Ряд Фурье половинного диапазона

A Ряд Фурье половинного диапазона равен Ряд Фурье, определенный на интервале $[0,\; L]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; L]\}$вместо более распространенного $[-\; L,\; L]\; \{\backslash \; displaystyle\; [-L,\; L]\}$, подразумевая, что анализируемая функция $f\; (x),\; x\; \in \; [0,\; L]\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x),\; x\; \backslash \; in\; [0,\; L]\}$следует расширить до $[-\; L,\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; [-L,\; 0]\}$как даже (f (-x) = f (x)) или нечетная функция (f (-x) = - f (x)). Это позволяет разложить функцию в серию только из синусов (нечетных) или косинусов (четных). Выбор между четным и нечетным обычно мотивируется граничными условиями, связанными с дифференциальным уравнением, которому удовлетворяет $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$.

Пример

Вычислить ряд синусов Фурье половинного диапазона для функции $f\; (x)\; =\; cos\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; cos\; (x)\}$где .

Поскольку мы вычисляем синусоидальный ряд, $an\; =\; 0\; \forall \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; 0\; \backslash \; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; n\}$Итак, $bn\; =\; 2\; \pi \; \int \; 0\; \pi \; соз\; \; (Икс)\; грех\; \; (NX)\; dx\; знак\; равно\; 2\; N\; ((-\; 1)\; N\; +\; 1)\; \pi \; (N\; 2-1)\; \forall \; N\; \ge \; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; cos\; (x)\; \backslash \; sin\; (nx)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2n\; ((-\; 1)\; ^\; \{n\}\; +1)\; \}\; \{\backslash \; pi\; (n\; ^\; \{2\}\; -1)\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; n\; \backslash \; geq\; 2\}$

Если n нечетное, $bn\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; 0\}$Когда n четно, $bn\; =\; 4\; n\; \pi \; (n\; 2\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \{4n\; \backslash \; over\; \backslash \; pi\; (n\; ^\; \{2\}\; -1)\}\}$таким образом $b\; 2\; k\; =\; 8\; k\; \pi \; (4\; k\; 2-1)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{2k\}\; =\; \{8k\; \backslash \; over\; \backslash \; pi\; (4k\; ^\; \{2\}\; -1)\}\}$

В особом случае $b\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{1\}\; =\; 0\}$, следовательно, требуемый ряд синусов Фурье равен

$cos\; \; (x)\; =\; 8\; \pi \; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; n\; (4\; n\; 2-1)\; sin\; \; (2\; nx)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; (x)\; =\; \{\{8\; \backslash \; сверх\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{n\; \backslash \; over\; (4n\; ^\; \{2\}\; -1)\}\; \backslash \; sin\; (2nx)\}\}$

.