Неравенство CHSH

редактировать

В физике неравенство CHSH можно использовать в доказательстве Теорема Белла, которая утверждает, что некоторые последствия запутанности в квантовой механике не могут быть воспроизведены теориями локальных скрытых переменных. Экспериментальная проверка нарушения неравенств рассматривается как экспериментальное подтверждение того, что природа не может быть описана локальными теориями скрытых переменных. CHSH означает Джон Клаузер, Майкл Хорн, Эбнер Шимони, и, который описал это в широко цитируемой статье, опубликованной в 1969 г. (Clauser et al., 1969). Они вывели неравенство CHSH, которое, как и исходное неравенство Джона Белла (Bell, 1964), является ограничением для статистики «совпадений» в тестовом эксперименте Белла, которое обязательно истина, если существуют лежащие в основе локальные скрытые переменные (локальный реализм ). С другой стороны, это ограничение может быть нарушено квантовой механикой.

Содержание

1 Утверждение
- 1.1 Типичный эксперимент CHSH
2 Вывод
- 2.1 Вывод Белла 1971 года
- 2.2 Вывод из неравенства Клаузера и Хорна 1974 года
3 Эксперименты с использованием критерия CHSH
4 См. Также
5 Ссылки

Утверждение

Обычная форма неравенства CHSH:

| S | ≤ 2, {\ displaystyle | S | \ leq 2,}

{\ displaystyle | S | \ leq 2,}

(1)

где

S = E (a, b) - E (a, b ') + E (a', b) + E (a ′, b ′). {\ Displaystyle S = E (a, b) -E \ left (a, b '\ right) + E \ left (a', b \ right) + E \ left (a ', b' \ right).}

S=E(a,b)-E\left(a,b'\right)+E\left(a',b\right)+E\left(a',b'\right).

(2)

a и a '- настройки детектора на стороне A, b и b' на стороне B, четыре комбинации тестируются в отдельных подэкспериментах. Термины E (a, b) и т. Д. Представляют собой квантовые корреляции пар частиц, где квантовая корреляция определяется как математическое ожидание продукта «результатов» эксперимента, т. Е. статистическое среднее значение A (a) · B (b), где A и B - отдельные результаты, с использованием кодирования +1 для канала «+» и -1 для канала «-». Вывод Клаузера и др. 1969 г. был ориентирован на использование «двухканальных» детекторов, и действительно, именно для них он обычно используется, но в соответствии с их методом единственными возможными результатами были +1 и -1. Чтобы адаптироваться к реальным ситуациям, что в то время означало использование поляризованного света и одноканальных поляризаторов, им пришлось интерпретировать «-» как означающее «отсутствие обнаружения в канале« + »», то есть либо «-». или ничего. В оригинальной статье они не обсуждали, как двухканальное неравенство может быть применено в реальных экспериментах с реальными несовершенными детекторами, хотя позже было доказано (Bell, 1971), что само неравенство в равной степени справедливо. Однако появление нулевых результатов означает, что уже не так очевидно, как значения E должны оцениваться на основе экспериментальных данных.

Математический формализм квантовой механики предсказывает максимальное значение для S, равное 2√2 (граница Цирельсона ), которое больше 2, и поэтому нарушения CHSH предсказываются теорией квантовой механика.

Типичный эксперимент CHSH

Схема «двухканального» теста Белла . Источник S производит пары фотонов, посылаемых в противоположных направлениях. Каждый фотон встречает двухканальный поляризатор, ориентацию которого может задать экспериментатор. Сигналы, возникающие из каждого канала, обнаруживаются, а совпадения подсчитываются монитором совпадений CM.

На практике в большинстве реальных экспериментов использовался свет, а не электроны, которые первоначально имел в виду Белл. В наиболее известных экспериментах (Aspect, 1981-2) представляющим интерес свойством является направление поляризации, хотя могут использоваться и другие свойства. На схеме показан типичный оптический эксперимент. Регистрируются совпадения (одновременные обнаружения), результаты классифицируются как «++», «+ -», «- +» или «−−» и накапливаются соответствующие подсчеты.

Проводятся четыре отдельных подэксперимента, соответствующих четырем членам $E (a, b) {\ displaystyle E (a, b)}$ $E (a, b)$ в тестовой статистике S (2, над). Настройки a, a ', b и b' на практике обычно выбираются равными 0, 45 °, 22,5 ° и 67,5 ° соответственно - «углы испытания Белла» - это те углы, для которых формула QM дает наибольшее нарушение. неравенства.

Для каждого выбранного значения a и b, количество совпадений в каждой категории ${N + +, N - -, N + -, N - +} {\ displaystyle \ left \ {N_ {++}, N _ {-}, N _ {+ -}, N _ {- +} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {N _ {+ +}, N _ {-}, N _ {+ -}, N _ {- +} \ right \}}$ записываются. Затем экспериментальная оценка для $E (a, b) {\ displaystyle E (a, b)}$ $E (a, b)$ рассчитывается как:

E = N + + - N + - - N - + + N - - N + + + N + - + N - + + N - - {\ displaystyle E = {\ frac {N _ {++} - N _ {+ -} - N _ {- +} + N _ {- }} {N _ {++} + N _ {+ -} + N _ {- +} + N _ {-}}}}

E = \ frac {N _ {++} - N _ {+ -} - N _ {- + } + N _ {-}} {N _ {++} + N _ {+ -} + N _ {- +} + N _ {-}}

(3)

Один раз все $E {\ displaystyle E} Значения$ $E$ были оценены, можно найти экспериментальную оценку S (2). Если оно численно больше 2, это нарушает неравенство CHSH, и эксперимент объявляется поддерживающим предсказание QM (Quantum Mechanics ) и исключая все теории локальных скрытых переменных.

В документе CHSH перечислено множество предварительных условий (или «разумных и / или предполагаемых предположений») для вывода упрощенной теоремы и формулы. Например, чтобы метод был действительным, необходимо предположить, что обнаруженные пары являются хорошей выборкой из испускаемых. В реальных экспериментах детекторы никогда не бывают эффективными на 100%, поэтому обнаруживается только выборка излучаемых пар. Тонкое, связанное с этим требование состоит в том, чтобы скрытые переменные не влияли и не определяли вероятность обнаружения таким образом, чтобы это привело к различным выборкам в каждой части эксперимента.

Вывод

Исходный вывод 1969 года здесь не приводится, поскольку его нелегко проследить и он предполагает допущение, что все результаты равны +1 или -1, а не нулю. Вывод Белла 1971 года является более общим. Он фактически исходит из «объективной локальной теории», которую позже использовали Клаузер и Хорн (Clauser, 1974). Предполагается, что любые скрытые переменные, связанные с самими детекторами, независимы с обеих сторон и могут быть усреднены с самого начала. Другой интересный вывод дается в статье Клаузера и Хорна 1974 г., в которой они исходят из неравенства CH74.

Из обоих этих более поздних выводов следует, что единственные допущения, действительно необходимые для самого неравенства (в отличие от метода оценки тестовой статистики), заключаются в том, что распределение возможных состояний источника остается постоянным. а детекторы с обеих сторон действуют независимо.

вывод Белла 1971 года

Нижеследующее основано на странице 37 книги Bell's Speakable and Unspeakable (Bell, 1971), основное изменение заключается в использовании символа «E» вместо «P» для обозначения ожидаемое значение квантовой корреляции. Это позволяет избежать любого предположения, что квантовая корреляция сама по себе является вероятностью.

Мы начинаем со стандартного предположения о независимости двух сторон, что позволяет нам получить совместные вероятности пар результатов путем умножения отдельных вероятностей для любого выбранного значения «скрытой переменной» λ. Предполагается, что λ берется из фиксированного распределения возможных состояний источника, причем вероятность того, что источник находится в состоянии λ для любого конкретного испытания, задается функцией плотности ρ (λ), интеграл от которой по всей скрытой переменное пространство равно 1. Мы предполагаем, что можем написать:

E (a, b) = ∫ A _ (a, λ) B _ (b, λ) ρ (λ) d λ {\ displaystyle E (a, б) = \ int {\ underline {A}} (a, \ lambda) {\ underline {B}} (b, \ lambda) \ rho (\ lambda) d \ lambda}

{\ displaystyle E (a, b) = \ int {\ underline {A}} (a, \ lambda) {\ underline {B}} (b, \ lambda) \ rho (\ lambda) d \ lambda}

где A и B - средние значения результатов. Поскольку возможные значения A и B равны -1, 0 и +1, отсюда следует, что:

| A _ | ≤ 1 | B _ | ≤ 1 {\ displaystyle \ left | {\ underline {A}} \ right | \ leq 1 \ quad \ left | {\ underline {B}} \ right | \ leq 1}

{\ displaystyle \ left | {\ underline {A}} \ right | \ leq 1 \ quad \ left | {\ underline {B}} \ right | \ leq 1}

(4)

Тогда, если a, a ′, b и b ′ - альтернативные настройки для детекторов,

E (a, b) - E (a, b ′) = ∫ [A _ (a, λ) B _ (b, λ) - A _ (a, λ) B _ (b ′, λ)] ρ (λ) d λ = ∫ [A _ (a, λ) B _ (b, λ) - A _ (a, λ) B _ (b ′, λ) ± A _ (a, λ) B _ (b, λ) A _ (a ′, λ) B _ (b ′, λ) ∓ A _ (a, λ) B _ ( b, λ) A _ (a ′, λ) B _ (b ′, λ)] ρ (λ) d λ = ∫ A _ (a, λ) B _ (b, λ) [1 ± A _ (a ′, Λ) B _ (b ′, λ)] ρ (λ) d λ - ∫ A _ (a, λ) B _ (b ′, λ) [1 ± A _ (a ′, λ) B _ ( б, λ)] ρ (λ) d λ {\ displaystyle {\ begin {align} E (a, b) -E \ left (a, b '\ right) \\ = {} \ int \ left [{ \ underline {A}} (a, \ lambda) {\ underline {B}} (b, \ lambda) - {\ underline {A}} (a, \ lambda) {\ underline {B}} \ left (b ', \ lambda \ right) \ right] \ rho (\ lambda) d \ lambda \\ = {} \ int \ left [{\ underline {A}} (a, \ lambda) {\ underline {B}} (b, \ lambda) - {\ underline {A}} (a, \ lambda) {\ un derline {B}} \ left (b ', \ lambda \ right) \ pm {\ underline {A}} (a, \ lambda) {\ underline {B}} (b, \ lambda) {\ underline {A} } \ left (a ', \ lambda \ right) {\ underline {B}} \ left (b', \ lambda \ right) \ mp {\ underline {A}} (a, \ lambda) {\ underline {B }} (b, \ lambda) {\ underline {A}} \ left (a ', \ lambda \ right) {\ underline {B}} \ left (b', \ lambda \ right) \ right] \ rho ( \ lambda) d \ lambda \\ = {} \ int {\ underline {A}} (a, \ lambda) {\ underline {B}} (b, \ lambda) \ left [1 \ pm {\ underline { A}} \ left (a ', \ lambda \ right) {\ underline {B}} \ left (b', \ lambda \ right) \ right] \ rho (\ lambda) d \ lambda - \ int {\ underline {A}} (a, \ lambda) {\ underline {B}} \ left (b ', \ lambda \ right) \ left [1 \ pm {\ underline {A}} \ left (a', \ lambda \ right) {\ underline {B}} (b, \ lambda) \ right] \ rho (\ lambda) d \ lambda \ end {align}}}

{\begin{aligned}E(a,b)-E\left(a,b'\right)\\={}\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda){\underline {B}}(b,\lambda)-{\underline {A}}(a,\lambda){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda)d\lambda \\={}\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda){\underline {B}}(b,\lambda)-{\underline {A}}(a,\lambda){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\pm {\underline {A}}(a,\lambda){\underline {B}}(b,\lambda){\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\mp {\underline {A}}(a,\lambda){\underline {B}}(b,\lambda){\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda)d\lambda \\={}\int {\underline {A}}(a,\lambda){\underline {B}}(b,\lambda)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda)d\lambda -\int {\underline {A}}(a,\lambda){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda)\right]\rho (\lambda)d\lambda \end{aligned}}

Принимая абсолютные значения обеих сторон и применяя неравенство треугольника в правую часть, получаем

| E (a, b) - E (a, b ′) | ≤ | ∫ A _ (a, λ) B _ (b, λ) [1 ± A _ (a ′, λ) B _ (b ′, λ)] ρ (λ) d λ | + | ∫ A _ (a, λ) B _ (b ′, λ) [1 ± A _ (a ′, λ) B _ (b, λ)] ρ (λ) d λ | {\ displaystyle \ left | E (a, b) -E \ left (a, b '\ right) \ right | \ leq \ left | \ int {\ underline {A}} (a, \ lambda) {\ underline {B}} (b, \ lambda) \ left [1 \ pm {\ underline {A}} \ left (a ', \ lambda \ right) {\ underline {B}} \ left (b', \ lambda \ right) \ right] \ rho (\ lambda) d \ lambda \ right | + \ left | \ int {\ underline {A}} (a, \ lambda) {\ underline {B}} \ left (b ', \ lambda \ right) \ left [1 \ pm {\ underline {A}} \ left (a ', \ lambda \ right) {\ underline {B}} (b, \ lambda) \ right] \ rho (\ lambda) d \ lambda \ right |}

\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\leq \left|\int {\underline {A}}(a,\lambda){\underline {B}}(b,\lambda)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda)d\lambda \right|+\left|\int {\underline {A}}(a,\lambda){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda)\right]\rho (\lambda)d\lambda \right|

Мы используем тот факт, что $[1 ± A _ (a ′, λ) B _ (b ′, λ)] ρ (λ) {\ displaystyle \ left [1 \ pm {\ underline {A}} \ left (a ', \ lambda \ right) {\ underline {B}} \ left (b', \ lambda \ right) \ right] \ rho (\ lambda)}$ $\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda)$ и $[1 ± A _ (a ', λ) B _ (b, λ)] ρ (λ) {\ displaystyle \ left [1 \ pm {\ underline {A}} \ left (a ', \ lambda \ right) {\ underline {B}} (b, \ lambda) \ right] \ rho (\ lambda)}$ $\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda)\right]\rho (\lambda)$ оба неотрицательны, чтобы переписать правую часть этого как

∫ | A _ (a, λ) B _ (b, λ) | | [1 ± A _ (a ′, λ) B _ (b ′, λ)] ρ (λ) d λ | + ∫ | A _ (a, λ) B _ (b ', λ) | | [1 ± A _ (a ′, λ) B _ (b, λ)] ρ (λ) d λ | {\ displaystyle \ int \ left | {\ underline {A}} (a, \ lambda) {\ underline {B}} (b, \ lambda) \ right | \ left | \ left [1 \ pm {\ underline { A}} \ left (a ', \ lambda \ right) {\ underline {B}} \ left (b', \ lambda \ right) \ right] \ rho (\ lambda) d \ lambda \ right | + \ int \ left | {\ underline {A}} (a, \ lambda) {\ underline {B}} (b ', \ lambda) \ right | \ left | \ left [1 \ pm {\ underline {A}} \ left (a ', \ lambda \ right) {\ underline {B}} (b, \ lambda) \ right] \ rho (\ lambda) d \ lambda \ right |}

\int \left|{\underline {A}}(a,\lambda){\underline {B}}(b,\lambda)\right|\left|\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda)d\lambda \right|+\int \left|{\underline {A}}(a,\lambda){\underline {B}}(b',\lambda)\right|\left|\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda)\right]\rho (\lambda)d\lambda \right|

По (4) это должно быть меньше или равно

∫ [1 ± A _ (a ′, λ) B _ (b ′, λ)] ρ (λ) d λ + ∫ [1 ± A _ (a ′, λ) B _ (b, λ)] ρ (λ) d λ {\ displaystyle \ int \ left [1 \ pm {\ underline {A}} \ left (a ', \ lambda \ right) {\ underline {B}} \ left (b ', \ lambda \ right) \ right] \ rho (\ lambda) d \ lambda + \ int \ left [1 \ pm {\ underline {A}} \ left (a', \ lambda \ right) {\ underline {B}} (b, \ lambda) \ right] \ rho (\ lambda) d \ lambda}

\int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda)d\lambda +\int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda)\right]\rho (\lambda)d\lambda

который, учитывая тот факт, что интеграл от ρ (λ) равен 1, равен

2 ± [∫ A _ (a ′, λ) B _ (b ′, λ) ρ (λ) d λ + ∫ A _ (a ′, λ) B _ (b, λ) ρ (λ) d λ] {\ displaystyle 2 \ pm \ left [\ int {\ underline {A}} \ left (a ', \ lambda \ right) {\ underline {B}} \ left (b ', \ lambda \ right) \ rho (\ lambda) d \ lambda + \ int {\ underline {A}} \ left (a', \ lambda \ right) {\ underline {B}} (b, \ lambda) \ rho (\ lambda) d \ lambda \ right]}

2\pm \left[\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\rho (\lambda)d\lambda +\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda)\rho (\lambda)d\lambda \right]

, что равно $2 ± [E (a ′, b ′) + E (a ′, b)] {\ displaystyle 2 \ pm \ left [E \ left (a ', b' \ right) + E \ left (a ', b \ right) \ right]}$ $2\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]$ .

Складывая это вместе с левой частью, мы имеем:

| E (a, b) - E (a, b ′) | ≤ 2 ± [E (a ', b') + E (a ', b)] {\ displaystyle \ left | E (a, b) -E \ left (a, b' \ right) \ right | \; \ leq 2 \; \ pm \ left [E \ left (a ', b' \ right) + E \ left (a ', b \ right) \ right]}

\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\;\leq 2\;\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]

, что означает, что левая часть меньше или равно обоим $2 + [E (a ', b') + E (a ', b)] {\ displaystyle 2+ \ left [E \ left (a', b '\ right) + E \ left (a ', b \ right) \ right]}$ $2+\left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]$ и $2 - [E (a ′, b ′) + E (a ′, b)] {\ displaystyle 2- \ left [E \ left (a ', b' \ right) + E \ left (a ', b \ right) \ right]}$ $2-\left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]$ . То есть:

| E (a, b) - E (a, b ′) | ≤ 2 - | E (a ′, b ′) + E (a ′, b) | {\ displaystyle \ left | E (a, b) -E \ left (a, b '\ right) \ right | \; \ leq \; 2- \ left | E \ left (a', b '\ right) + E \ left (a ', b \ right) \ right |}

\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\;\leq \;2-\left|E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|

, откуда получаем

2 ≥ | E (a, b) - E (a, b ′) | + | E (a ′, b ′) + E (a ′, b) | ≥ | E (a, b) - E (a, b ′) + E (a ′, b ′) + E (a ′, b) | {\ Displaystyle 2 \; \ GEQ \; \ влево | E (a, b) -E \ left (a, b '\ right) \ right | + \ left | E \ left (a', b '\ right) + E \ left (a ', b \ right) \ right | \; \ geq \; \ left | E (a, b) -E \ left (a, b' \ right) + E \ left (a ', b '\ right) + E \ left (a', b \ right) \ right |}

2\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|+\left|E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)+E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|

(снова в соответствии с неравенством треугольника ), что является неравенством CHSH.

Вывод из неравенства Клаузера и Хорна 1974 г.

В своей статье 1974 г. Клаузер и Хорн показывают, что неравенство CHSH может быть выведено из неравенства CH74. Как они нам говорят, в двухканальном эксперименте одноканальный тест CH74 по-прежнему применим и обеспечивает четыре набора неравенств, управляющих вероятностями p совпадений.

Исходя из неоднородной версии неравенства, можно записать:

- 1 ≤ pjk (a, b) - pjk (a, b ′) + pjk (a ′, b) + pjk ( a ', b') - pjk (a ') - pjk (b) ≤ 0 {\ displaystyle -1 \; \ leq \; p_ {jk} (a, b) -p_ {jk} (a, b') + p_ {jk} (a ', b) + p_ {jk} (a', b ') - p_ {jk} (a') - p_ {jk} (b) \; \ leq \; 0}

-1\;\leq \;p_{jk}(a,b)-p_{jk}(a,b')+p_{jk}(a',b)+p_{jk}(a',b')-p_{jk}(a')-p_{jk}(b)\;\leq \;0

где j и k обозначают "+" или "-", обозначающие рассматриваемые детекторы.

Чтобы получить статистику теста CHSH S (2), все, что нужно, - это умножить неравенства, для которых j отличается от k, на -1 и добавить их к неравенствам, для которых j и k одинаковы..

Эксперименты с использованием теста CHSH

Многие тестовые эксперименты Bell, проведенные после второго эксперимента Aspect в 1982 году, использовали неравенство CHSH, оценивая условия с использованием (3) и предполагая честная выборка. Сообщалось о некоторых драматических нарушениях неравенства. Scientific American в своем выпуске за декабрь 2018 г. сообщил о методах значительного улучшения экспериментального применения неравенства CHSH

См. Также

Ссылки