Плотность Дирихле

редактировать

В математике, плотность Дирихле (или аналитическая плотность ) набора простые числа, названные в честь Питера Густава Лежена Дирихле, являются мерой размера набора, который проще использовать, чем естественная плотность.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 См. Также
4 Примечания
5 Ссылки

Определение

Если A - подмножество простых чисел, плотность Дирихле A является пределом

lim s → 1 + ∑ p ∈ A 1 ps ∑ p 1 ps {\ displaystyle \ lim _ {s \ rightarrow 1 ^ {+}} {\ frac {\ sum _ {p \ в A} {1 \ over p ^ {s}}} {\ sum _ {p} {\ frac {1} {p ^ {s}}}}}}

{\ displaystyle \ lim _ {s \ rightarrow 1 ^ {+}} {\ frac {\ sum _ {p \ in A} {1 \ over p ^ {s}}} {\ sum _ {p} {\ frac {1} {p ^ {s}}}}}}

, если он существует. Обратите внимание, что, поскольку $∑ p 1 пс ∼ log ⁡ (1 s - 1) {\ displaystyle \ textstyle {\ sum _ {p} {\ frac {1} {p ^ {s}}} \ sim \ log ( {\ frac {1} {s-1}})}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ sum _ {p } {\ frac {1} {p ^ {s}}} \ sim \ log ({\ frac {1} {s-1}})}}$ как $s → 1 + {\ displaystyle s \ rightarrow 1 ^ {+}}$ ${\ displaystyle s \ rightarrow 1 ^ {+} }$ (см. Простое дзета-функция ), это также равно

lim s → 1 + ∑ p ∈ A 1 ps log ⁡ (1 s - 1). {\ displaystyle \ lim _ {s \ rightarrow 1 ^ {+}} {\ sum _ {p \ in A} {1 \ over p ^ {s}} \ over \ log ({\ frac {1} {s- 1}})}.}

{\ displaystyle \ lim _ {s \ rightarrow 1 ^ {+}} {\ sum _ {p \ in A} {1 \ over p ^ {s}} \ over \ log ({\ frac {1} {s-1}})}.}

Это выражение обычно является порядком «полюса » из

∏ p ∈ A 1 1 - p - s {\ displaystyle \ prod _ {p \ в A} {1 \ over 1-p ^ {- s}}}

\ prod _ {{p \ in A}} {1 \ over 1-p ^ {{- s}}}

при s = 1 (хотя в целом это не совсем полюс, поскольку он имеет нецелой порядок), по крайней мере, если эта функция голоморфная функция, умноженная на (действительную) степень s − 1 около s = 1. Например, если A - множество всех простых чисел, это дзета-функция Римана, которая имеет полюс порядка 1 в точке s = 1, поэтому набор всех простых чисел имеет плотность Дирихле 1.

В более общем смысле, можно таким же образом определить плотность Дирихле последовательности простых чисел (или степеней простых чисел), возможно, с повторениями.

Свойства

Если подмножество простых чисел A имеет естественную плотность, заданную пределом

(количество элементов A меньше N) / (количество простых чисел меньше N)

, то он также имеет плотность Дирихле, и эти две плотности совпадают. Однако обычно легче показать, что набор простых чисел имеет плотность Дирихле, и этого достаточно для многих целей. Например, при доказательстве теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях легко показать, что плотность Дирихле простых чисел в арифметической прогрессии a + nb (для a, b взаимно простых) имеет плотность Дирихле 1 / φ (b), чего достаточно, чтобы показать, что таких простых чисел бесконечно много, но труднее показать, что это естественная плотность.

Грубо говоря, для доказательства того, что некоторый набор простых чисел имеет ненулевую плотность Дирихле, обычно требуется показать, что некоторые L-функции не обращаются в нуль в точке s = 1, при этом показывая, что они иметь естественную плотность включает в себя демонстрацию того, что L-функции не имеют нулей на линии Re (s) = 1.

На практике, если некоторый «естественный» набор простых чисел имеет плотность Дирихле, то он также имеет естественную плотность, но можно найти искусственные контрпримеры: например, набор простых чисел, первая десятичная цифра которых равна 1, не имеет естественной плотности, но имеет плотность Дирихле log (2) / log (10).

См. Также

Естественная плотность

Примечания

^Приписано Ж.-П. Серра на частное сообщение от Бомбьери в курсе арифметики; элементарное доказательство, основанное на теореме о простых числах, приведено в: A. Fuchs, G. Letta, Le problème du premier chiffre décimal pour les nombres premiers [Проблема первой цифры для простых чисел] (французский) The Foata Festschrift. Электрон. J. Combin. 3 (1996), нет. 2.

Список литературы

Ж.-П. Серр, Курс арифметики, ISBN 0-387-90040-3, глава VI, раздел 4.