Регенеративный процесс

Регенеративные процессы использовались для моделирования проблем в управлении запасами. Запасы на складе, таком как этот, уменьшаются в результате случайного процесса из-за продаж, пока он не будет пополнен новым заказом.

В прикладной вероятности восстановительный процесс является класс случайного процесса с тем свойством, что некоторые части процесса можно рассматривать как статистически независимые друг от друга. Это свойство может быть использовано при выводе теоретических свойств таких процессов.

• 1 История
• 2 Определение
• 3 Примеры
• 4 Свойства
• 5 Ссылки

Регенеративные процессы были впервые определены Уолтером Л.. Смит в Proceedings of the Royal Society A в 1955 году.

A регенеративный процесс - это случайный процесс с моментами времени в что, с вероятностной точки зрения, процесс перезапускается сам. Эти временные точки могут сами определяться развитием процесса. Другими словами, процесс {X (t), t ≥ 0} является регенерирующим процессом, если существуют моменты времени 0 ≤ T 0< T1< T2<... such that the post-Tkпроцесс {X (T k + t): t ≥ 0}

• имеет то же распределение, что и процесс post-T 0 {X (T 0 + t): t ≥ 0}
• не зависит от предварительный T k процесс {X (t): 0 ≤ t < Tk}

для k ≥ 1. Интуитивно это означает, что регенеративный процесс можно разделить на iid циклы.

Когда T 0 = 0, X (t) называется немедленным регенеративным процессом . В противном случае процесс называется отложенным регенеративным процессом .

• Процессы обновления являются регенеративными процессами, причем T 1 является первым обновлением.
• Чередование процессы обновления, в которых система чередуется между состоянием "включено" и состоянием "выключено".
• Повторяющаяся цепь Маркова является регенеративным процессом с T 1 - время первого повторения. Сюда входят цепи Харриса.
• Отраженное броуновское движение - это регенеративный процесс (в котором измеряется время, необходимое частицам, чтобы уйти и вернуться).

• По награде за обновление теорема, с вероятностью 1,

$lim\; t\; \to \; \infty \; 1\; t\; \int \; 0\; t\; X\; (s)\; ds\; =\; E\; [R]\; E\; [\tau ].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{t\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; X\; (s)\; ds\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbb\; \{E\}\; [R\; ]\}\; \{\backslash \; mathbb\; \{E\}\; [\backslash \; tau]\}\}.\}$

где $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$- длина первого цикла, а $R\; =\; \int \; 0\; \tau \; X\; (s)\; ds\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; tau\}\; X\; (s)\; ds\}$- значение за первый цикл.

• A измеримая функция регенеративного процесса - это регенеративный процесс с тем же временем регенерации