Пятиточечный шаблон

Изображение пятиточечного шаблона в одном и двух измерениях (вверху и внизу соответственно).

В числовом анализе, учитывая квадратную сетку в одном или двух измерениях, пятиточечный шаблон точки в сетке является шаблоном состоит из самой точки вместе с ее четырьмя «соседями». Он используется для записи конечно-разностной аппроксимации производных в точках сетки. Это пример для числового дифференцирования.

• 1 В одном измерении
  • 1.1 1D первая производная
    • 1.1.1 Выведение
    • 1.1.2 Оценка ошибки
  • 1.2 1D выше- производные порядка
  • 1.3 Связь с интерполирующими полиномами Лагранжа
• 2 В двух измерениях
• 3 См. также
• 4 Ссылки

В одном измерении, если расстояние между точками в сетке h, то пятиточечный шаблон точки x в сетке равен

$\{x\; -\; 2\; h,\; x\; -\; h,\; x,\; x\; +\; h,\; x\; +\; 2\; h\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; \{x-2h,\; xh,\; x,\; x\; +\; h,\; x\; +\; 2h\; \backslash \}.\}$

1D первая производная

Первая производная от функции ƒ действительной переменной в точке x может быть аппроксимировано с использованием пятиточечного шаблона как:

$f\; \prime \; (x)\; \approx \; -\; f\; (x\; +\; 2\; h)\; +\; 8\; f\; (x\; +\; h)\; -\; 8\; f\; (x\; -\; h)\; +\; f\; (x\; -\; 2\; h)\; 12\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(x)\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{-f\; (x\; +\; 2h)\; +\; 8f\; (x\; +\; h)\; -8f\; (xh)\; +\; f\; (x-2h)\}\; \{12h\}\}\}$

Обратите внимание, что центральная точка ƒ (x) сама по себе не задействована, а только четыре соседние точки.

Вывод

Эту формулу можно получить, выписав четыре ряда Тейлора из ƒ (x ± h) и ƒ (x ± 2h) с точностью до h. (или с точностью до h, чтобы получить оценку ошибки) и решив эту систему из четырех уравнений, чтобы получить ƒ (x). На самом деле в точках x + h и x - h:

$f\; (x\; \pm \; h)\; =\; f\; (x)\; \pm \; hf\; \prime \; (x)\; +\; h\; 2\; 2\; f\; ″\; (x)\; \pm \; h\; 3\; 6\; f\; (3)\; (х)\; +\; O\; 1\; \pm \; (h\; 4).\; (E\; 1\; \pm ).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; \backslash \; pm\; h)\; =\; f\; (x)\; \backslash \; pm\; hf\; \text{'}(x)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{h\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; f\text{'}\; \text{'}(x)\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{h\; ^\; \{3\}\}\; \{6\}\}\; f\; ^\; \{(3)\}\; (x)\; +\; O\_\; \{1\; \backslash \; pm\}\; (h\; ^\; \{4\}).\; \backslash \; Qquad\; (E\_\; \{1\; \backslash \; pm\}).\}$

Оценка $(E\; 1\; +)\; -\; (E\; 1\; -)\; \{\backslash \; displaystyle\; (E\_\; \{1\; +\})\; -\; (E\_\; \{1-\})\}$дает нам

$f\; (x\; +\; h)\; -\; f\; (x\; -\; h)\; =\; 2\; hf\; \prime \; (x)\; +\; h\; 3\; 3\; f\; (3)\; (x)\; +\; O\; 1\; (h\; 4).\; (E\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; +\; h)\; -f\; (xh)\; =\; 2hf\; \text{'}(x)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{h\; ^\; \{3\}\}\; \{3\}\}\; f\; ^\; \{(3)\}\; (x)\; +\; O\_\; \{1\}\; (h\; ^\; \{4\}).\; \backslash \; qquad\; (E\_\; \{1\}).\}$

Обратите внимание, что остаточный член O 1 (h) должен иметь порядок h вместо h, потому что если члены h были записаны в (E 1+) и (E 1-), видно, что они компенсировали бы друг друга на ƒ (x + h) - ƒ (x - h). Но для этого вычисления это остается таким, поскольку порядок оценки ошибки здесь не рассматривается (см. Ниже).

Аналогично,

$f\; (x\; \pm \; 2\; h)\; =\; f\; (x)\; \pm \; 2\; h\; f\; \prime \; (x)\; +\; 4\; h\; 2\; 2!\; f\; ″\; (x)\; \pm \; 8\; ч\; 3\; 3!\; f\; (3)\; (x)\; +\; O\; 2\; \pm \; (h\; 4).\; (Е\; 2\; \pm )\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; (x\; \backslash \; pm\; 2h)\; =\; f\; (x)\; \backslash \; pm\; 2hf\; \text{'}(x)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{4h\; ^\; \{2\}\}\; \{2!\}\}\; F\text{'}\; \text{'}(x)\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{8h\; ^\; \{3\}\}\; \{3!\}\}\; f\; ^\; \{(3)\}\; (x)\; +\; O\_\; \{2\; \backslash \; pm\}\; (h\; ^\; \{4\}).\; \backslash \; qquad\; (E\_\; \{2\; \backslash \; pm\}))\}$

и $(E\; 2\; +)\; -\; (E\; 2\; -)\; \{\backslash \; displaystyle\; (E\_\; \{2\; +\})\; -\; (E\_\; \{2-\})\}$дает нам

$f\; (x\; +\; 2\; h)\; -\; f\; (x\; -\; 2\; h)\; =\; 4\; hf\; \prime \; (x)\; +\; 8\; h\; 3\; 3\; f\; (3)\; (x)\; +\; O\; 2\; (h\; 4).\; (E\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; +\; 2h)\; -f\; (x-2h)\; =\; 4hf\; \text{'}(x)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{8h\; ^\; \{3\}\}\; \{3\}\}\; f\; ^\; \{(3)\}\; (x)\; +\; O\_\; \{\; 2\}\; (h\; ^\; \{4\}).\; \backslash \; Qquad\; (E\_\; \{2\}).\}$

Чтобы исключить члены ƒ (x), вычислите 8 × (E 1) - ( E 2)

$8\; f\; (x\; +\; h)\; -\; 8\; f\; (x\; -\; h)\; -\; f\; (x\; +\; 2\; h)\; +\; f\; (x\; -\; 2\; h)\; =\; 12\; hf\; \prime \; (x)\; +\; O\; (h\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; 8f\; (x\; +\; h)\; -8f\; (xh)\; -f\; (x\; +\; 2h)\; +\; f\; (x-2h)\; =\; 12hf\; \text{'}(x)\; +\; O\; (h\; ^\; \{4\})\; \backslash ,\}$

таким образом давая формула, как указано выше. Примечание: коэффициенты f в этой формуле (8, -8, -1,1) представляют собой конкретный пример более общего фильтра Савицкого-Голея.

Оценка ошибки

Ошибка в этом приближении составляет порядок h. Это видно из разложения

$-\; f\; (x\; +\; 2\; h)\; +\; 8\; f\; (x\; +\; h)\; -\; 8\; f\; (x\; -\; час)\; +\; е\; (Икс\; -\; 2\; час)\; 12\; час\; знак\; равно\; f\; \prime \; (x)\; -\; 1\; 30\; f\; (5)\; (x)\; час\; 4\; +\; O\; (час\; 5)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{-f\; (x\; +\; 2h)\; +\; 8f\; (x\; +\; h)\; -8f\; (xh)\; +\; f\; (x-2h)\}\; \{12h\}\}\; =\; f\; \text{'}(x)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{30\}\}\; f\; ^\; \{(5)\}\; (x)\; h\; ^\; \{4\}\; +\; O\; (h\; ^\; \{5\})\}$

, которое можно получить, развернув левую часть в ряд Тейлора. Или примените экстраполяцию Ричардсона. ion к центральной разности приближение к $f\; \text{'}(x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\text{'}\; (x)\}$на сетках с интервалом 2h и h.

1D производные высшего порядка

Формулы центрированной разности для пятиточечных шаблонов, аппроксимирующих вторую, третью и четвертую производные:

$f\; ″\; (x)\; \approx \; -\; f\; (x\; +\; 2\; h)\; +\; 16\; f\; (x\; +\; h)\; -\; 30\; f\; (x)\; +\; 16\; f\; (x\; -\; h)\; -\; f\; (x\; -\; 2\; h)\; 12\; h\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}\text{'}\; (x)\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{\; -f\; (x\; +\; 2h)\; +\; 16f\; (x\; +\; h)\; -30f\; (x)\; +\; 16f\; (xh)\; -f\; (x-2h)\}\; \{12h\; ^\; \{2\}\}\}\}$

$f\; (3)\; (x)\; \approx \; е\; (Икс\; +\; 2\; час)\; -\; 2\; е\; (Икс\; +\; час)\; +\; 2\; е\; (Икс\; -\; В)\; -\; е\; (Икс\; -\; 2\; час)\; 2\; час\; 3\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; ^\; \{(3)\}\; (x)\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x\; +\; 2h)\; -2f\; (x\; +\; h)\; +\; 2f\; (xh)\; -f\; (x-2h)\}\; \{2h\; ^\; \{3\}\}\}\}$

$f\; (4)\; (x)\; \approx \; е\; (Икс\; +\; 2\; час)\; -\; 4\; е\; (Икс\; +\; ч)\; +\; 6\; е\; (Икс)\; -\; 4\; е\; (Икс\; -\; В)\; +\; е\; (Икс\; -\; 2\; час)\; час\; 4\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; ^\; \{(4)\}\; (х)\; \backslash \; ок\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{f\; (x\; +\; 2h)\; -4f\; (x\; +\; h)\; +\; 6f\; (x)\; -4f\; (xh)\; +\; f\; (x-2h)\}\; \{h\; ^\; \{4\}\}\}\}$

Ошибки в этих аппроксимациях составляют O (h), O (h) и O (h) соответственно.

Связь с интерполирующими полиномами Лагранжа

В качестве альтернативы получению конечных разностных весов из ряда Тейлора их можно получить, дифференцируя Лагранжа многочлены

$\ell \; j\; (\xi )\; =\; \prod \; я\; знак\; равно\; 0,\; я\; \ne \; jk\; \xi \; -\; xixj\; -\; xi,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; \_\; \{j\}\; (\backslash \; xi)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 0,\; \backslash ,\; i\; \backslash \; neq\; j\}\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; xi\; -x\_\; \{i\}\}\; \{x\_\; \{j\}\; -x\_\; \{i\}\}\},\}$

где точки интерполяции равны

$x\; 0\; =\; x\; -\; 2\; h,\; x\; 1\; =\; x\; -\; h,\; x\; 2\; =\; x,\; x\; 3\; =\; x\; +\; h,\; x\; 4\; =\; x\; +\; 2\; h.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; =\; x-2h,\; \backslash \; quad\; x\_\; \{1\}\; =\; xh,\; \backslash \; quad\; x\_\; \{2\}\; =\; x,\; \backslash \; quad\; x\_\; \{3\}\; =\; x\; +\; h,\; \backslash \; quad\; x\_\; \{4\}\; =\; x\; +\; 2h.\}$

Тогда многочлен четвертой степени $p\; 4\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{4\}\; (x)\}$, интерполирующий ƒ (x) в этих пяти точках, равен

$p\; 4\; (Икс)\; знак\; равно\; \sum \; J\; знак\; равно\; 0\; 4\; е\; (XJ)\; \ell \; J\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; р\_\; \{4\}\; (х)\; =\; \backslash \; сумма\; \backslash \; пределы\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{4\}\; f\; (x\_\; \{j\})\; \backslash \; ell\; \_\; \{j\}\; (x)\}$

и его производная равна

$p\; 4\; \prime \; (x)\; =\; \sum \; j\; =\; 0\; 4\; f\; (xj)\; \ell \; j\; \prime \; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{4\}\; \text{'}(x)\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{4\}\; f\; (x\_\; \{j\})\; \backslash \; ell\text{'}\; \_\; \{j\}\; (x).\}$

Итак, аппроксимация конечной разностью ƒ (x) в средней точке x = x 2 равна

$f\; \prime \; (x\; 2)\; =\; \ell \; 0\; \prime \; (x\; 2)\; f\; (x\; 0)\; +\; \ell \; 1\; \prime \; (x\; 2)\; f\; (x\; 1)\; +\; \ell \; 2\; \prime \; (x\; 2)\; f\; (x\; 2)\; +\; \ell \; 3\; \prime \; (x\; 2)\; f\; (x\; 3)\; +\; \ell \; 4\; \prime \; (x\; 2)\; f\; (x\; 4)\; +\; O\; (час\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(x\_\; \{2\})\; =\; \backslash \; ell\; \_\; \{0\}\text{'}\; (x\_\; \{2\})\; f\; (x\_\; \{0\})\; +\; \backslash \; ell\; \_\; \{1\}\; \text{'}(x\_\; \{2\})\; f\; (x\_\; \{1\})\; +\; \backslash \; ell\; \_\; \{2\}\; \text{'}(x\_\; \{2\})\; f\; (x\_\; \{2\})\; +\; \backslash \; ell\; \_\; \{3\}\text{'}\; (x\_\; \{2\})\; f\; (x\_\; \{3\})\; +\; \backslash \; ell\; \_\; \{4\}\; \text{'}(x\_\; \{2\})\; f\; (x\_\; \{4\})\; +\; O\; (h\; ^\; \{4\})\}$

Вычисление производных пяти полиномов Лагранжа при x = x 2 дает те же веса, что и выше. Этот метод может быть более гибким, так как расширение до неоднородной сетки довольно просто.

В двух измерениях, если, например, размер квадратов в сетке h на h, пятиточечный шаблон точки (x, y) в сетке равно

$\{(х\; -\; ч,\; у),\; (х,\; у),\; (х\; +\; ч,\; у),\; (х,\; у\; -\; в),\; (х,\; у\; +\; ч)\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{(\; xh,\; y),\; (x,\; y),\; (x\; +\; h,\; y),\; (x,\; yh),\; (x,\; y\; +\; h)\; \backslash \},\; \backslash ,\}$

образуют шаблон, который также называется квинканкс. Этот шаблон часто используется для аппроксимации лапласиана функции двух переменных:

$\nabla \; 2\; f\; (x,\; y)\; \approx \; f\; (x\; -\; h,\; y)\; +\; f\; (x\; +\; h,\; y)\; +\; е\; (х,\; у\; -\; ч)\; +\; е\; (х,\; у\; +\; ч)\; -\; 4\; е\; (х,\; у)\; ч\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; е\; (х,\; у)\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{е\; (хх,\; у)\; +\; е\; (х\; +\; ч,\; у)\; +\; е\; (х,\; ух)\; +\; е\; (х,\; у\; +\; h)\; -4f\; (x,\; y)\}\; \{h\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Ошибка этого приближения составляет O (h), что можно объяснить следующим образом:

Из 3 точечные шаблоны для второй производной функции по x и y:

$\partial \; 2\; f\; \partial \; x\; 2\; =\; f\; (x\; +\; \Delta \; x,\; y)\; +\; f\; (x\; -\; \Delta \; x,\; y)\; -\; 2\; f\; (x,\; y)\; \Delta \; x\; 2\; -\; 2\; f\; (4)\; (x,\; y)\; 4!\; \Delta \; Икс\; 2\; +\; \cdots \; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{l\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \backslash \; left\; (x\; +\; \backslash \; Delta\; x,\; y\; \backslash \; right)\; +\; f\; \backslash \; left\; (x-\; \backslash \; Delta\; x,\; y\; \backslash \; right)\; -2f\; (x,\; y)\}\; \{\backslash \; Delta\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{f\; ^\; \{(\; 4)\}\; (x,\; y)\}\; \{4!\}\}\; \backslash \; Delta\; x\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

$\partial \; 2\; f\; \partial \; y\; 2\; =\; f\; (x,\; y\; +\; \Delta \; y)\; +\; е\; (х,\; у\; -\; \Delta \; у)\; -\; 2\; е\; (х,\; у)\; \Delta \; у\; 2\; -\; 2\; е\; (4)\; (х,\; у)\; 4!\; \Delta \; Y\; 2\; +\; \cdots \; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{l\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \backslash \; left\; (x,\; y\; +\; \backslash \; Delta\; y\; \backslash \; right)\; +\; f\; \backslash \; left\; (x,\; y-\; \backslash \; Delta\; y\; \backslash \; right)\; -2f\; (x,\; y)\}\; \{\backslash \; Delta\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{f\; ^\; \{(\; 4)\}\; (x,\; y)\}\; \{4!\}\}\; \backslash \; Delta\; y\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

Если предположить, что $\Delta \; x\; =\; \Delta \; y\; =\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; x\; =\; \backslash \; Delta\; y\; =\; h\}$:

$\nabla \; 2\; f\; =\; \partial \; 2\; f\; \partial \; x\; 2\; +\; \partial \; 2\; f\; \partial \; y\; 2\; =\; f\; (x\; +\; h,\; y)\; +\; f\; (x\; -\; h,\; y)\; +\; f\; (Икс,\; у\; +\; ч)\; +\; е\; (х,\; у\; -\; ч)\; -\; 4\; е\; (х,\; у)\; ч\; 2-4\; е\; (4)\; (х,\; у)\; 4!\; h\; 2\; +\; \cdots \; =\; f\; (x\; +\; h,\; y)\; +\; f\; (x\; -\; h,\; y)\; +\; f\; (x,\; y\; +\; h)\; +\; f\; (x,\; y\; -\; h)\; -\; 4\; f\; (x,\; y)\; h\; 2\; +\; О\; (час\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ll\}\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; f\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \backslash \; left\; (x\; +\; h,\; y\; \backslash \; right)\; +\; f\; \backslash \; left\; (xh,\; y\; \backslash \; right)\; +\; f\; \backslash \; left\; (x,\; y\; +\; h\; \backslash \; right)\; +\; f\; \backslash \; left\; (x,\; yh\; \backslash \; right)\; -4f\; (x,\; y)\}\; \{h\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; 4\; \{\backslash \; frac\; \{f\; ^\; \{(4)\}\; (x,\; y)\}\; \{4!\}\}\; H\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \backslash \; left\; (x\; +\; h,\; y\; \backslash \; right)\; +\; f\; \backslash \; left\; (xh,\; y\; \backslash \; right)\; +\; f\; \backslash \; left\; (x,\; y\; +\; h\; \backslash \; right)\; +\; f\; \backslash \; left\; (x,\; yh\; \backslash \; right)\; -4f\; (x,\; y)\}\; \{h\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; O\; \backslash \; left\; (\; h\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{array\}\}$

• Переход по трафарету
• Коэффициенты конечной разности

• Abramowitz, Milton ; Стегун, Ирен А. (1970), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, Довер. Девятая печать. Таблица 25.2.