Забор (математика)

В математике, забор, также называемый зигзагообразным узлом, является частично упорядоченным множеством, в котором отношения порядка образуют путь с чередующимися ориентациями:

a < b>c < d>e < f>h < i...

или

a>b < c>d < e>f < h>i...

Забор может быть конечным, или он может быть образован бесконечной чередующейся последовательностью, идущей в обоих направлениях. точки попадания из графов путей образуют примеры ограждений.

A линейное продолжение ограждения называется чередующейся перестановкой ; Проблема Андре о подсчете количества различных линейных расширений изучается с XIX века. Решения этой проблемы подсчета, так называемые зигзагообразные числа Эйлера или числа вверх / вниз, равны

1, 1, 2, 4, 10, 32, 122, 544, 2770, 15872, 101042 (последовательность A001250 в OEIS ).

Количество антицепей в ограждении - это число Фибоначчи ; распределительная решетка с таким количеством элементов, сгенерированный из ограждения с помощью теоремы представления Биркгофа, имеет в качестве своего графика куб Фибоначчи.

Частично упорядоченное множество последовательно-параллельное тогда и только тогда, когда оно не имеют четыре элемента, образующих забор.

Некоторые авторы также исследовали количество сохраняющих порядок карт от заборов до самих себя или до заборов других размеров.

вверх-вниз poset Q (a, b) является обобщением зигзагообразного poset, в котором есть нисходящие ориентации для каждого восходящего элемента и b всего элементов. Например, Q (2,9) имеет элементы и отношения

a>b>c < d>e>f < g>h>i.

В этих обозначениях забор - это частично упорядоченный набор o f форма Q (1, n).

• 1 Эквивалентные условия
• 2 Примечания
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

Следующие условия эквивалентны для poset P:

1. P представляет собой непересекающееся объединение зигзагообразных положений.
2. Если a ≤ b ≤ c в P, либо a = b, либо b = c.
3. < $\circ \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; circ\}$< = $\varnothing \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; emptyset\}$, т.е. никогда не бывает, что < b and b < c, so that < is vacuously transitive.
4. P имеет размерность не более единицы (определенную аналогично размерности Крулля коммутативного кольца ).
5. Каждый элемент P является либо максимальным, либо минимальным.
6. Категория среза Pos / P декартово замкнуто.

простые идеалы коммутативного кольца R, упорядоченные по включению, удовлетворяют эквивалентным условиям выше тогда и только тогда, когда R имеет размерность Крулля не более единицы.

• Вайсштейн, Эрик У. «Забор Позицион». MathWorld.