Шаблон (численный анализ)

редактировать
Шаблон Кранк – Николсон для одномерной задачи

В математике, особенно в областях численного анализа, сосредоточенного на численном решении уравнений в частных производных, шаблон представляет собой геометрическое расположение узловой группы, относящейся к интересующего места с помощью процедуры численного приближения. Шаблоны являются основой для многих алгоритмов численного решения уравнений в частных производных (PDE). Двумя примерами трафаретов являются трафарет с пятью точками и трафарет по методу Кранка – Николсона.

Трафареты подразделяются на две категории: компактные и некомпактные, причем разница состоит в том, что слои от точки интереса также используются для расчета.

В обозначениях, используемых для одномерных шаблонов, n-1, n, n + 1 указывают временные шаги, при которых временной шаг n и n-1 имеет известные решения и временной шаг n + 1 должен быть вычислен. Пространственное расположение конечных объемов, используемых в расчетах, обозначено j-1, j и j + 1.

Содержание

  • 1 Этимология
  • 2 Расчет коэффициентов
  • 3 См. Также
  • 4 Ссылки

Этимология

Графические представления расположения узлов и их коэффициентов возникли на ранних этапах исследования PDEs. Авторы продолжают использовать для них различные термины, такие как «шаблоны релаксации», «инструкции по эксплуатации», «лепешки» или «точечные рисунки». Термин «шаблон» был придуман для таких шаблонов, чтобы отразить концепцию размещения шаблона в обычном смысле на вычислительной сетке, чтобы отображать только числа, необходимые на конкретном этапе.

Расчет коэффициентов

Коэффициенты конечных разностей для заданного шаблона фиксируются выбором узловых точек. Коэффициенты могут быть вычислены путем взятия производной от полинома Лагранжа, интерполяции между узловыми точками, путем вычисления разложения Тейлора вокруг каждой узловой точки и решения линейной системы, или путем обеспечения этого трафарет точен для одночленов до степени трафарета. Для равноотстоящих узлов они могут быть эффективно вычислены как аппроксимация Паде из xs ⋅ (log ⁡ x) m {\ displaystyle x ^ {s} \ cdot (\ log x) ^ { m}}{\ displaystyle x ^ {s} \ cdot (\ log x) ^ {m}} , где m {\ displaystyle m}m - это порядок трафарета, а s {\ displaystyle s}s - это отношение расстояния между самой левой производной и входами левой функции, деленное на шаг сетки.

См. также

Ссылки

  1. ^Эммонс, Ховард У. (1 октября 1944 г.). «Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных» (PDF). Квартал прикладной математики. 2 (3): 173–195. doi : 10.1090 / qam / 10680. Проверено 17 апреля 2017 г.
  2. ^ Милн, Уильям Эдмунд (1953). Численное решение дифференциальных уравнений (1-е изд.). Вайли. С. 128–131. Проверено 17 апреля 2017 г.
  3. ^ Форнберг, Бенгт; Флаер, Наташа (2015). «Краткое изложение конечно-разностных методов». Учебник по радиальным базовым функциям в приложениях к наукам о Земле. Общество промышленной и прикладной математики. doi : 10.1137 / 1.9781611974041.ch1. ISBN 9781611974027. Проверено 9 апреля 2017 года.
  4. ^Тейлор, Кэмерон. «Калькулятор конечно-разностных коэффициентов». web.media.mit.edu. Проверено 9 апреля 2017 г.
  5. ^Форнберг, Бенгт (январь 1998 г.). «Классная записка: Расчет весов по формулам конечных разностей». SIAM Обзор. 40 (3): 685–691. doi : 10.1137 / S0036144596322507.
Последняя правка сделана 2021-06-09 10:53:59
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте