Номер Смита

В теории чисел число Смита представляет собой составное число, для которого в данном числе base, сумма его цифр равна сумме цифр в его разложении на простые множители в данном числовом основании. В случае чисел, которые не являются без квадратов, факторизация записывается без экспонент, записывая повторяющийся множитель столько раз, сколько необходимо.

Номера Смита были названы Альбертом Вилански из Университета Лихай, поскольку он заметил собственность в номере телефона (493-7775) своего зятя. Гарольд Смит:

4937775 = 3 5 65837

, а

4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 · 1 + 5 · 2 + (6 + 5 + 8 + 3 + 7) · 1 = 42

в base 10.

• 1 Математическое определение
• 2 Свойства
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 Ссылки
• 6 Внешние links

Пусть $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$будет натуральным числом. Для основы $b>1\; \{\backslash \; displaystyle\; b>1\}$, пусть функция $F\; b\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{b\}\; (n)\}$будет цифрой суммой из n по основанию $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$. Натуральное число $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$имеет целочисленную факторизацию

$n\; =\; \prod \; p\; простое\; число\; p\; \mid \; npvp\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{\backslash \; stackrel\; \{p\; \backslash \; mid\; n\}\; \{p\; \{\backslash \; text\; \{prime\}\}\}\}\; p\; ^\; \{v\_\; \{p\}\; (n)\}\}$

и является числом Смита, если

$F\; b\; (n)\; =\; \sum \; p\; простое\; p\; \mid \; nvp\; (n)\; F\; b\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{b\}\; (n)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; stackrel\; \{p\; \backslash \; mid\; n\}\; \{p\; \{\backslash \; text\; \{prime\}\}\}\}\; v\_\; \{p\}\; (n)\; F\_\; \{b\}\; (p)\}$

где $vp\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{p\}\; (n)\}$- это p-адическая оценка для $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$.

Например, в base 10, 378 = 2 3 7 является числом Смита, поскольку 3 + 7 + 8 = 2 · 1 + 3 · 3 + 7 · 1, а 22 = 2 11 является числом Смита, поскольку 2 + 2 = 2 · 1 + ( 1 + 1) · 1

Первые несколько чисел Смита в с основанием 10 :

4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086… (последовательность A006753 в OEIS )

WL Макдэниел в 1987 году доказал, что чисел Смита бесконечно много. Число чисел Смита в с основанием 10 меньше 10 для n = 1,2,... составляет:

1, 6, 49, 376, 3294, 29928, 278411, 2632758, 25154060, 241882509,… (Последовательность A104170 в OEIS )

Два последовательных числа Смита (например, 728 и 729 или 2964 и 2965) называются братьями Смит . Это неизвестно, сколько братьев Смитов. Начальными элементами наименьшего n-кортежа Смита (то есть n последовательных чисел Смита) в с основанием 10 для n = 1, 2,... являются:

4, 728, 73615, 4463535, 15966114, 2050918644, 164736913905,… (последовательность A059754 в OEIS )

Числа Смита могут быть построены из разложенных на множители повторных единиц. известное число Смита в с основанием 10 на 2010 год составляет:

9 × R 1031 × (10 + 3 × 10 + 1) × 10

, где R 1031 - это повторная единица, равная (10-1) / 9.

• Равноцифровое число

• Гарднер, Мартин (1988). Плитки Пенроуза до секретных шифров. Стр. 299–300.
• Шандор, Джо zsef; Crstici, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II. Дордрехт: Kluwer Academic. Стр. 32 –36. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.

• Вайсштейн, Эрик У. «Число Смита». MathWorld.
• Шьям Сандер Гупта, Очаровательные числа Смита.
• Коупленд, Эд. «4937775 - Числа Смита». Numberphile. Брэди Харан.