Правильная выпуклая функция

In математический анализ (в частности, выпуклый анализ ) и оптимизация, правильная выпуклая функция является выпуклой функцией f, принимающей значения в строке расширенных вещественных чисел такие, что

хотя бы для одного x и

$f\; (x)>-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)>-\; \backslash \; infty\}$

для каждого x. То есть выпуклая функция является правильной, если ее эффективная область непуста и никогда не достигает $-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$. Выпуклые функции, которые не являются собственными, называются несобственными выпуклыми функциями.

Правильная вогнутая функция - это любая функция g такая, что $f\; =\; -\; g\; \{\backslash \; displa\; ystyle\; f\; =\; -g\}$- правильная выпуклая функция.

Для каждой собственной выпуклой функции f на R существуют некоторые b в R и β в R такие что

$f\; (x)\; \ge \; x\; \cdot \; b\; -\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; geq\; x\; \backslash \; cdot\; b-\; \backslash \; beta\}$

для каждого x.

Сумма двух собственных выпуклых функций является выпуклой, но не обязательно правильной. Например, если наборы $A\; \subset \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; subset\; X\}$и $B\; \subset \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; subset\; X\}$непусты выпуклые наборы в векторном пространстве X, затем характеристические функции $IA\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{A\}\}$и $IB\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{B\}\}$- правильные выпуклые функции, но если $A\; \cap \; B\; =\; \varnothing \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; cap\; B\; =\; \backslash \; emptyset\}$, тогда $IA\; +\; IB\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{A\}\; +\; I\_\; \{B\}\}$идентично равно $+\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; +\; \backslash \; infty\}$.

инфимальная свертка двух правильных выпуклых функций является выпуклым, но не обязательно правильно выпуклым.