Кривошип раздела

В теории чисел кривошип разбиения целого числа - это определенное целое число, связанное с раздел. Термин впервые был введен без Это определение, данное Фрименом Дайсоном в статье 1944 года, опубликованной в Eureka, журнале, опубликованном Математическим обществом Кембриджского университета. Затем Дайсон дал список свойств, которыми должна обладать эта еще не определенная величина. В 1988 году Джордж Эндрюс и Фрэнк Гарван обнаружили определение кривошипа, удовлетворяющее свойствам, предложенным для него Дайсоном.

• 1 Кривошип Дайсона
• 2 Определение кривошипа
• 3 Обозначения
• 4 Основной результат
• 5 Рамануджан и кривошипы
• 6 Ссылки

Пусть n будет неотрицательным целым числом и пусть p ( n) обозначает количество разбиений n (p (0) определяется как 1). Шриниваса Рамануджан в статье, опубликованной в 1918 году, заявил и доказал следующие сравнения для статистической суммы p (n), известные как сравнения Рамануджана.

• p (5n + 4) ≡ 0 (mod 5)
• p (7n + 5) ≡ 0 (mod 7)
• p (11n + 6) ≡ 0 (mod 11)

Эти сравнения подразумевают что разбиения чисел формы 5n + 4 (соответственно форм 7n + 5 и 11n + 6) можно разделить на 5 (соответственно 7 и 11) подклассов равного размера. Известные тогда доказательства этих сравнений основывались на идеях производящих функций и не указывали метод разделения разбиений на подклассы равного размера.

В своей статье «Эврика» Дайсон предложил концепцию ранга раздела. Ранг раздела - это целое число, полученное вычитанием количества частей в разделе из наибольшей части в разделе. Например, ранг разбиения λ = {4, 2, 1, 1, 1} из 9 равен 4 - 5 = −1. Обозначив N (m, q, n), количество разбиений n, ранги которых сравнимы с m по модулю q, Дайсон считал N (m, 5, 5 n + 4) и N (m, 7, 7n + 5) для различных значений n и m. Основываясь на эмпирических данных, Дайсон сформулировал следующие предположения, известные как гипотезы рангов.

Для всех неотрицательных целых чисел n имеем:

• N (0, 5, 5n + 4) = N (1, 5, 5n + 4) = N (2, 5, 5n + 4) = N (3, 5, 5n + 4) = N (4, 5, 5n + 4).
• N (0, 7, 7n + 5) = N (1, 7, 7n + 5) = N (2, 7, 7n + 5) = N (3, 7, 7n + 5) = N (4, 7, 7n + 5) = N (5, 7, 7n + 5) = N (6, 7, 7n + 5)

Предполагая, что эти предположения верны, они предоставили способ разбить все разбиения чисел формы 5n + 4 на пять классов равного размера: объединить в один класс все разбиения, чьи ранги конгруэнтны друг другу по модулю 5. Та же идея может быть применена для разделения разбиений целых чисел вида 7n + 6 на семь одинаково многочисленных классов. Но идея не позволяет разделить целые числа вида 11n + 6 на 11 классов одинакового размера, как показано в следующей таблице.

Таким образом, ранг не может быть использован для комбинаторного доказательства теоремы. Однако Дайсон писал:

Фактически я придерживаюсь:

• , что существует арифметический коэффициент, подобный рангу раздела, но более непонятный; Я назову этот гипотетический коэффициент «кривошипом» разбиения и обозначу через M (m, q, n) количество разбиений n, кривошип которого сравним с m по модулю q;
• что M (m, q, n) = M (q - m, q, n);
• что M (0, 11, 11n + 6) = M (1, 11, 11n + 6) = M (2, 11, 11n + 6) = M (3, 11, 11n + 6) = M (4, 11, 11n + 6);
• что...

Я оставляю читателю решать, подтверждаются ли эти предположения доказательствами. Каким бы ни был окончательный вердикт потомков, я считаю, что «чудак» уникален среди арифметических функций тем, что он был назван до того, как был обнаружен. Да сохранится он от позорной судьбы планеты Вулкан.

В статье, опубликованной в 1988 г., Джордж Эндрюс и Ф.Г. Гарван определили кривошип разделителя следующим образом:

Для разбиения λ пусть ℓ (λ) обозначает наибольшую часть λ, ω (λ) обозначает количество единиц в λ, а μ (λ) обозначает количество частей λ, больших, чем ω (λ). Кривошип c (λ) задается формулой

$c\; (\lambda )\; =\; \{\ell \; (\lambda ),\; если\; \omega \; (\lambda )\; =\; 0,\; \mu \; (\lambda )\; -\; \omega \; (\lambda ),\; если\; \omega \; (\lambda )>0.\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; (\backslash \; lambda)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; \backslash \; ell\; (\backslash \; lambda)\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; \backslash \; omega\; (\backslash \; lambda)\; =\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; mu\; (\backslash \; lambda)\; -\; \backslash \; omega\; (\backslash \; lambda)\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; \backslash \; omega\; (\backslash \; lambda)>0.\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

Кривошипы разбиений целых чисел 4, 5, 6 вычисляются в следующих таблицах.

Для всех целых чисел n ≥ 0 и всех целых чисел m количество разбиений n с кривошипом, равным m, обозначается M (m, n), за исключением n = 1, где M (−1,1) = −M (0,1) = M (1,1) = 1, как задано следующей производящей функцией. Количество разбиений n с кривошипом, равным m по модулю q, обозначается M (m, q, n).

Производящая функция для M (m, n) приведена ниже:

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; \sum \; m\; =\; -\; \infty \; \infty \; M\; (m,\; n)\; zmqn\; =\; \prod \; n\; =\; 1\; \infty \; (1\; -\; qn)\; (1\; -\; zqn)\; (1\; -\; z\; -\; 1\; qn)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; M\; (m,\; n)\; z\; ^\; \{m\}\; q\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(1-q\; ^\; \{n\})\}\; \{(1-zq\; ^\; \{n\})\; (1-z\; ^\; \{-\; 1\}\; q\; ^\; \{n\})\}\}\}$

Эндрюс и Гарван доказали следующий результат, который показывает, что кривошип, как определено выше, удовлетворяет условиям, заданным Дайсон.

• M (0, 5, 5n + 4) = M (1, 5, 5n + 4) = M (2, 5, 5n + 4) = M (3, 5, 5n + 4) = M (4, 5, 5n + 4) = p (5n + 4) / 5
• M (0, 7, 7n + 5) = M (1, 7, 7n + 5) = M (2, 7, 7n + 5) = M (3, 7, 7n + 5) = M (4, 7, 7n + 5) = M (5, 7, 7n + 5) = M (6, 7, 7n + 5) = p (7n + 5) / 7
• M (0, 11, 11n + 6) = M (1, 11, 11n + 6) = M (2, 11, 11n + 6) = M (3, 11, 11n + 6) =... = M (9, 11, 11n + 6) = M (10, 11, 11n + 6) = p (11n + 6) / 11

Понятия ранга и кривошипа могут использоваться для классификации разбиений некоторых целых чисел на подклассы равного размера. Однако эти две концепции создают разные подклассы разделов. Это показано в следующих двух таблицах.

Недавние работа Брюса С. Берндта и его соавторов показали, что Рамануджан знал о кривошипе, хотя и не в той форме, которую определили Эндрюс и Гарван. В систематическом исследовании «Потерянной тетради Рамануджана» Берндт и его соавторы представили убедительные доказательства того, что Рамануджан знал о вскрытии производящей функции кривошипа.