Изофота

редактировать

эллипсоид с изофотами (красный)

В геометрии изофота - это кривая на освещенной поверхности, которая соединяет точки равной яркости. Предполагается, что освещение осуществляется параллельным светом, а яркость измеряется следующим скалярным произведением : ${\ displaystyle b}$ $б$

{\ displaystyle b (P) = {\ vec {n}} (P) \ cdot {\ vec {v}} = \ cos \ varphi \.}

{\ displaystyle b (P) = {\ vec {n}} (P) \ cdot {\ vec {v}} = \ cos \ varphi \.}

${\ displaystyle {\ vec {n}} (P)}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}} (P)}$ - единичный вектор нормали к поверхности в точке и единичный вектор направления света. Если, то есть свет перпендикулярен нормали к поверхности, то точка - это точка силуэта поверхности, наблюдаемая в направлении. Яркость 1 означает, что вектор света перпендикулярен поверхности. На плоскости нет изофот, потому что каждая точка имеет одинаковую яркость. ${\ displaystyle P}$ $п$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ vec {v}}$ ${\ displaystyle b (P) = 0}$ ${\ displaystyle b (P) = 0}$ ${\ displaystyle P}$ $п$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ vec {v}}$

В астрономии изофота - это кривая на фотографии, соединяющая точки равной яркости.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Применение и пример
2 Определение точек изофоты
- 2.1 на неявной поверхности
- 2.2 на параметрической поверхности
3 См. Также
4 ссылки
5 Внешние ссылки

Применение и пример

В компьютерном проектировании изофоты используются для оптической проверки гладкости поверхностных соединений. Для поверхности (неявной или параметрической), которая достаточно дифференцируема, вектор нормали зависит от первых производных. Следовательно, дифференцируемость изофот и их геометрическая непрерывность на 1 меньше, чем у поверхности. Если в точке поверхности непрерывны только касательные плоскости (т. Е. G1-непрерывны), то изофоты имеют там перегиб (т. Е. Только G0-непрерывны).

В следующем примере (s. Диаграмма) две пересекающиеся поверхности Безье смешиваются с помощью третьего участка поверхности. На левом изображении поверхность смешивания имеет только G1-контакт с поверхностями Безье, а на правом изображении поверхности имеют G2-контакт. Эту разницу невозможно распознать по картинке. Но геометрическая непрерывность изофот показывает: с левой стороны они имеют изломы (т.е. G0-непрерывность), а с правой стороны они гладкие (то есть G1-непрерывность).

Изофоты на двух поверхностях Безье и на G1-непрерывной (слева) и G2-непрерывной (справа) поверхности смешивания: слева изофоты имеют изгибы, а справа - гладкие.

Определение точек изофоты

на неявной поверхности

Для неявной поверхности с уравнением условие изофоты ${\ displaystyle f (x, y, z) = 0}$ ${\ displaystyle f (x, y, z) = 0}$

{\ displaystyle {\ frac {\ nabla f \ cdot {\ vec {v}}} {| \ nabla f |}} = c \.}

{\ displaystyle {\ frac {\ nabla f \ cdot {\ vec {v}}} {| \ nabla f |}} = c \.}

Это означает: точки изофоты с заданным параметром являются решениями нелинейной системы ${\ displaystyle c}$ $c$

${\ Displaystyle \ е (х, у, z) = 0, \ qquad \ nabla f (x, y, z) \ cdot {\ vec {v}} - c \; | \ nabla f (x, y, z) | = 0 \,}$ ${\ Displaystyle \ е (х, у, z) = 0, \ qquad \ nabla f (x, y, z) \ cdot {\ vec {v}} - c \; | \ nabla f (x, y, z) | = 0 \,}$

которую можно рассматривать как кривую пересечения двух неявных поверхностей. Используя алгоритм отслеживания Bajaj et al. (см. ссылки) можно вычислить многоугольник точек.

на параметрической поверхности

В случае параметрической поверхности условие изофоты ${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {S}} (s, t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {S}} (s, t)}$

{\ displaystyle {\ frac {({\ vec {S}} _ {s} \ times {\ vec {S}} _ {t}) \ cdot {\ vec {v}}} {| {\ vec {S }} _ {s} \ times {\ vec {S}} _ {t} |}} = c \.}

{\ displaystyle {\ frac {({\ vec {S}} _ {s} \ times {\ vec {S}} _ {t}) \ cdot {\ vec {v}}} {| {\ vec {S }} _ {s} \ times {\ vec {S}} _ {t} |}} = c \.}

что эквивалентно

${\ displaystyle \ ({\ vec {S}} _ {s} \ times {\ vec {S}} _ {t}) \ cdot {\ vec {v}} - c \; | {\ vec {S} } _ {s} \ times {\ vec {S}} _ {t} | = 0 \.}$ ${\ displaystyle \ ({\ vec {S}} _ {s} \ times {\ vec {S}} _ {t}) \ cdot {\ vec {v}} - c \; | {\ vec {S} } _ {s} \ times {\ vec {S}} _ {t} | = 0 \.}$

Это уравнение описывает неявную кривую в st-плоскости, которую можно проследить с помощью подходящего алгоритма (см. Неявная кривая ) и преобразовать в точки поверхности. ${\ displaystyle {\ vec {S}} (s, t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {S}} (s, t)}$

Смотрите также

Контурная линия

Рекомендации

Дж. Хошек, Д. Лассер: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung, Teubner-Verlag, Штутгарт, 1989, ISBN 3-519-02962-6, стр. 31.
З. Сун, С. Шан, Х. Санг и др. др.: Биометрическое распознавание, Springer, 2014, ISBN 978-3-319-12483-4, стр. 158.
CL Bajaj, CM Hoffmann, RE Lynch, JEH Hopcroft: Tracing Surface Intersections, (1988) Comp. Помощь Geom. Дизайн 5. С. 285–307.
CT Leondes: Автоматизированные и интегрированные производственные системы: методы оптимизации, Vol. 3, World Scientific, 2003, ISBN 981-238-981-4, стр. 209.

^ J. Бинни, М. Меррифилд: Галактическая астрономия, Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00402-1, стр. 178.

Внешние ссылки