Синус Фурье и ряд косинусов

редактировать

В математике, особенно в области исчисления и анализа Фурье, синус Фурье и ряд косинусов - это два математических ряда, названных в честь Джозефа Фурье.

Содержание

1 Обозначение
2 Ряд синусов
3 Косинусный ряд
4 Примечания
5 См. Также
6 Библиография

Обозначение

В этой статье f обозначает функцию с действительным знаком на $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ который периодичен с периодом 2L.

Серия синусов

Если f (x) является нечетной функцией с периодом $2 L {\ displaystyle 2L}$ $2L$ , то Ряд синусов Фурье половинного диапазона f определяется как

f (x) = ∑ n = 1 ∞ bn sin ⁡ n π x L {\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}}}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}} }

который представляет собой всего лишь форму полного ряда Фурье с той лишь разницей, что $a 0 {\ displaystyle a_ {0 }}$ $a_0$ и ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ равно нулю, и серия определена для половины интервала.

В формуле мы имеем....

bn = 2 L ∫ 0 L f (x) sin ⁡ n π x L dx, n ∈ N {\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {2} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}} \, dx, n \ in \ mathbb {N}}

{\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {2} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}} \, dx, n \ in \ mathbb {N}}

Ряд косинусов

Если f (x) является четной функцией с периодом $2 L {\ displaystyle 2L}$ $2L$ , то косинус Фурье серия определяется как

f (x) = c 0 2 + ∑ n = 1 ∞ cn cos ⁡ n π x L {\ displaystyle f (x) = {\ frac {c_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} c_ {n} \ cos {\ frac {n \ pi x} {L}}}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {c_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} c_ {n} \ cos {\ frac {n \ pi x} {L}}}

где

cn = 2 L ∫ 0 L f ( Икс) соз ⁡ N π Икс L dx, N ∈ N 0 {\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {2} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) \ cos {\ frac {n \ pi x} {L}} \, dx, n \ in \ mathbb {N} _ {0}}

c_ {n} = {\ frac {2} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) \ cos {\ frac {n \ pi x} {L}} \, dx, n \ in {\ mathbb {N}} _ {0}

Замечания

Это понятие может быть обобщено на функции, которые не являются четными или странно, но тогда приведенные выше формулы будут выглядеть иначе.

См. Также

Библиография

Байерли, Уильям Элвуд (1893). «Глава 2: Развитие тригонометрических рядов». Элементарный трактат о рядах Фурье: сферических, цилиндрических и эллипсоидальных гармониках с приложениями к задачам математической физики (2-е изд.). Джинн. п. 30.
Карслав, Горацио Скотт (1921). «Глава 7: Ряд Фурье». Введение в теорию рядов и интегралов Фурье, Том 1 (2-е изд.). Macmillan and Company. п. 196.