоге будут получены путем применения этих матриц. Результат может быть графически представлен в виде бесконечного троичного дерева с [a, b, c] в корневом узле. Эквивалентный результат может быть получен с использованием трех линейных преобразований Берггрена, показанных ниже.

$[-\; 1\; 2\; 2\; -\; 2\; 1\; 2\; -\; 2\; 2\; 3]\; A\; [abc]\; =\; [a\; 1\; b\; 1\; c\; 1],\; [1\; 2\; 2\; 2\; 1\; 2\; 2\; 2\; 3]\; B\; [abc]\; =\; [a\; 2\; б\; 2\; с\; 2],\; [1-2\; 2\; 2-1\; 1\; 2\; 2-2\; 3]\; С\; [abc]\; =\; [a\; 3\; b\; 3\; c\; 3]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overset\; \{A\}\; \{\backslash \; mathop\; \{\backslash \; left\; [\{\; \backslash \; begin\; \{matrix\}\; -1\; 2\; 2\; \backslash \backslash \; -\; 2\; 1\; 2\; \backslash \backslash \; -\; 2\; 2\; 3\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\}\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; a\; \backslash \backslash \; b\; \backslash \backslash \; c\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{\; матрица\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; a\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; b\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; c\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right],\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{\; \}\}\; \{\backslash \; overset\; \{B\}\; \{\backslash \; mathop\; \{\backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; 2\; 2\; \backslash \backslash \; 2\; 1\; 2\; \backslash \backslash \; 2\; 2\; 3\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\}\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \}\; a\; \backslash \backslash \; b\; \backslash \backslash \; c\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; a\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; b\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; c\_\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\; \}\; \backslash \; right],\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; \{\backslash \; overset\; \{C\}\; \{\backslash \; mathop\; \{\backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; -2\; 2\; \backslash \backslash \; 2\; -1\; 2\; \backslash \backslash \; 2\; -2\; 3\; \backslash \; end\; \{matrix\}\; \}\; \backslash \; right]\}\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; a\; \backslash \backslash \; b\; \backslash \backslash \; c\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; a\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; b\_\; \{\; 3\}\; \backslash \backslash \; c\_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\}$

Три линейных преобразования Берггрена:

$-\; a\; +\; 2\; b\; +\; 2\; c\; =\; a\; 1\; -\; 2\; a\; +\; b\; +\; 2\; c\; =\; b\; 1\; -\; 2\; a\; +\; 2\; b\; +\; 3\; c\; =\; c\; 1\; \to \; [a\; 1,\; b\; 1,\; c\; 1]\; +\; a\; +\; 2\; b\; +\; 2\; c\; =\; a\; 2\; +\; 2\; a\; +\; b\; +\; 2\; c\; =\; b\; 2\; +\; 2\; a\; +\; 2\; b\; +\; 3\; c\; =\; c\; 2\; \to \; [a\; 2,\; b\; 2,\; c\; 2]\; +\; a\; -\; 2\; b\; +\; 2\; c\; =\; a\; 3\; +\; 2\; a\; -\; b\; +\; 2\; c\; =\; b\; 3\; +\; 2\; a\; -\; 2\; b\; +\; 3\; c\; =\; c\; 3\; \to \; [a\; 3,\; b\; 3,\; c\; 3]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; -a\; +\; 2b\; +\; 2c\; =\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; quad\; -2a\; +\; b\; +\; 2c\; =\; b\_\; \{1\}\; \backslash \; quad\; -2a\; +\; 2b\; +\; 3c\; =\; c\_\; \{1\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; to\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; text\; \{\}\}\; a\_\; \{1\; \},\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; b\_\; \{1\},\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; c\_\; \{1\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; +\; a\; +\; 2b\; +\; 2c\; =\; \{\{a\}\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; quad\; +\; 2a\; +\; b\; +\; 2c\; =\; \{\{b\}\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; quad\; +\; 2a\; +\; 2b\; +\; 3c\; =\; \{\{c\}\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; to\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; text\; \{\}\}\; \{\{a\}\; \_\; \{2\}\},\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; \{\{b\}\; \_\; \{2\}\},\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; \{\{c\}\; \_\; \{2\; \}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; +\; a-2b\; +\; 2c\; =\; \{\{a\}\; \_\; \{3\}\}\; \backslash \; quad\; +\; 2a-b\; +\; 2c\; =\; \{\{\; b\}\; \_\; \{3\}\}\; \backslash \; quad\; +\; 2a-2b\; +\; 3c\; =\; \{\{c\}\; \_\; \{3\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; to\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; text\; \{\}\}\; \{\{a\}\; \_\; \{3\}\},\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; \{\{b\}\; \_\; \{3\}\},\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; \{\{c\}\; \_\; \{3\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; end\; \{выровнено\}\; \}\}$

Кроме того, можно также использовать 3 разные матрицы, найденные Прайсом. Эти матрицы A ', B', C 'и соответствующие им линейные преобразования показаны ниже.

$[2\; 1\; -\; 1\; -\; 2\; 2\; 2\; -\; 2\; 1\; 3]\; A\; \prime \; [abc]\; =\; [a\; 1\; b\; 1\; c\; 1],\; [2\; 1\; 1\; 2\; -\; 2\; 2\; 2\; -\; 1\; 3]\; B\; \prime \; [abc]\; знак\; равно\; [a\; 2\; b\; 2\; c\; 2],\; [2\; -\; 1\; 1\; 2\; 2\; 2\; 2\; 1\; 3]\; C\; \prime \; [abc]\; =\; [a\; 3\; b\; 3\; c\; 3]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overset\; \{\{A\}\; \text{'}\}\; \{\backslash \; mathop\; \{\backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 2\; 1\; -1\; \backslash \backslash \; -\; 2\; 2\; 2\; \backslash \backslash \; -\; 2\; 1\; 3\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\}\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; a\; \backslash \backslash \; b\; \backslash \backslash \; c\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; a\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; b\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; c\_\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right],\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; \{\backslash \; overset\; \{\{B\}\; \text{'}\}\; \{\backslash \; mathop\; \{\backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 2\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 2\; -2\; 2\; \backslash \backslash \; 2\; -1\; 3\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\}\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; a\; \backslash \backslash \; b\; \backslash \backslash \; c\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; a\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; b\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; c\_\; \{2\}\; \}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right],\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; \{\backslash \; overset\; \{\{C\}\; \text{'}\}\; \{\backslash \; mathop\; \{\backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\}\; 2\; -1\; 1\; \backslash \backslash \; 2\; 2\; 2\; \backslash \backslash \; 2\; 1\; 3\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\}\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; a\; \backslash \backslash \; b\; \backslash \backslash \; c\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \}\; a\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; b\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; c\_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\}$

Три линейных преобразования Прайса:

$+\; 2\; a\; +\; b\; -\; c\; =\; a\; 1\; -\; 2\; a\; +\; 2\; b\; +\; 2\; c\; =\; b\; 1\; -\; 2\; a\; +\; b\; +\; 3\; c\; =\; c\; 1\; \to \; [a\; 1,\; b\; 1,\; c\; 1]\; +\; 2\; a\; +\; b\; +\; c\; =\; a\; 2\; +\; 2\; a\; -\; 2\; b\; +\; 2\; c\; =\; b\; 2\; +\; 2\; a\; -\; b\; +\; 3\; c\; =\; c\; 2\; \to \; [a\; 2,\; b\; 2,\; c\; 2]\; +\; 2\; a\; -\; b\; +\; c\; =\; a\; 3\; +\; 2\; a\; +\; 2\; b\; +\; 2\; c\; =\; b\; 3\; +\; 2\; a\; +\; b\; +\; 3\; c\; =\; c\; 3\; \to \; [a\; 3,\; b\; 3,\; c\; 3]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; +\; 2a\; +\; bc\; =\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; quad\; -2a\; +\; 2b\; +\; 2c\; =\; b\_\; \{1\}\; \backslash \; quad\; -2a\; +\; b\; +\; 3c\; =\; c\_\; \{1\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; to\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; text\; \{\}\}\; a\_\; \{1\},\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; b\_\; \{1\},\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; c\_\; \{1\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; +\; 2a\; +\; b\; +\; c\; =\; a\_\; \{2\; \}\; \backslash \; quad\; +\; 2a-2b\; +\; 2c\; =\; b\_\; \{2\}\; \backslash \; quad\; +\; 2a-b\; +\; 3c\; =\; c\_\; \{2\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; to\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; text\; \{\}\}\; a\_\; \{2\},\; \{\backslash \; текст\; \{\}\}\; b\_\; \{2\},\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; c\_\; \{2\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; +\; 2a-b\; +\; c\; =\; a\_\; \{3\}\; \backslash \; quad\; +\; 2a\; +\; 2b\; +\; 2c\; =\; b\_\; \{3\}\; \backslash \; quad\; +\; 2a\; +\; b\; +\; 3c\; =\; c\_\; \{3\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; to\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; text\; \{\}\}\; a\_\; \{3\},\; \{\backslash \; text\; \{\}\; \}\; b\_\; \{3\},\; \{\backslash \; text\; \{\}\}\; c\_\; \{3\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

3 дочерних элемента, созданных каждым из двух наборов матриц не то же самое, но каждый набор отдельно производит все примитивные тройки.

Например, используя [5, 12, 13] в качестве родителя, мы получаем два набора из трех дочерних элементов:

$[5,\; 12,\; 13]\; ABC\; [45,\; 28,\; 53]\; [55,\; 48,\; 73]\; [7,\; 24,\; 25]\; [5,\; 12,\; 13]\; A\; \text{'}B\text{'}\; C\; \text{'}[9,\; 40,\; 41]\; [35,\; 12,\; 37]\; [11,\; 60,\; 61]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccc\}\; \backslash \; left\; [5,12,13\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; A\; B\; C\; \backslash \backslash \backslash \; left\; [45,28,53\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; [55,48,73\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; [7,24,25\; \backslash \; right]\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccc\}\; \{\}\; \backslash \; left\; [5,12,13\; \backslash \; right\; ]\; \{\}\; \backslash \backslash \; A\; \text{'}B\text{'}\; C\; \text{'}\backslash \backslash \backslash \; влево\; [9,40,41\; \backslash \; вправо]\; и\; \backslash \; влево\; [35,12,37\; \backslash \; вправо]\; и\; \backslash \; влево\; [11,60,61\; \backslash \; вправо]\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

Все примитивные тройки с $b\; +\; 1\; =\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; +\; 1\; =\; c\}$и с нечетное число может быть сгенерировано следующим образом:

тройка Пифагора	Полупериметр	Площадь	Радиус вписанной окружности	Радиус окружности
$(3,\; 4,\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (3,4,5\; \backslash \; right)\}$	1 + 2 + 3	$6\; \times \; (1\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; 6\; \backslash \; times\; (1\; ^\; \{2\})\; \}$	1	$5\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{5\}\; \{2\}\}\}$
$(5,\; 12,\; 13)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (5,12,13\; \backslash \; right)\}$	1 + 2 + 3 + 4 + 5	$6\; \times \; (1\; 2\; +\; 2\; 2)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; 6\; \backslash \; times\; (1\; ^\; \{2\}\; +\; 2\; ^\; \{2\})\}$	2	$13\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{13\}\; \{2\}\}\}$
$(7,\; 24,\; 25)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (7,24,25\; \backslash \; right)\}$	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7	$6\; \times \; (1\; 2\; +\; 2\; 2\; +\; 3\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; 6\; \backslash \; times\; (1\; ^\; \{2\}\; +\; 2\; ^\; \{2\}\; +\; 3\; ^\; \{2\})\}$	3	$25\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{25\}\; \{2\}\}\}$
.......	.......	.......	.......	.......
$(a,\; a\; 2\; -\; 1\; 2,\; a\; 2\; +\; 1\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (a,\; \{\backslash \; tfrac\; \{a\; ^\; \{2\}\; -1\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; tfrac\; \{a\; ^\; \{2\}\; +1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$	1 + 2 +... + a	$6\; \times \; [1\; 2\; +\; 2\; 2\; +\; \cdots \; +\; (a\; -\; 1\; 2)\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; 6\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; [1\; ^\; \{2\}\; +\; 2\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{a-1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}$	$(а\; -\; 1\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{a-1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$	$с\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{c\}\; \{2\}\}\}$

Уэйд и Уэйд впервые представили категоризацию пифагоровых троек по их высоте, определяемой как c - b, ссылка от 3,4,5 до 5,12,13 и 7,24,25 и так далее.

Маккалоу и Уэйд расширили этот подход, который производит все пифагоровы тройки, когда $k>h\; 2\; d:\; \{\backslash \; displaystyle\; k>\{\backslash \; frac\; \{h\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{d\}\}\; :\}$Запишите положительное целое число h как pq с p без квадратов и q положительным. Установите d = 2pq, если p нечетное, или d = pq, если p четное. Для всех пар (h, k) натуральных чисел тройки задаются как

$(h\; +\; dk,\; dk\; +\; (dk)\; 2\; 2\; h,\; h\; +\; dk\; +\; (dk)\; 2\; 2\; h).\; \{\backslash \; Displaystyle\; (h\; +\; dk,\; dk\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(dk)\; ^\; \{2\}\}\; \{2h\}\},\; h\; +\; dk\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(dk)\; ^\; \{2\}\}\; \{2h\}\}).\}$

Примитив тройки возникают, когда НОД (k, h) = 1 и либо h = q с нечетным q, либо h = 2q.