Магический шестиугольник

Магии шестиугольник порядка п является расположением чисел в центре шестиугольной структуры с п клетками на каждый краю, таким образом, что числа в каждой строке, во всех трех направлениях, сумма к тому же постоянной магии М. Нормальная шестигранная магия содержит последовательные целые числа от 1 до 3 л ²  - 3 п  + 1. Оказывается, что нормальные шестиугольники магии существует только при п  = 1 (которое тривиально, поскольку она состоит только 1 шестиугольник) и п = 3. Более того, решение порядка 3 практически единственное. Мэн также дал менее сложное конструктивное доказательство.

Магический шестиугольник порядка 3 много раз публиковался как «новое» открытие. Первым упоминанием и, возможно, первым первооткрывателем является Эрнст фон Хазельберг (1887 г.).

• 1 Доказательство нормальных магических шестиугольников
• 2 аномальных магических шестиугольника
• 3 магических Т-образных шестиугольника
• 4 Примечания
• 5 ссылки
• 6 См. Также

Цифры в шестиугольнике идут подряд от 1 до. Следовательно, их сумма - треугольное число, а именно ${\ displaystyle (3n ^ {2} -3n + 1)}$

${\ displaystyle s = {1 \ over {2}} (3n ^ {2} -3n + 1) (3n ^ {2} -3n + 2) = {9n ^ {4} -18n ^ {3} + 18n ^ {2} -9n + 2 \ более {2}}}$

Есть r  = (2 n  - 1) рядов, идущих в любом заданном направлении (EW, NE-SW или NW-SE). Каждые из этих строк подводить к тому же числу М. Следовательно:

${\ Displaystyle M = {s \ over {r}} = {9n ^ {4} -18n ^ {3} + 18n ^ {2} -9n + 2 \ over {2 (2n-1)}}}$

Это можно переписать как

${\ displaystyle M = \ left ({\ frac {9n ^ {3}} {4}} - {\ frac {27n ^ {2}} {8}} + {\ frac {45n} {16}} - { \ frac {27} {32}} \ right) + {\ frac {5} {32 \ left (2n-1 \ right)}}}$

Умножение на 32 дает

${\ displaystyle 32M = 72n ^ {3} -108n ^ {2} + 90n-27 + {5 \ over 2n-1}}$

который показывает, что это должно быть целое число, следовательно, 2n-1 должно быть множителем 5, а именно 2n-1 = 1 или 2n-1 = 5. Единственное, что удовлетворяет этому условию, это и, что доказывает, что не существует обычных магических шестиугольников, кроме порядки 1 и 3. ${\ displaystyle {\ frac {5} {2n-1}}}$${\ Displaystyle п \ geq 1}$${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle n = 3}$

Хотя не существует нормальных магических шестиугольников с порядком выше 3, некоторые аномальные шестиугольники все же существуют. В данном случае ненормальное означает начало последовательности чисел, отличных от 1. Арсен Захрей обнаружил эти шестиугольники порядка 4 и 5:

Заказ 4 M = 111	Заказ 5 M = 244

Шестиугольник четвертого порядка начинается с 3 и заканчивается 39, сумма строк в нем 111. Шестиугольник пятого порядка начинается с 6, заканчивается 66 и в сумме составляет 244.

Шестиугольник порядка 5, начинающийся с 15, заканчивающийся 75 и суммируемый до 305, выглядит следующим образом:

 56 61 70 67 51 55 45 36 48 53 68 74 37 26 29 27 39 73 62 42 33 19 16 31 38 64 58 57 22 20 15 18 23 43 49 63 47 28 21 17 30 34 65 71 35 24 32 25 46 72 59 44 40 41 52 69 54 60 75 66 50

Сумма, превышающая 305 для шестиугольников порядка 5, невозможна.

Шестиугольники порядка 5, где «X» - заполнители для шестиугольников порядка 3, которые завершают числовую последовательность. В верхнем умещается шестиугольник с суммой 38 (числа от 1 до 19), а в нижнем - из 26 шестиугольников с суммой 0 (числа от -9 до 9). (для получения дополнительной информации посетите немецкую статью в Википедии )

 39 35 -14 21 -20 -16 -12 37 22 34 -4 X X X -5 -7 -1 36 X X X X -13 -17 30 23 X X X X X -6 24 -21 26 X X X X -3 0 28 -2 X X X 27 -11 -18 25 -15 -9 33 -8 29 31 38 32 -10 20 -19 30 28 -18 -13 -27 -30 -28 18 15 13 12 X X X 27 21 -22 -26 X X X X -11 -24 16 19 X X X X X -12 10 -20 22 X X X X -16 -21 11 26 X X X 20 14 -19 -15 -29 -25 17 24 23 -10 29 25 -17 -14 -23

Шестиугольник порядка 6 можно увидеть ниже. Его создал Луи Хелблинг, 11 октября 2004 г.:

Он начинается с 21, заканчивается на 111, а его сумма равна 546.

Этот магический шестиугольник 7-го порядка был обнаружен Арсеном Захреем 22 марта 2006 года с помощью моделированного отжига:

Он начинается с 2, заканчивается 128, а его сумма равна 635.

Магический шестиугольник порядка 8 был создан Луи К. Хелблингом 5 февраля 2006 г.:

Он начинается с -84 и заканчивается 84, а его сумма равна 0.

Шестиугольники также могут быть построены из треугольников, как показано на следующих диаграммах.

Заказ 2	Заказ 2 с номерами 1–24

Этот тип конфигурации можно назвать Т-образным шестиугольником, и он имеет гораздо больше свойств, чем шестиугольник шестиугольников.

Как и в предыдущем случае, ряды треугольников идут в трех направлениях, и в T-шестиугольнике порядка 2 имеется 24 треугольника. В общем, T-шестиугольник порядка n имеет треугольники. Сумма всех этих чисел определяется как: ${\ displaystyle 6n ^ {2}}$

${\ Displaystyle S = 3n ^ {2} (6n ^ {2} +1)}$

Если мы попытаемся построить магический T-шестиугольник со стороной n, мы должны выбрать n как четное, потому что имеется r  = 2 n строк, поэтому сумма в каждой строке должна быть

${\ displaystyle M = {\ frac {S} {R}} = {\ frac {3n ^ {2} (6n ^ {2} +1)} {2n}}}$

Чтобы это было целое число, n должно быть четным. На сегодняшний день открыты волшебные Т-шестиугольники 2, 4, 6 и 8 порядка. Первым был магический Т-шестиугольник порядка 2, открытый Джоном Бейкером 13 сентября 2003 года. С того времени Джон сотрудничал с Дэвидом Кингом, который обнаружил 59 674 527 несовпадающих магических Т-шестиугольников порядка 2.

Магические Т-образные шестиугольники имеют ряд общих свойств с магическими квадратами, но у них также есть свои особенности. Самым удивительным из них является то, что сумма чисел в треугольниках, направленных вверх, такая же, как сумма чисел в треугольниках, направленных вниз (независимо от размера Т-шестиугольника). В приведенном выше примере

17 + 20 + 22 + 21 + 2 + 6 + 10 + 14 + 3 + 16 + 12 + 7

= 5 + 11 + 19 + 9 + 8 + 13 + 4 + 1 + 24 + 15 + 23 + 18

= 150

• Бейкер. Дж. Э. и Кинг, Д. Р. (2004) «Использование визуальной схемы для нахождения свойств шестиугольника» Визуальная математика, том 5, номер 3
• Бейкер, JE и Бейкер, AJ (2004) «Шестиугольник, выбор природы» Архимед, Том 4

• Задача о шестиугольной черепахе
• Магическая гексаграмма