AQUAL

AQUAL- это теория гравитации на основе Модифицированной ньютоновской динамики (MOND), но с использованием лагранжиана. Он был разработан Якобом Бекенштейном и Мордехаем Милгромом в их статье 1984 года «Означает ли проблема недостающей массы нарушение ньютоновской гравитации?». «AQUAL» означает «квадратичный лагранжиан».

Закон силы тяжести, полученный из MOND,

$m\; \mu \; (aa\; 0)\; a\; =\; GM\; mr\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{a\_\; \{0\}\})\; \}\; \backslash \; right)\; a\; =\; \{\backslash \; frac\; \{GMm\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\},\}$

имеет серьезный дефект: он нарушает третий закон движения Ньютона и, следовательно, не сохранить импульс и энергию. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим два объекта с $m\; \ne \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; neq\; M\}$; тогда имеем:

$\mu \; (ama\; 0)\; mam\; =\; GM\; mr\; 2\; =\; GM\; mr\; 2\; =\; \mu \; (a\; M\; a\; 0)\; M\; a\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{m\}\}\; \{\; a\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; right)\; ma\_\; \{m\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{GMm\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{GMm\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; frac\; \{a\_\; \{M\}\}\; \{a\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; right)\; Ma\_\; \{M\}\}$

но третий закон дает $mam\; =\; M\; a\; M,\; \{\backslash \; displaystyle\; ma\_\; \{m\}\; =\; Ma\_\; \{\; M\},\}$, чтобы мы получили

$\mu \; (ama\; 0)\; =\; \mu \; (a\; M\; a\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{m\}\}\; \{a\_\; \{\; 0\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{M\}\}\; \{a\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

даже если $am\; \ne \; a\; M,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; Следовательно,\; \{m\}\; \backslash \; neq\; a\_\; \{M\},\}$и $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$будут постоянными, что противоречит предположению MOND, что оно линейно для малых аргументы.

Эта проблема может быть решена путем вывода закона силы из лагранжиана, возможно, за счет изменения общей формы закона силы. Тогда законы сохранения можно было бы вывести из лагранжиана обычными способами.

Лагранжиан AQUAL равен:

$\rho \; \Phi \; +\; 1\; 8\; \pi \; G\; a\; 0\; 2\; F\; (|\; \nabla \; \Phi \; |\; 2\; a\; 0\; 2);\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \backslash \; Phi\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\; \backslash \; pi\; G\}\}\; a\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; F\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; nabla\; \backslash \; Phi\; |\; ^\; \{2\}\}\; \{a\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right);\}$

это приводит к модифицированному уравнению Пуассона:

$\nabla \; \cdot \; (\mu \; (|\; \nabla \; \Phi \; |\; a\; 0)\; \nabla \; \Phi )\; =\; 4\; \pi \; G\; \rho ,\; где\; \mu \; (x)\; =\; d\; F\; (x\; 2)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; mu\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; nabla\; \backslash \; Phi\; |\}\; \{a\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; nabla\; \backslash \; Phi\; \backslash \; right)\; =\; 4\; \backslash \; pi\; G\; \backslash \; rho\; ,\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{with\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; mu\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dF\; (x\; ^\; \{2\})\}\; \{dx\}\}.\}$

где прогнозируемое ускорение составляет $-\; \nabla \; Ф\; =\; а.\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; nabla\; \backslash \; Phi\; =\; a.\}$Эти уравнения сводятся к уравнениям MOND в сферически-симметричном случае, хотя они несколько отличаются в случае диска, необходимого для моделирования спиральных или линзовидных галактик. Однако разница составляет всего 10–15%, поэтому серьезно не влияет на результаты.

Согласно Сандерсу и Макгоу, одна проблема с AQUAL (или любой скалярно-тензорной теорией, в которой скалярное поле входит как конформный множитель, умножающий метрику Эйнштейна): Неспособность AQUAL предсказать количество гравитационного линзирования, фактически наблюдаемого в богатых скоплениях галактик.

• Jacob Bekenstein & M. Milgrom (1984). «Означает ли проблема недостающей массы нарушение ньютоновской гравитации?». Astrophys. J. 286: 7–14. Bibcode : 1984ApJ... 286.... 7B. doi : 10.1086 / 162570.
• Милгром, М. (1986). «Решения модифицированного уравнения поля ньютоновской динамики». Astrophys. J. 302: 617–625. Bibcode : 1986ApJ... 302..617M. doi : 10.1086 / 164021.
• Бекенштейн, Джейкоб Д. (2009). «Релятивистский МОНД как альтернатива парадигме темной материи». Ядерная физика A. 827: 555c – 560c. arXiv : 0901.1524. Bibcode : 2009NuPhA.827..555B. doi :10.1016/j.nuclphysa.2009.05.122.