Критерий текучести Друкера – Прагера

редактировать

Рис. 1: Вид поверхности текучести Друкера – Прагера в трехмерном пространстве главных напряжений для

c = 2, ϕ = - 20 ∘ {\ displaystyle c = 2, \ phi = -20 ^ {\ circ}}

c = 2, \ phi = -20 ^ \ circ

критерий текучести Друкера – Прагера - это зависящая от давления модель для определения того, имеет ли материал вышли из строя или подверглись пластической текучести. Критерий был введен для работы с пластической деформацией грунтов. Он и его множество вариантов применялись для обработки камня, бетона, полимеров, пен и других материалов, зависящих от давления.

Критерий доходности Друкера - Прагера имеет вид

J 2 = A + BI 1 {\ displaystyle {\ sqrt {J_ {2}}} = A + B ~ I_ {1}}

{\ sqrt {J_ {2}}} = A + B ~ I_ {1}

где $I 1 {\ displaystyle I_ {1}}$ $I_ {1}$ - первый инвариант напряжения Коши и $J 2 {\ displaystyle J_ {2}}$ $J_ {2}$ является вторым инвариантом девиаторной части напряжения Коши.. Константы $A, B {\ displaystyle A, B}$ $A, B$ определяются экспериментально.

В терминах эквивалентного напряжения (или напряжения по Мизесу ) и гидростатического (или среднего) напряжения критерий Друкера – Прагера может быть выражено как

σ e = a + b σ m {\ displaystyle \ sigma _ {e} = a + b ~ \ sigma _ {m}}

\ sigma _ {e} = a + b ~ \ sigma _ {m}

где $σ e {\ displaystyle \ sigma _ {e}}$ $\ sigma _ {e}$ - эквивалентное напряжение, $σ m {\ displaystyle \ sigma _ {m}}$ $\ sigma _ {m}$ - гидростатическое напряжение, а $a, b { \ displaystyle a, b}$ $a, b$ - материальные константы. Критерий доходности Друкера – Прагера, выраженный в координатах Хая – Вестергаарда, равен

1 2 ρ - 3 B ξ = A {\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} \ rho - {\ sqrt {3}} ~ B \ xi = A}

{\ tfrac {1} {{\ sqrt {2}}}} \ rho - {\ sqrt {3}} ~ B \ xi = A

Поверхность текучести Друкера – Прагера является гладкой версией поверхности текучести Мора – Кулона.

Содержание

1 Выражения для A и B
- 1.1 Коэффициент одноосной асимметрии
- 1.2 Выражения в терминах когезии и угла трения
2 Модель Друкера – Прагера для полимеров
3 Модель Друкера – Прагера для пен
4 Расширения изотропной модели Друкера – Прагера
- 4.1 Критерий текучести Дешпанде-Флека или критерий текучести изотропной пены
5 Анизотропный критерий текучести Друкера-Прагера
6 Критерий текучести Друкера
7 Анизотропный критерий Друкера
- 7.1 Критерий текучести Казаку – Барлата для плоского напряжения
8 См. Также
9 Ссылки

Выражения для A и B

Модель Друкера – Прагера может быть записана в терминах принципа напряжения как

1 6 [(σ 1 - σ 2) 2 + (σ 2 - σ 3) 2 + (σ 3 - σ 1) 2] = A + B (σ 1 + σ 2 + σ 3). {\ displaystyle {\ sqrt {{\ cfrac {1} {6}} \ left [(\ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}) ^ {2} + (\ sigma _ {2} - \ sigma _ {3}) ^ {2} + (\ sigma _ {3} - \ sigma _ {1}) ^ {2} \ right]}} = A + B ~ (\ sigma _ {1} + \ sigma _ {2} + \ sigma _ {3}) ~.}

{\ sqr t {{\ cfrac {1} {6}} \ left [(\ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}) ^ {2} + (\ sigma _ {2} - \ sigma _ {3}) ^ {2} + (\ sigma _ {3} - \ sigma _ {1}) ^ {2} \ right]}} = A + B ~ (\ sigma _ {1} + \ sigma _ {2} + \ сигма _ {3}) ~.

Если $σ t {\ displaystyle \ sigma _ {t}}$ $\ sigma _ {t}$ - это предел текучести при одноосном растяжении, то Drucker– Из критерия Прагера следует

1 3 σ t = A + B σ t. {\ displaystyle {\ cfrac {1} {\ sqrt {3}}} ~ \ sigma _ {t} = A + B ~ \ sigma _ {t} ~.}

{\ cfrac {1} {{\ sqrt {3}}}} ~ \ sigma _ {t} = A + B ~ \ sigma _ {t} ~.

Если $σ c {\ displaystyle \ sigma _ {c}}$ $\ sigma_c$ - предел текучести при одноосном сжатии, критерий Друкера – Прагера подразумевает

1 3 σ c = A - B σ c. {\ displaystyle {\ cfrac {1} {\ sqrt {3}}} ~ \ sigma _ {c} = AB ~ \ sigma _ {c} ~.}

{\ cfrac {1} {{\ sqrt {3}}}} ~ \ sigma _ {c} = AB ~ \ sigma _ {c} ~.

Решение этих двух уравнений дает

A = 2 3 (σ c σ t σ c + σ t); B = 1 3 (σ t - σ c σ c + σ t). {\ displaystyle A = {\ cfrac {2} {\ sqrt {3}}} ~ \ left ({\ cfrac {\ sigma _ {c} ~ \ sigma _ {t}} {\ sigma _ {c} + \ sigma _ {t}}} \ right) ~; ~~ B = {\ cfrac {1} {\ sqrt {3}}} ~ \ left ({\ cfrac {\ sigma _ {t} - \ sigma _ {c }} {\ sigma _ {c} + \ sigma _ {t}}} \ right) ~.}

A = {\ cfrac {2} {{\ sqrt {3}}}} ~ \ left ({\ cfrac {\ sigma _ {c } ~ \ sigma _ {т }} {\ sigma _ {c} + \ sigma _ {t}}} \ right) ~; ~~ B = {\ cfrac {1} {{\ sqrt {3}}}} ~ \ left ({\ cfrac {\ sigma _ {t} - \ sigma _ {c}} {\ sigma _ {c} + \ sigma _ {t}}} \ right) ~.

Коэффициент одноосной асимметрии

Друкер предсказывает различные одноосные напряжения текучести при растяжении и сжатии –Модель Прагера. Коэффициент одноосной асимметрии для модели Друкера – Прагера равен

β = σ c σ t = 1 - 3 B 1 + 3 B. {\ displaystyle \ beta = {\ cfrac {\ sigma _ {\ mathrm {c}}} {\ sigma _ {\ mathrm {t}}}} = {\ cfrac {1 - {\ sqrt {3}} ~ B } {1 + {\ sqrt {3}} ~ B}} ~.}

\ beta = {\ cfrac {\ sigma _ {{\ mathrm {c}}}} {\ sigma _ {{\ mathrm {t} }}}} = {\ cfrac {1 - {\ sqrt {3}} ~ B} {1 + {\ sqrt {3}} ~ B}} ~.

Выражения в терминах когезии и угла трения

Поскольку поверхность текучести Друкера – Прагера является гладкая версия поверхности текучести Мора – Кулона, ее часто выражают через когезию ( $c {\ displaystyle c}$ $c$ ) и угол внутреннего трения ( $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ ), которые используются для описания поверхности текучести Мора – Кулона. Если предположить, что поверхность текучести Друкера – Прагера описывает поверхность текучести Мора – Кулона, тогда выражения для $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ равны

A = 6 c cos ⁡ ϕ 3 (3 - sin ⁡ ϕ); В знак равно 2 грех ⁡ ϕ 3 (3 - грех ⁡ ϕ) {\ displaystyle A = {\ cfrac {6 ~ c ~ \ cos \ phi} {{\ sqrt {3}} (3- \ sin \ phi)}} ~; ~~ B = {\ cfrac {2 ~ \ sin \ phi} {{\ sqrt {3}} (3- \ sin \ phi)}}}

A = {\ cfrac {6 ~ c ~ \ cos \ phi} {{\ sqrt {3}} (3- \ sin \ phi)}} ~; ~~ B = {\ cfrac {2 ~ \ sin \ phi} {{\ sqrt {3}} (3- \ sin \ phi)}}

Если поверхность текучести Друкера – Прагера в середине описывает поверхность текучести Мора – Кулона, тогда

A = 6 c cos ⁡ ϕ 3 (3 + sin ⁡ ϕ); В знак равно 2 грех ⁡ ϕ 3 (3 + грех ⁡ ϕ) {\ displaystyle A = {\ cfrac {6 ~ c ~ \ cos \ phi} {{\ sqrt {3}} (3+ \ sin \ phi)}} ~; ~~ B = {\ cfrac {2 ~ \ sin \ phi} {{\ sqrt {3}} (3+ \ sin \ phi)}}}

A = {\ cfrac {6 ~ c ~ \ cos \ phi} {{\ sqrt {3}} (3+ \ sin \ phi)}} ~; ~~ B = {\ cfrac {2 ~ \ sin \ phi} {{\ sqrt {3} } (3+ \ sin \ phi)}}

Если поверхность текучести Друкера – Прагера вписывает поверхность текучести Мора – Кулона, тогда

A = 3 c cos ⁡ ϕ 9 + 3 sin 2 ⁡ ϕ; В знак равно грех ⁡ ϕ 9 + 3 грех 2 ⁡ ϕ {\ Displaystyle A = {\ cfrac {3 ~ c ~ \ cos \ phi} {\ sqrt {9 + 3 ~ \ sin ^ {2} \ phi}}} ~ ; ~~ B = {\ cfrac {\ sin \ phi} {\ sqrt {9 + 3 ~ \ sin ^ {2} \ phi}}}}

A = {\ cfrac {3 ~ c ~ \ cos \ phi} {{\ sqrt {9 + 3 ~ \ sin ^ {2} \ phi}}}} ~; ~~ B = {\ cfrac {\ sin \ phi} {{\ sqrt {9 + 3) ~ \ sin ^ {2} \ phi}}}}

Вывод выражений для $A, B {\ displaystyle A, B}$ $A, B$ в терминах $c, ϕ {\ displaystyle c, \ phi}$ $c, \ phi$
Выражение для критерия текучести Мора – Кулона в Haigh –Пространство Вестергаарда равно $[3 sin ⁡ (θ + π 3) - sin ⁡ ϕ cos ⁡ (θ + π 3)] ρ - 2 sin ⁡ (ϕ) ξ = 6 c cos ⁡ ϕ {\ displaystyle \ left [{\ sqrt {3}} ~ \ sin \ left (\ theta + {\ tfrac {\ pi} {3}} \ right) - \ sin \ phi \ cos \ left (\ theta + {\ tfrac {\ pi} {3}} \ right) \ right] \ rho - {\ sqrt {2}} \ sin (\ phi) \ xi = {\ sqrt {6}} c \ cos \ phi}$ $\ left [{\ sqrt {3}} ~ \ sin \ left (\ theta + {\ tfrac {\ pi} {3}} \ right) - \ sin \ phi \ cos \ left (\ theta + {\ tfrac {\ pi} {3}} \ right) \ right] \ rho - {\ sqrt {2}} \ sin (\ phi) \ xi = {\ sqrt {6}} c \ cos \ phi$ Если мы предполагаем, что поверхность текучести Друкера – Прагера описывает поверхность текучести Мора – Кулона, так что две поверхности совпадают в точке $θ = π 3 {\ displaystyle \ theta = {\ tfrac {\ pi} { 3}}}$ $\ theta = {\ tfrac {\ pi } {3}}$ , то в этих точках поверхность текучести Мора – Кулона может быть выражена как $[3 sin ⁡ 2 π 3 - sin ⁡ ϕ cos ⁡ 2 π 3] ρ - 2 грех ⁡ (ϕ) ξ = 6 c соз ⁡ ϕ {\ displaystyle \ left [{\ sqrt {3}} ~ \ sin {\ tfrac {2 \ pi} {3}} - \ sin \ phi \ cos {\ tfrac {2 \ pi} {3}} \ right] \ rho - {\ sqrt {2}} \ sin (\ phi) \ xi = {\ sqrt {6}} c \ cos \ phi}$ $\ left [{\ sqrt {3}} ~ \ sin {\ tfrac {2 \ pi} {3}} - \ sin \ phi \ cos {\ tfrac {2 \ pi} {3}} \ right] \ rho - {\ sqrt {2}} \ sin (\ phi) \ xi = {\ sqrt {6}} c \ cos \ phi$ или, $1 2 ρ - 2 грех ⁡ ϕ 3 + грех ⁡ ϕ ξ = 12 c cos ⁡ ϕ 3 + грех ⁡ ϕ (1.1) {\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2} }} \ rho - {\ cfrac {2 \ sin \ phi} {3+ \ sin \ phi}} \ xi = {\ cfrac {{\ sqrt {12}} c \ cos \ phi} {3+ \ sin \ phi}} \ qquad \ qquad (1.1)}$ ${\ tfrac {1} {{\ sqrt {2}}}} \ rho - {\ cfrac {2 \ sin \ phi} {3+ \ sin \ phi}} \ xi = {\ cfrac {{\ sqrt {12}} c \ cos \ phi} {3+ \ sin \ phi}} \ qquad \ qquad (1.1)$ Критерий доходности Друкера – Прагера, выраженный в координатах Хэя – Вестергаарда, равен $1 2 ρ - 3 B ξ = A (1.2) {\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} \ rho - {\ sqrt {3}} ~ B \ xi = A \ qquad \ qquad (1.2)}$ ${\ tfrac {1} {{\ sqrt {2}}}} \ rho - {\ sqrt {3 }} ~ B \ xi = A \ qquad \ qquad (1.2)$ Сравнение уравнений (1.1) и (1.2) имеем $A = 12 c cos ⁡ ϕ 3 + sin ⁡ ϕ = 6 c cos ⁡ ϕ 3 (3 + sin ⁡ ϕ); В знак равно 2 грех ⁡ ϕ 3 (3 + грех ⁡ ϕ) {\ Displaystyle A = {\ cfrac {{\ sqrt {12}} с \ соз \ phi} {3+ \ sin \ phi}} = {\ cfrac { 6c \ cos \ phi} {{\ sqrt {3}} (3+ \ sin \ phi)}} ~; ~~ B = {\ cfrac {2 \ sin \ phi} {{\ sqrt {3}} (3 + \ sin \ phi)}}}$ $A = {\ cfrac {{\ sqrt {12}} c \ cos \ phi} {3+ \ sin \ phi}} = {\ cfrac {6c \ cos \ phi} {{\ sqrt {3}} (3+ \ sin \ phi)}} ~; ~~ B = {\ cfrac {2 \ sin \ phi} {{\ sqrt {3}} (3+ \ sin \ phi)}}$ Это выражения для $A, B {\ displaystyle A, B}$ $A, B$ в терминах $c, ϕ {\ displaystyle c, \ phi}$ $c, \ phi$ . С другой стороны, если поверхность Друкера – Прагера вписывает поверхность Мора – Кулона, то сопоставление двух поверхностей при $θ = 0 {\ displaystyle \ theta = 0}$ $\ theta = 0$ дает $A = 6 c cos ⁡ ϕ 3 (3 - sin ⁡ ϕ); В знак равно 2 грех ⁡ ϕ 3 (3 - грех ⁡ ϕ) {\ Displaystyle A = {\ cfrac {6c \ cos \ phi} {{\ sqrt {3}} (3- \ sin \ phi)}} ~; ~ ~ B = {\ cfrac {2 \ sin \ phi} {{\ sqrt {3}} (3- \ sin \ phi)}}}$ $A = {\ cfrac {6c \ cos \ phi} {{\ sqrt {3}} (3- \ sin \ phi)}} ~; ~~ B = {\ cfrac {2 \ sin \ phi} {{\ sqrt {3}} (3- \ sin \ phi)}}$ Сравнение поверхностей текучести Друкера – Прагера и Мора – Кулона (вписанных) в плоскость $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ для $c = 2, ϕ = 20 ∘ {\ displaystyle c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ}}$ $c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ}$ Сравнение поверхностей текучести Друкера – Прагера и Мора – Кулона (описанных) на плоскости $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ для $c = 2, ϕ = 20 ∘ {\ displaystyle c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ}}$ $c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ}$

Вывод выражений для

A, B {\ displaystyle A, B}

A, B

в терминах

c, ϕ {\ displaystyle c, \ phi}

c, \ phi

Выражение для критерия текучести Мора – Кулона в Haigh –Пространство Вестергаарда равно

[3 sin ⁡ (θ + π 3) - sin ⁡ ϕ cos ⁡ (θ + π 3)] ρ - 2 sin ⁡ (ϕ) ξ = 6 c cos ⁡ ϕ {\ displaystyle \ left [{\ sqrt {3}} ~ \ sin \ left (\ theta + {\ tfrac {\ pi} {3}} \ right) - \ sin \ phi \ cos \ left (\ theta + {\ tfrac {\ pi} {3}} \ right) \ right] \ rho - {\ sqrt {2}} \ sin (\ phi) \ xi = {\ sqrt {6}} c \ cos \ phi}

\ left [{\ sqrt {3}} ~ \ sin \ left (\ theta + {\ tfrac {\ pi} {3}} \ right) - \ sin \ phi \ cos \ left (\ theta + {\ tfrac {\ pi} {3}} \ right) \ right] \ rho - {\ sqrt {2}} \ sin (\ phi) \ xi = {\ sqrt {6}} c \ cos \ phi

Если мы предполагаем, что поверхность текучести Друкера – Прагера описывает поверхность текучести Мора – Кулона, так что две поверхности совпадают в точке $θ = π 3 {\ displaystyle \ theta = {\ tfrac {\ pi} { 3}}}$ $\ theta = {\ tfrac {\ pi } {3}}$ , то в этих точках поверхность текучести Мора – Кулона может быть выражена как

[3 sin ⁡ 2 π 3 - sin ⁡ ϕ cos ⁡ 2 π 3] ρ - 2 грех ⁡ (ϕ) ξ = 6 c соз ⁡ ϕ {\ displaystyle \ left [{\ sqrt {3}} ~ \ sin {\ tfrac {2 \ pi} {3}} - \ sin \ phi \ cos {\ tfrac {2 \ pi} {3}} \ right] \ rho - {\ sqrt {2}} \ sin (\ phi) \ xi = {\ sqrt {6}} c \ cos \ phi}

\ left [{\ sqrt {3}} ~ \ sin {\ tfrac {2 \ pi} {3}} - \ sin \ phi \ cos {\ tfrac {2 \ pi} {3}} \ right] \ rho - {\ sqrt {2}} \ sin (\ phi) \ xi = {\ sqrt {6}} c \ cos \ phi

или,

1 2 ρ - 2 грех ⁡ ϕ 3 + грех ⁡ ϕ ξ = 12 c cos ⁡ ϕ 3 + грех ⁡ ϕ (1.1) {\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2} }} \ rho - {\ cfrac {2 \ sin \ phi} {3+ \ sin \ phi}} \ xi = {\ cfrac {{\ sqrt {12}} c \ cos \ phi} {3+ \ sin \ phi}} \ qquad \ qquad (1.1)}

{\ tfrac {1} {{\ sqrt {2}}}} \ rho - {\ cfrac {2 \ sin \ phi} {3+ \ sin \ phi}} \ xi = {\ cfrac {{\ sqrt {12}} c \ cos \ phi} {3+ \ sin \ phi}} \ qquad \ qquad (1.1)

Критерий доходности Друкера – Прагера, выраженный в координатах Хэя – Вестергаарда, равен

1 2 ρ - 3 B ξ = A (1.2) {\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} \ rho - {\ sqrt {3}} ~ B \ xi = A \ qquad \ qquad (1.2)}

{\ tfrac {1} {{\ sqrt {2}}}} \ rho - {\ sqrt {3 }} ~ B \ xi = A \ qquad \ qquad (1.2)

Сравнение уравнений (1.1) и (1.2) имеем

A = 12 c cos ⁡ ϕ 3 + sin ⁡ ϕ = 6 c cos ⁡ ϕ 3 (3 + sin ⁡ ϕ); В знак равно 2 грех ⁡ ϕ 3 (3 + грех ⁡ ϕ) {\ Displaystyle A = {\ cfrac {{\ sqrt {12}} с \ соз \ phi} {3+ \ sin \ phi}} = {\ cfrac { 6c \ cos \ phi} {{\ sqrt {3}} (3+ \ sin \ phi)}} ~; ~~ B = {\ cfrac {2 \ sin \ phi} {{\ sqrt {3}} (3 + \ sin \ phi)}}}

A = {\ cfrac {{\ sqrt {12}} c \ cos \ phi} {3+ \ sin \ phi}} = {\ cfrac {6c \ cos \ phi} {{\ sqrt {3}} (3+ \ sin \ phi)}} ~; ~~ B = {\ cfrac {2 \ sin \ phi} {{\ sqrt {3}} (3+ \ sin \ phi)}}

Это выражения для $A, B {\ displaystyle A, B}$ $A, B$ в терминах $c, ϕ {\ displaystyle c, \ phi}$ $c, \ phi$ .

С другой стороны, если поверхность Друкера – Прагера вписывает поверхность Мора – Кулона, то сопоставление двух поверхностей при $θ = 0 {\ displaystyle \ theta = 0}$ $\ theta = 0$ дает

A = 6 c cos ⁡ ϕ 3 (3 - sin ⁡ ϕ); В знак равно 2 грех ⁡ ϕ 3 (3 - грех ⁡ ϕ) {\ Displaystyle A = {\ cfrac {6c \ cos \ phi} {{\ sqrt {3}} (3- \ sin \ phi)}} ~; ~ ~ B = {\ cfrac {2 \ sin \ phi} {{\ sqrt {3}} (3- \ sin \ phi)}}}

A = {\ cfrac {6c \ cos \ phi} {{\ sqrt {3}} (3- \ sin \ phi)}} ~; ~~ B = {\ cfrac {2 \ sin \ phi} {{\ sqrt {3}} (3- \ sin \ phi)}}

Сравнение поверхностей текучести Друкера – Прагера и Мора – Кулона (вписанных) в плоскость

π {\ displaystyle \ pi}

\ pi

для

c = 2, ϕ = 20 ∘ {\ displaystyle c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ}}

c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ}

Сравнение поверхностей текучести Друкера – Прагера и Мора – Кулона (описанных) на плоскости

π {\ displaystyle \ pi}

\ pi

для

c = 2, ϕ = 20 ∘ {\ displaystyle c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ}}

c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ}

Рис. 2: Поверхность текучести Друкера – Прагера в плоскости

π {\ displaystyle \ pi}

\ pi

для

c = 2, ϕ = 20 ∘ {\ displaystyle c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ}}

c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ}

Рис. 3. След поверхностей текучести Друкера – Прагера и Мора – Кулона в

σ 1 - σ 2 {\ displaystyle \ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}}

\ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}

-плоскость для

c = 2, ϕ = 20 ∘ {\ displaystyle c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ}}

c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ}

. Желтый = Мора – Кулона, Голубой = Друкера – Прагера.

Модель Друкера – Прагера для полимеров

Модель Друкера – Прагера использовалась для моделирования таких полимеров, как полиоксиметилен и полипропилен. Для полиоксиметилена предел текучести является линейной функцией давления. Однако полипропилен показывает квадратичную зависимость предела текучести от давления.

Модель Друкера – Прагера для пен

Для пен в модели GAZT используется

A = ± σ y 3; B = ∓ 1 3 (ρ 5 ρ s) {\ Displaystyle A = \ pm {\ cfrac {\ sigma _ {y}} {\ sqrt {3}}} ~; ~~ B = \ mp {\ cfrac {1 } {\ sqrt {3}}} ~ \ left ({\ cfrac {\ rho} {5 ~ \ rho _ {s}}} \ right)}

A = \ pm {\ cfrac {\ sigma _ {y} } {{\ sqrt {3}}}} ~; ~~ B = \ mp {\ cfrac {1} {{\ sqrt {3}}}} ~ \ left ({\ cfrac {\ rho} {5 ~ \ rho _ {s}}} \ right)

где $σ y {\ displaystyle \ sigma _ {y}}$ $\ sigma_ {y}$ - критическое напряжение разрушения при растяжении или сжатии, $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ - плотность пены, а $ρ s {\ displaystyle \ rho _ {s}}$ $\rho_s$ - плотность основного материала.

Расширения изотропной модели Друкера – Прагера

Критерий Друкера – Прагера также может быть выражен в альтернативной форме

J 2 = (A + BI 1) 2 = a + b Я 1 + с Я 1 2. {\ displaystyle J_ {2} = (A + B ~ I_ {1}) ^ {2} = a + b ~ I_ {1} + c ~ I_ {1} ^ {2} ~.}

J_ {2} = (A + B ~ I_ {1}) ^ {2} = a + b ~ I_ {1} + c ~ I_ {1} ^ {2} ~.

Дешпанде– Критерий текучести Флека или критерий текучести изотропной пены

Критерий текучести Дешпанде – Флека для пен имеет форму, приведенную в уравнении выше. Параметры $a, b, c {\ displaystyle a, b, c}$ $a, b, c$ для критерия Дешпанде – Флека:

a = (1 + β 2) σ y 2, b = 0, c = - β 2 3 {\ displaystyle a = (1+ \ beta ^ {2}) ~ \ sigma _ {y} ^ {2} ~, ~~ b = 0 ~, ~~ c = - {\ cfrac {\ beta ^ {2}} {3}}}

a = (1+ \ beta ^ {2}) ~ \ sigma _ {y} ^ {2} ~, ~~ b = 0 ~, ~~ c = - {\ cfrac {\ beta ^ {2}} {3}}

где $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ - параметр, определяющий форму поверхности текучести, а $σ y {\ displaystyle \ sigma _ {y}}$ $\ sigma_y$ - предел текучести при растяжении или сжатии.

Анизотропный критерий текучести Друкера – Прагера

Анизотропной формой критерия текучести Друкера – Прагера является критерий текучести Лю – Хуанга – Стаута. Этот критерий текучести является расширением обобщенного критерия текучести Хилла и имеет вид

f: = F (σ 22 - σ 33) 2 + G (σ 33 - σ 11) 2 + H ( σ 11 - σ 22) 2 + 2 L σ 23 2 + 2 M σ 31 2 + 2 N σ 12 2 + I σ 11 + J σ 22 + К σ 33 - 1 ≤ 0 {\ displaystyle {\ begin {align} f: = {\ sqrt {F (\ sigma _ {22} - \ sigma _ {33}) ^ {2} + G (\ sigma _ {33} - \ sigma _ {11}) ^ {2} + H (\ sigma _ {11} - \ sigma _ {22}) ^ {2} + 2L \ sigma _ {23} ^ {2} + 2M \ sigma _ {31} ^ {2} + 2N \ sigma _ { 12} ^ {2}}} \\ + I \ sigma _ {11} + J \ sigma _ {22} + K \ sigma _ {33} -1 \ leq 0 \ end {align}}}

{\ begin {align} f: = {\ sqrt {F (\ sigma _ {{22}} - \ sigma _ {{ 33}}) ^ {2} + G (\ sigma _ {{33}} - \ sigma _ {{11}}) ^ {2} + H (\ sigma _ {{11}} - \ sigma _ {{ 22}}) ^ {2} + 2L \ sigma _ {{23}} ^ {2} + 2M \ sigma _ {{31}} ^ {2} + 2N \ sigma _ {{12}} ^ {2} }} \\ + I \ sigma _ {{11}} + J \ sigma _ {{22}} + K \ sigma _ {{33}} - 1 \ leq 0 \ end {align}}

Коэффициенты $F, G, H, L, M, N, I, J, K {\ displaystyle F, G, H, L, M, N, I, J, K}$ $F, G, H, L, M, N, I, J, K$ равны

F = 1 2 [Σ 2 2 + Σ 3 2 - Σ 1 2]; G = 1 2 [Σ 3 2 + Σ 1 2 - Σ 2 2]; H = 1 2 [Σ 1 2 + Σ 2 2 - Σ 3 2] L = 1 2 (σ 23 y) 2; M = 1 2 (σ 31 y) 2; N = 1 2 (σ 12 y) 2 I = σ 1 c - σ 1 t 2 σ 1 c σ 1 t; J = σ 2 c - σ 2 t 2 σ 2 c σ 2 t; К знак равно σ 3 с - σ 3 T 2 σ 3 с σ 3 T {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} F = {\ cfrac {1} {2}} \ left [\ Sigma _ {2} ^ {2 } + \ Sigma _ {3} ^ {2} - \ Sigma _ {1} ^ {2} \ right] ~; ~~ G = {\ cfrac {1} {2}} \ left [\ Sigma _ {3 } ^ {2} + \ Sigma _ {1} ^ {2} - \ Sigma _ {2} ^ {2} \ right] ~; ~~ H = {\ cfrac {1} {2}} \ left [\ Sigma _ {1} ^ {2} + \ Sigma _ {2} ^ {2} - \ Sigma _ {3} ^ {2} \ right] \\ L = {\ cfrac {1} {2 (\ sigma _ {23} ^ {y}) ^ {2}}} ~; ~~ M = {\ cfrac {1} {2 (\ sigma _ {31} ^ {y}) ^ {2}}} ~; ~ ~ N = {\ cfrac {1} {2 (\ sigma _ {12} ^ {y}) ^ {2}}} \\ I = {\ cfrac {\ sigma _ {1c} - \ sigma _ {1t }} {2 \ sigma _ {1c} \ sigma _ {1t}}} ~; ~~ J = {\ cfrac {\ sigma _ {2c} - \ sigma _ {2t}} {2 \ sigma _ {2c} \ sigma _ {2t}}} ~; ~~ K = {\ cfrac {\ sigma _ {3c} - \ sigma _ {3t}} {2 \ sigma _ {3c} \ sigma _ {3t}}} \ end {выровнено}}}

{\ begin {align} F = {\ cfrac {1} {2}} \ left [\ Sigma _ {2} ^ {2} + \ Sigma _ {3} ^ {2} - \ Sigma _ {1 } ^ {2} \ right] ~; ~~ G = {\ cfrac {1} {2}} \ left [\ Sigma _ {3} ^ {2} + \ Sigma _ {1} ^ {2} - \ Sigma _ {2} ^ {2} \ right] ~; ~~ H = {\ cfrac {1} {2}} \ left [\ Sigma _ {1} ^ {2} + \ Sigma _ {2} ^ { 2} - \ Sigma _ {3} ^ {2} \ right] \\ L = {\ cfrac {1} {2 (\ sigma _ {{23}} ^ {y}) ^ {2}}} ~ ; ~~ M = {\ cfrac {1} {2 (\ sigma _ {{31}} ^ {y}) ^ {2}}} ~; ~~ N = {\ cfrac {1} {2 (\ sigma _ {{12}} ^ {y}) ^ {2}}} \\ I = {\ cfrac {\ sigma _ {{1c}} - \ sigma _ {{1t}}} {2 \ sigma _ { {1c}} \ sigma _ {{1t}}}} ~; ~~ J = {\ cfrac {\ sigma _ {{2c}} - \ sigma _ {{2t}}} {2 \ sigma _ {{2c}} \ sigma _ {{2t}}}} ~; ~~ K = {\ cfrac {\ sigma _ {{3c}} - \ sigma _ {{ 3t}}} {2 \ sigma _ {{3c}} \ sigma _ {{3t}}}} \ end {align}}

где

Σ 1: = σ 1 c + σ 1 t 2 σ 1 c σ 1 t; Σ 2: = σ 2 c + σ 2 t 2 σ 2 c σ 2 t; Σ 3: знак равно σ 3 с + σ 3 T 2 σ 3 с σ 3 t {\ Displaystyle \ Sigma _ {1}: = {\ cfrac {\ sigma _ {1c} + \ sigma _ {1t}} {2 \ sigma _ {1c} \ sigma _ {1t}}} ~; ~~ \ Sigma _ {2}: = {\ cfrac {\ sigma _ {2c} + \ sigma _ {2t}} {2 \ sigma _ {2c } \ sigma _ {2t}}} ~; ~~ \ Sigma _ {3}: = {\ cfrac {\ sigma _ {3c} + \ sigma _ {3t}} {2 \ sigma _ {3c} \ sigma _ {3t}}}}

\ Сигма _ {1}: = {\ cfrac {\ sigma _ {{1c}} + \ sigma _ {{1t}}} {2 \ sigma _ {{1c}} \ sigma _ {{1t}}}} ~ ; ~~ \ Sigma _ {2}: = {\ cfrac {\ sigma _ {{2c}} + \ sigma _ {{2t}}} {2 \ sigma _ {{2c}} \ sigma _ {{2t} }}} ~; ~~ \ Sigma _ {3}: = {\ cfrac {\ sigma _ {{3c}} + \ sigma _ {{3t}}} {2 \ sigma _ {{3c}} \ sigma _ {{3t}}}}

и $σ ic, i = 1, 2, 3 {\ displaystyle \ sigma _ {ic}, i = 1,2,3}$ $\ sigma _ {{ic}}, i = 1,2,3$ являются одноосными напряжения текучести при сжатии в трех основных направлениях анизотропии, $σ it, i = 1, 2, 3 {\ displaystyle \ sigma _ {it}, i = 1,2,3}$ $\ sigma _ {{it}}, i = 1,2,3$ - одноосные напряжения текучести при растяжении и $σ 23 y, σ 31 y, σ 12 y {\ displaystyle \ sigma _ {23} ^ {y}, \ sigma _ {31} ^ {y}, \ sigma _ {12} ^ {y}}$ $\ sigma _ {{23} } ^ {y}, \ sigma _ {{31}} ^ {y}, \ sigma _ {{12}} ^ {y}$ - напряжения текучести при чистом сдвиге. Выше предполагалось, что величины $σ 1 c, σ 2 c, σ 3 c {\ displaystyle \ sigma _ {1c}, \ sigma _ {2c}, \ sigma _ {3c}}$ $\ sigma _ {{ 1c}}, \ sigma _ {{2c}}, \ sigma _ {{3c}}$ положительны и $σ 1 t, σ 2 t, σ 3 t {\ displaystyle \ sigma _ {1t}, \ sigma _ {2t}, \ sigma _ {3t}}$ $\ sigma _ {{1t}}, \ sigma _ {{2t}}, \ sigma _ {{3t}}$ отрицательны.

Критерий текучести Друкера

Критерий Друкера – Прагера не следует путать с более ранним критерием Друкера, который не зависит от давления ( $I 1 {\ displaystyle I_ {1}}$ $I_ {1}$ ). Критерий доходности Друкера имеет вид

f: = J 2 3 - α J 3 2 - k 2 ≤ 0 {\ displaystyle f: = J_ {2} ^ {3} - \ alpha ~ J_ {3} ^ { 2} -k ^ {2} \ leq 0}

f: = J_ {2} ^ {3} - \ alpha ~ J_ {3} ^ {2} -k ^ {2} \ leq 0

где $J 2 {\ displaystyle J_ {2}}$ $J_ {2}$ - второй инвариант девиаторного напряжения, $J 3 { \ displaystyle J_ {3}}$ $J_3$ - третий инвариант девиаторного напряжения, $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ - константа, которая находится между -27/8 и 9 / 4 (чтобы поверхность текучести была выпуклой), $k {\ displaystyle k}$ $k$ - константа, которая изменяется со значением $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ . Для $α = 0 {\ displaystyle \ alpha = 0}$ $\ alpha = 0$ , $k 2 = σ y 6 27 {\ displaystyle k ^ {2} = {\ cfrac {\ sigma _ {y} ^ {6}} { 27}}}$ $k ^ {2} = {\ cfrac {\ sigma _ {y} ^ {6}} {27}}$ где $σ y {\ displaystyle \ sigma _ {y}}$ $\ sigma_y$ - предел текучести при одноосном растяжении.

Анизотропный критерий Друкера

Анизотропной версией критерия текучести Друкера является критерий текучести Казаку – Барлата (CZ), который имеет вид

f: = (J 2 0) 3 - α (J 3 0) 2 - К 2 ≤ 0 {\ displaystyle f: = (J_ {2} ^ {0}) ^ {3} - \ alpha ~ (J_ {3} ^ {0}) ^ {2} -k ^ {2} \ leq 0}

f: = (J_ {2} ^ {0}) ^ {3} - \ alpha ~ (J_ {3} ^ {0}) ^ {2} -k ^ {2} \ leq 0

где $J 2 0, J 3 0 {\ displaystyle J_ {2} ^ {0}, J_ {3} ^ {0}}$ $J_ {2} ^ {0}, J_ {3} ^ {0 }$ являются обобщенными формами девиаторного напряжения и определяются как

J 2 0: = 1 6 [a 1 (σ 22 - σ 33) 2 + a 2 (σ 33 - σ 11) 2 + a 3 (σ 11 - σ 22) 2] + a 4 σ 23 2 + a 5 σ 31 2 + a 6 σ 12 2 J 3 0: = 1 27 [(b 1 + b 2) σ 11 3 + (b 3 + b 4) σ 22 3 + {2 (b 1 + b 4) - (b 2 + b 3)} σ 33 3] - 1 9 [(b 1 σ 22 + b 2 σ 33) σ 11 2 + (b 3 σ 33 + b 4 σ 11) σ 22 2 + {(b 1 - b 2 + b 4) σ 11 + (b 1 - b 3 + b 4) σ 22} σ 33 2] + 2 9 (b 1 + b 4) σ 11 σ 22 σ 33 + 2 b 11 σ 12 σ 23 σ 31 - 1 3 [{2 b 9 σ 22 - b 8 σ 33 - (2 b 9 - b 8) σ 11} σ 31 2 + {2 b 10 σ 33 - b 5 σ 22 - (2 b 10 - b 5) σ 11} σ 12 2 {(b 6 + b 7) σ 11 - b 6 σ 22 - b 7 σ 33} σ 23 2] {\ displaystyle {\ begin {align} J_ {2} ^ {0}: = {\ cfrac {1} {6}} \ left [a_ {1} (\ sigma _ {22} - \ sigma _ {33}) ^ {2} + a_ {2} (\ sigma _ {33} - \ sigma _ {11}) ^ {2} + a_ {3} (\ sigma _ {11} - \ sigma _ {22}) ^ {2} \ right] + a_ {4} \ sigma _ {23} ^ {2} + a_ {5} \ sigma _ {31 } ^ {2} + a_ {6} \ sigma _ {12} ^ {2} \\ J_ {3} ^ {0}: = {\ cfrac {1} {27}} \ left [(b_ {1 } + b_ {2}) \ sigma _ {11} ^ {3} + (b_ {3} + b_ {4}) \ sigma _ {22} ^ {3} + \ {2 (b_ {1} + b_ {4}) - (b_ {2} + b_ {3}) \} \ sigma _ {33} ^ {3} \ right] \\ - {\ cfrac {1} {9}} \ left [(b_ {1} \ sigma _ {22} + b_ {2} \ sigma _ {33}) \ sigma _ {11} ^ {2} + (b_ {3} \ sigma _ {33} + b_ {4} \ sigma _ {11}) \ sigma _ {22} ^ {2} + \ {(b_ {1} -b_ {2} + b_ {4}) \ sigma _ {11} + (b_ {1} -b_ {3 } + b_ {4}) \ sigma _ {22} \} \ sigma _ {33} ^ {2} \ right] \\ + {\ cfrac {2} {9}} (b_ {1} + b_ { 4}) \ sigma _ {11} \ sigma _ {22} \ sigma _ {33} + 2b_ {11} \ sigma _ {12} \ sigma _ {23} \ sigma _ {31} \\ - {\ cfrac {1} {3}} \ left [\ {2b_ {9} \ sigma _ {22} -b_ {8} \ sigma _ {33} - (2b_ {9} -b_ {8}) \ sigma _ { 11} \} \ sigma _ {31} ^ {2} + \ {2b_ {10} \ sigma _ {33} -b_ {5} \ sigma _ {22} - (2b_ {10} -b_ {5}) \ sigma _ {11} \} \ sigma _ {12} ^ {2} \ right. \\ \ qquad \ qquad \ left. \ {( b_ {6} + b_ {7}) \ sigma _ {11} -b_ {6} \ sigma _ {22} -b_ {7} \ sigma _ {33} \} \ sigma _ {23} ^ {2} \ right] \ end {align}}}

{\ begin {align} J_ {2} ^ {0}: = {\ cfrac {1 } {6}} \ left [a_ {1} (\ sigma _ {{22}} - \ sigma _ {{33}}) ^ {2} + a_ {2} (\ sigma _ {{33}} - \ sigma _ {{11}}) ^ {2} + a_ {3} (\ sigma _ {{11}} - \ sigma _ {{22}}) ^ {2} \ right] + a_ {4} \ сигма _ {{23}} ^ {2} + a_ {5} \ sigma _ {{31}} ^ {2} + a_ {6} \ sigma _ {{12}} ^ {2} \\ J_ {3 } ^ {0}: = {\ cfrac {1} {27}} \ left [(b_ {1} + b_ {2}) \ sigma _ {{11}} ^ {3} + (b_ {3 } + b_ {4}) \ sigma _ {{22}} ^ {3} + \ {2 (b_ {1} + b_ {4}) - (b_ {2} + b_ {3}) \} \ sigma _ {{33}} ^ {3} \ right] \\ - {\ cfrac {1} {9}} \ left [(b_ {1} \ sigma _ {{22}} + b_ {2} \ sigma _ {{33}}) \ sigma _ {{11}} ^ {2} + (b_ {3} \ sigma _ {{33}} + b_ {4} \ sigma _ {{11}}) \ sigma _ {{22}} ^ {2} + \ {(b_ {1} -b_ {2} + b_ {4}) \ sigma _ {{11}} + (b_ {1} -b_ {3} + b_ { 4}) \ sigma _ {{22}} \} \ sigma _ {{33}} ^ {2} \ right] \\ + {\ cfrac {2} {9}} (b_ {1} + b_ { 4}) \ sigma _ {{11}} \ sigma _ {{22}} \ sigma _ {{33}} + 2b _ {{11}} \ sigma _ {{12}} \ sigma _ {{23}} \ sigma _ {{31}} \\ - {\ cfrac {1} {3}} \ left [\ {2b_ {9} \ sigma _ {{22}} - b_ {8} \ sigma _ {33 }} - (2b_ {9} -b_ {8}) \ sigma _ {{11}} \} \ sigma _ {{31}} ^ {2} + \ {2b _ {{10}} \ sigma _ {{ 33}} - b_ {5} \ sigma _ {{22}} - (2b _ {{10}} - b_ {5}) \ sigma _ {{11}} \} \ sigma _ {{12}} ^ { 2} \ right. \\ \ qquad \ qquad \ left. \ {(B_ {6} + b_ {7}) \ sigma _ {{11}} - b_ {6} \ sigma _ {{22}} - b_ {7} \ sigma _ {{33}} \} \ sigma _ {{23}} ^ {2} \ right] \ end {align}}

Критерий текучести Казаку – Барлата для плоского напряжения

Для тонких листовых металлов напряженное состояние можно аппроксимировать как плоское напряжение. В этом случае критерий текучести Казаку – Барлата сводится к его двумерной версии с

J 2 0 = 1 6 [(a 2 + a 3) σ 11 2 + (a 1 + a 3) σ 22 2 - 2 a 3 σ 1 σ 2] + a 6 σ 12 2 J 3 0 = 1 27 [(b 1 + b 2) σ 11 3 + (b 3 + b 4) σ 22 3] - 1 9 [b 1 σ 11 + b 4 σ 22] σ 11 σ 22 + 1 3 [b 5 σ 22 + (2 b 10 - b 5) σ 11] σ 12 2 {\ displaystyle {\ begin {align} J_ {2} ^ {0} = {\ cfrac {1} {6}} \ left [(a_ {2} + a_ {3}) \ sigma _ {11} ^ {2} + (a_ {1} + a_ {3}) \ sigma _ {22} ^ {2} -2a_ {3} \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} \ right] + a_ {6} \ sigma _ {12} ^ {2} \\ J_ {3} ^ {0} = {\ cfrac {1} {27}} \ left [(b_ {1} + b_ {2}) \ sigma _ {11} ^ {3} + (b_ {3} + b_ {4}) \ sigma _ {22} ^ {3} \ right] - {\ cfrac {1} {9}} \ left [b_ {1} \ sigma _ {11} + b_ {4} \ sigma _ {22} \ справа] \ sigma _ {11} \ sigma _ {22} + {\ cfrac {1} {3}} \ left [b_ {5} \ sigma _ {22} + (2b_ {10} -b_ {5}) \ sigma _ {11} \ right] \ sigma _ {12} ^ {2} \ end {align}}}

{\ begin {align} J_ {2} ^ {0 } = {\ cfrac {1} {6}} \ left [(a_ {2} + a_ {3}) \ sigma _ {{11}} ^ {2} + (a_ {1} + a_ {3}) \ sigma _ {{22}} ^ {2} -2a_ {3} \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} \ right] + a_ {6} \ sigma _ {{12}} ^ {2} \\ J_ {3} ^ {0} = {\ cfrac {1} {27}} \ left [(b_ {1} + b_ {2}) \ sigma _ {{11}} ^ {3} + ( b_ {3} + b_ {4}) \ sigma _ {{22}} ^ {3} \ right] - {\ cfrac {1} {9}} \ left [b_ {1} \ sigma _ {11} } + b_ {4} \ sigma _ {{22}} \ right] \ sigma _ {{11}} \ sigma _ {{22}} + {\ cfrac {1} {3}} \ left [b_ {5} \ sigma _ {{22}} + (2b _ {{10}} - b_ {5}) \ sigma _ {{11}} \ right] \ sigma _ {{12}} ^ {2} \ end {align}}

Для тонких листов металлов и сплавов параметры критерия текучести Казаку – Барлата равны

Таблица 1. Параметры критерия текучести Казаку – Барлата для листовых металлов и сплавов
Материал	$a 1 {\ displaystyle a_ {1}}$ $a_{1}$	$a 2 {\ displaystyle a_ {2}}$ $a_ {2}$	$a 3 {\ displaystyle a_ {3}}$ $a_ {3}$	$a 6 {\ displaystyle a_ {6}}$ $a_ {6}$	$b 1 {\ displaystyle b_ {1}}$ $b_ {1}$	$b 2 {\ displaystyle b_ {2}}$ $b_ {2}$	$b 3 {\ displaystyle b_ {3}}$ $b_3$	$b 4 { \ displaystyle b_ {4}}$ $b_4$	$b 5 {\ displaystyle b_ {5}}$ $b_ {5}$	$b 10 {\ displaystyle b_ {10}}$ $b _ {{10}}$	$α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$
6016-T4 алюминий Сплав	0.815	0.815	0.334	0.42	0.04	-1.205	-0,958	0,306	0,153	-0,02	1,4
Алюминиевый сплав 2090-T3	1,05	0,823	0,586	0,96	1,44	0,061	-1,302	-0,281	-0,375	0,445	1,285

См. Также

Ссылки

^Друкер, округ Колумбия и Прагер, У. (1952). Механика грунта и пластический анализ для расчета пределов. Quarterly of Applied Mathematics, vol. 10, вып. 2. С. 157–165.
^https://www.onepetro.org/conference-paper/SPE-20405-MS
^Абрат, С. (2008). Критерии текучести или разрушения ячеистых материалов. Журнал сэндвич-структур и материалов, вып. 10. С. 5–51.
^Гибсон, Л.Дж., Эшби, М.Ф., Чжан, Дж. И Триантафиллиоу, Т.С. (1989). Поверхности разрушения ячеистых материалов при многоосных нагрузках. I. Моделирование. Международный журнал механических наук, вып. 31, нет. 9. С. 635–665.
^В. С. Дешпанде, и Флек, Н. А. (2001). Многоосный предел текучести пенополимеров. Acta Materialia, т. 49, нет. 10. С. 1859–1866.
^ $β = α / 3 {\ displaystyle \ beta = \ alpha / 3}$ $\ beta = \ alpha / 3$ где $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ - количество, используемое Deshpande – Fleck
^Лю К., Хуанг Ю. и Стаут М.Г. (1997). Об асимметричной поверхности текучести пластически ортотропных материалов: феноменологическое исследование. Acta Materialia, т. 45, нет. 6, pp. 2397–2406
^Друкер Д. К. (1949) Связь экспериментов с математическими теориями пластичности, Journal of Applied Mechanics, vol. 16. С. 349–357.
^Cazacu, O.; Барлат, Ф. (2001), «Обобщение критерия текучести Друкера на ортотропию», Mathematics Mechanics of Solids, 6(6): 613–630.