Деревянные таблички Ахмима

Деревянные скрижали Ахмима , также известные как Каирские деревянные скрижали (Каирские кат. 25367 и 25368), две деревянные доски для письма из древнего Египта, решающие арифметическую задачу с. Каждый из них имеет размеры около 18 на 10 дюймов (460 мм × 250 мм) и покрыт гипсом. Таблички имеют надписи с обеих сторон. Надпись иероглифом на первой табличке включает список слуг, за которым следует математический текст. Текст датируется 38 годом (сначала предполагалось, что это 28 год) правления безымянного короля. Общая датировка начала Среднего царства Египта в сочетании с годом высокого царствования предполагает, что таблички могут датироваться периодом правления 12-й династии фараона Сенусрета I, ок. 1950 г. до н.э. На второй табличке также перечислены несколько слуг и другие математические тексты.

Таблицы в настоящее время хранятся в Музее египетских древностей в Каире. Текст был представлен Даресси в 1901 году, а затем проанализирован и опубликован в 1906 году.

Первая половина таблички описывает пять умножений геката, единицы объем составлял 64 джа, 1/3, 1/7, 1/10, 1/11 и 1/13. Ответы были записаны в двоичных числах Глаз Гора и точных остатках египетской дроби, масштабированных до коэффициента 1/320, называемого ro. Вторая половина документа доказала правильность ответов на пять делений путем умножения двухчастного частного и остатка ответа на соответствующие (3, 7, 10, 11 и 13) дивиденды, которые вернули ab initio хекат единство, 64/64.

В 2002 году Хана Вымазалова получила новую копию текста из Каирского музея и подтвердила, что все пять двухчастных ответов были правильно проверены на точность писцом, который вернул 64 / 64 гекат единство. Незначительные опечатки в экземпляре двух задач Даресси, разделение на 11 и 13 данных, были исправлены в это время. Доказательство того, что все пять делений были точными, подозревал Даресси, но не было доказано до 1906 года.

• 1 Математическое содержание
  • 1,1 1/3 case
  • 1.2 Другие дроби
  • 1.3 Точность
• 2 задачи Хекат в других текстах
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

1/3 случая

Первая задача делит 1 гекат, записывая его как $1/2\; +\; 1/4\; +\; 1/8\; +\; 1/16\; +\; 1/32\; +\; 1/64\; \{\backslash \; Displaystyle\; 1/2\; +\; 1/4\; +\; 1/8\; +\; 1/16\; +\; 1/32\; +\; 1\; /\; 64\}$+ (5 ro) (что равно 1) и разделив это выражение на 3.

• Писец сначала делит остаток от 5 ro на 3 и определяет, что он равен (1 + 2/3) ro.
• Затем писец находит 1/3 остальной части уравнения и определяет, что оно равно $1/4\; +\; 1/16\; +\; 1/64\; \{\backslash \; displaystyle\; 1/4\; +\; 1/16\; +\; 1/64\}$.
• Последний шаг в задаче состоит в проверке правильности ответа. Писец умножает $1/4\; +\; 1/16\; +\; 1/64\; +\; (1\; +\; 2/3)\; ro\; \{\backslash \; displaystyle\; 1/4\; +\; 1/16\; +\; 1/64\; +\; (1\; +\; 2/3)\; ro\}$на 3 и показывает, что ответ будет (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64) + (5 ro), что, как он знает, равно до 1.

В современных математических обозначениях можно сказать, что писец показал, что 3-кратная дробь геката (1/4 + 1/16 + 1/64) равна 63/64, и что 3-кратный остаток часть, (1 + 2/3) ro, равна 5 ro, что равно 1/64 геката, что в сумме равняется начальной единице геката (64/64).

Другие фракции

Остальные задачи на планшетах были вычислены по той же методике. Писец использовал тождество 1 hekat = 320 ro и разделил 64 на 7, 10, 11 и 13. Например, при вычислении 1/11 деление 64 на 11 дало 5 с остатком 45/11 ro. Это было эквивалентно (1/16 + 1/64) hekat + (4 + 1/11) ro. Проверка работы потребовала, чтобы писец умножил двухчастное число на 11 и показал результат 63/64 + 1/64 = 64/64, как сообщалось во всех пяти доказательствах.

Точность

Расчеты показывают несколько незначительных ошибок. Например, в вычислениях 1/7, $2\; \times \; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; times\; 7\}$было сказано, что это 12 и это удвоение этого 24 во всех копиях задачи. Ошибка происходит в одном и том же месте в каждой из версий этой задачи, но писцу удается найти правильный ответ, несмотря на эту ошибку, поскольку единство 64/64 hekat руководило его мышлением. Четвертый экземпляр деления 1/7 содержит дополнительную незначительную ошибку в одной из строк.

Вычисление 1/11 происходит четыре раза, и проблемы появляются рядом друг с другом, оставляя впечатление, что писец практиковал процедуру вычисления. Вычисление 1/13 появляется один раз в полной форме и еще два раза с частичными вычислениями. В расчетах есть ошибки, но писец находит правильный ответ. 1/10 - единственная дробь, вычисляемая только один раз. В расчетах этой задачи нет ошибок.

Математический папирус Райнда (RMP) содержит более 60 примеров умножения и деления хекатов. в RMP 35, 36, 37, 38, 47, 80, 81, 82, 83 и 84. Проблемы были другими, поскольку единство хеката было изменено с 64/64 бинарного стандарта хеката и остатка удилища по мере необходимости на второй 320 / Стандарт 320 записан в 320 заявлениях ro. Вот несколько примеров:

• Задачи 35–38 находят доли хеката. Задача 38 увеличила один гекат до 320 ro и умножила на 7/22. Ответ 101 9/11 ro был доказан умножением на 22/7 фактов, не упомянутых Клаггеттом и учеными до Вымазаловой.
• Задача 47 увеличила 100 гекат до (6400/64) и умножила (6400/64).) на дроби 1/10, 1/20, 1/30, 1/40, 1/50, 1/60, 1/70, 1/80, 1/90 и 1/100 до двоичного частного и 1/1320 ( ro) серия долей единицы остатка.
• Задача 80 дала 5 фракций глаза Гора хеката и эквивалентные дроби как выражения другой единицы, называемой хину. Они оставались неясными до Вымазаловой. Задача 81, как правило, преобразовывала двоичное частное и остаток от единицы хекат в эквивалентные единицы 1/10 хину, чтобы прояснить значение данных RMP 80.

Папирус Эберса - это известный медицинский текст позднего Среднего царства.. Его исходные данные были записаны в хекат, состоящих из одной части, предложенной деревянными табличками Ахима, с делителями больше 64.

1. ^ T. Эрик Пит, Журнал египетской археологии, Vol. 9, No. 1/2 (апрель 1923 г.), стр. 91–95, Egypt Exploration Society
2. ^Уильям К. Симпсон, дополнительный фрагмент из стелы «Хатнуб», Журнал ближневосточных исследований, Vol. 20, No. 1 (январь 1961 г.), стр. 25–30
3. ^Даресси, Жорж, Общий каталог антикварных égyptiennes du Musée du Caire, том № 25001-25385, 1901.
4. ^Даресси, Жорж, «Расчеты égyptiens du Moyen Empire ", в Recueil de travaux relatifs à la philologie et à l'archéologie égyptiennes et assyriennes XXVIII, 1906, 62–72.
5. ^ Вымазалова, Х. «Деревянные таблички из Каира: использование зерна HK3T в Древнем Египте». Archive Orientallai, Charles U., Прага, стр. 27–42, 2002.
6. ^ Клагетт, Маршалл, Древнеегипетская наука, Справочник. Том третий: Древнеегипетская математика (Мемуары Американского философского общества) Американское философское общество. 1999 ISBN 978-0-87169-232-0
7. ^Поммеренинг, Таня, «Altagyptische Holmasse Metrologish neu Interpretiert» и соответствующие фармацевтические и медицинские знания, реферат, Университет Филиппа, Марбург, 8-11-2004, взято из "Die Altagyptschen Hohlmass" в studien zur Altagyptischen Kulture, Beiheft, 10, Hamburg, Buske-Verlag, 2005

Другое:

• Садовник, Майло, "Древняя египетская проблема и ее новаторство" Арифметическое решение », Ганита Бхарати, 2006 г., том 28, бюллетень Индийского общества истории математики, MD Publications, Нью-Дели, стр. 157–173. https://independent.academia.edu/MiloGardner/Papers/163573/The_Arithmetic_used_to_Solve_an_Ancient_Horus-Eye_Problem
• Жиллингс Р. Математика во времена фараонов. Бостон, Массачусетс: MIT Press, стр. 202–205, 1972. ISBN 0-262-07045-6. (Распечатано)

• Вайсштейн, Эрик У. «Деревянная табличка Ахмима». MathWorld.Масштабированный остаток AWT