Топология Poset

редактировать

В математике, топология poset, связанная с poset (S, ≤), является топологией Александрова (открытые множества - это верхние множества ) на ч.у. конечных цепей из (S, ≤), упорядоченных по включению.

Пусть V - множество вершин. абстрактный симплициальный комплекс Δ - это набор конечных наборов вершин, известных как грани $σ ⊆ V {\ displaystyle \ sigma \ substeq V}$ $\ sigma \ substeq V$ , таких что

∀ ρ ∀ σ: ρ ⊆ σ ∈ Δ ⇒ ρ ∈ Δ. {\ displaystyle \ forall \ rho \, \ forall \ sigma \!: \ \ rho \ substeq \ sigma \ in \ Delta \ Rightarrow \ rho \ in \ Delta.}

{\ displaystyle \ forall \ rho \, \ forall \ sigma \!: \ \ Rho \ substeq \ sigma \ in \ Delta \ Rightarrow \ rho \ in \ Delta.}

Учитывая симплициальный комплекс Δ, как указано выше, мы определяем a (набор точек) топология на Δ путем объявления подмножества $Γ ⊆ Δ {\ displaystyle \ Gamma \ substeq \ Delta}$ $\ Gamma \ substeq \ Delta$ быть закрытым, если и только если Γ - симплициальный комплекс, т. е.

∀ ρ ∀ σ: ρ ⊆ σ ∈ Γ ⇒ ρ ∈ Γ. {\ displaystyle \ forall \ rho \, \ forall \ sigma \!: \ \ rho \ substeq \ sigma \ in \ Gamma \ Rightarrow \ rho \ in \ Gamma.}

{\ Displaystyle \ forall \ rho \, \ forall \ sigma \!: \ \ rho \ substeq \ sigma \ in \ Gamma \ Rightarrow \ rho \ in \ Gamma.}

Это топология Александрова на множестве граней Δ.

Комплекс порядка, связанный с ч.у.набором (S, ≤), имеет множество S в качестве вершин и конечные цепочки из (S, ≤) в качестве граней. Топология ЧУМ, ассоциированная с ЧУМом (S, ≤), тогда является топологией Александрова на порядковом комплексе, ассоциированном с (S, ≤).

См. Также

Топологическая комбинаторика

Ссылки

Топология Poset: инструменты и приложения Мишель Л. Вакс, конспекты лекций IAS / Летняя школа для выпускников Park City в г. Геометрическая комбинаторика (июль 2004 г.)