Теорема касательной-секущей

редактировать

Связано отрезки линии, образованные секущей с касательной

⇒ {\ displaystyle \ Rightarrow}

\ Rightarrow

∠ PG 2 T = ∠ PTG 1 {\ displaystyle \ angle PG_ {2} T = \ угол PTG_ {1}}

{\ displaystyle \ angle PG_ {2} T = \ angle PTG_ {1}}

⇒ {\ displaystyle \ Rightarrow}

\ Rightarrow

△ PTG 2 ∼ △ PG 1 T {\ displaystyle \ треугольник PTG_ {2} \ sim \ треугольник PG_ {1} T}

{\ displaystyle \ треугольник PTG_ {2 } \ sim \ треугольник PG_ {1} T}

⇒ {\ displaystyle \ Rightarrow}

\ Rightarrow

| P T | | P G 2 | = | P G 1 | | P T | {\ displaystyle {\ frac {| PT |} {| PG_ {2} |}} = {\ frac {| PG_ {1} |} {| PT |}}}

{\ displaystyle {\ frac {| PT |} {| PG_ {2} |}} = {\ frac {| PG_ {1} |} {| PT |}}}

⇒ {\ displaystyle \ Rightarrow}

\ Rightarrow

| P T | 2 = | P G 1 | ⋅ | P G 2 | {\ displaystyle | PT | ^ {2} = | PG_ {1} | \ cdot | PG_ {2} |}

{\ displaystyle | PT | ^ {2 } = | PG_ {1} | \ cdot | PG_ {2} |}

Теорема касательная-секущая описывает отношение отрезков прямой, созданных секущей и касательная к соответствующему кругу. Этот результат содержится в предложении 36 книги 3 Евклида Elements.

. Дана секущая g, пересекающая окружность в точках G 1 и G 2, и касательная t, пересекающая окружность в точке T и учитывая, что g и t пересекаются в точке P, выполняется следующее уравнение:

| P T | 2 = | P G 1 | ⋅ | P G 2 | {\ displaystyle | PT | ^ {2} = | PG_ {1} | \ cdot | PG_ {2} |}

{\ displaystyle | PT | ^ {2 } = | PG_ {1} | \ cdot | PG_ {2} |}

Теорема о касательной-секансе может быть доказана с использованием аналогичных треугольников (см. рисунок).

Подобно теореме о пересекающихся хорд и теореме о пересекающихся секущих, теорема о касательных и секущих представляет собой один из трех основных случаев более общей теоремы о двух пересекающихся прямых и круг, а именно, теорема о степени точки.

Ссылки

S. Готвальд: Краткая энциклопедия математики VNR. Springer, 2012, ISBN 9789401169820, стр. 175-176
Майкл Л. О'Лири: Революции в геометрии. Wiley, 2010, ISBN 9780470591796, стр. 161
Schülerduden - Mathematik I. Bibliographisches Institut FA Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, pp. 415-417 (немецкий)

Внешние ссылки

Теорема о касательном секансе на proofwiki.org
Теорема о силе точки auf cut-the-knot.org
Weisstein, Эрик У. "Аккорд". MathWorld.