Дробный факторный план

В статистике, дробный факторный план - это экспериментальный план состоящий из тщательно подобранного подмножества (фракции) экспериментальных прогонов полного факторного плана. Подмножество выбрано таким образом, чтобы использовать принцип разреженности эффектов для раскрытия информации о наиболее важных особенностях изучаемой проблемы, используя при этом лишь часть усилий, необходимых для полного факторного плана с точки зрения экспериментальных запусков и ресурсов. Другими словами, он использует тот факт, что многие эксперименты в полном факторном дизайне часто избыточны, давая мало или не давая никакой новой информации о системе.

• 1 Обозначение
• 2 Поколение
• 3 Разрешение
• 4 Пример дробного факторного эксперимента
• 5 Внешние ссылки
• 6 См. Также
• 7 Ссылки

Дробные планы выражаются с использованием обозначения l, где l - количество уровней каждого исследуемого фактора, k - количество исследованных факторов, а p описывает размер использованной части полного факториала. Формально p - это количество генераторов, присвоения которых, эффекты или взаимодействия смешиваются, т.е. не могут быть оценены независимо друг от друга (см. Ниже). Проект с p такими генераторами составляет 1 / (l) = l часть полного факторного плана.

Например, двухуровневый план - это 1/4 двухуровневого пятифакторного факторного плана. Вместо 32 прогонов, которые потребовались бы для полного двухфакторного эксперимента, для этого эксперимента требуется только восемь прогонов.

На практике в дробных факторных планах редко встречается l>2 уровней, поскольку методология поверхности отклика - гораздо более экспериментально эффективный способ определения взаимосвязи между экспериментальным откликом и факторами при нескольких уровни. Кроме того, методология создания таких дизайнов для более чем двух уровней намного более громоздка.

Уровни фактора обычно кодируются как +1 для более высокого уровня и -1 для более низкого уровня. Для трехуровневого фактора промежуточное значение кодируется как 0.

Для экономии места точки в двухуровневом факторном эксперименте часто сокращаются строками знаков плюс и минус. Строки имеют столько же символов, сколько и факторов, и их значения определяют уровень каждого фактора: обычно $-\; \{\backslash \; displaystyle\; -\}$для первого (или нижнего) уровня и $+\; \{\backslash \; displaystyle\; +\}$для второго (или высокого) уровня. Таким образом, точки в этом эксперименте могут быть представлены как $-\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; -\}$, $+\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; +\; -\}$, $-\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; +\}$, и $+\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; ++\}$.

Факториальные точки также могут быть сокращены до (1), a, b и ab, где наличие буквы указывает на то, что указанный коэффициент находится на максимальном уровне ( или второй) уровень, а отсутствие буквы указывает на то, что указанный фактор находится на своем низком (или первом) уровне (например, «а» указывает, что фактор A находится на своем высоком значении, в то время как все другие факторы имеют низкое значение ( или сначала) установка). (1) используется, чтобы указать, что все факторы имеют самые низкие (или первые) значения.

На практике экспериментаторы обычно полагаются на статистические справочники для получения «стандартных» дробных факторных планов, состоящих из главной дроби. Основная дробь - это набор комбинаций обработок, для которых генераторы оценивают как + в алгебре комбинаций обработок. Однако в некоторых ситуациях экспериментаторы могут взять на себя создание собственного дробного дизайна.

Дробный факторный эксперимент создается из полного факторного эксперимента путем выбора структуры псевдонима. Структура псевдонима определяет, какие эффекты смешиваются друг с другом. Например, пять факторов 2 можно получить, используя полный трехфакторный факторный эксперимент, включающий три фактора (скажем, A, B и C), а затем решив смешать два оставшихся фактора D и E с взаимодействиями, порожденными D = A *. B и E = A * C. Эти два выражения называются генераторами дизайна. Так, например, когда эксперимент проводится и экспериментатор оценивает эффекты для фактора D, на самом деле оценивается комбинация основного эффекта D и двухфакторного взаимодействия с участием A и B.

Важной характеристикой дробного плана является определяющее отношение, которое дает набор столбцов взаимодействия, равных в матрице плана, столбцу со знаками плюс, обозначенному I. В приведенном выше примере, поскольку D = AB и E = AC, то ABD и ACE являются столбцами со знаком плюс, и, следовательно, BDCE. В этом случае определяющим соотношением дробного плана является I = ABD = ACE = BCDE. Определяющее отношение позволяет определить шаблон псевдонима проекта.

Важным свойством дробного дизайна является его разрешение или способность отделять друг от друга основные эффекты и взаимодействия низшего порядка. Формально разрешающая способность дизайна - это минимальная длина слова в определяющем отношении, исключая (1). Наиболее важными дробными планами являются планы с разрешением III, IV и V: разрешения ниже III бесполезны, а разрешения выше V бесполезны, поскольку расширенное экспериментирование не приносит практической пользы в большинстве случаев - основная часть дополнительных усилий идет на оценка взаимодействий очень высокого порядка, которые редко встречаются на практике. Схема 2 выше - это разрешение III, поскольку его определяющее соотношение I = ABD = ACE = BCDE.

Описанное разрешение используется только для обычных планов. Обычные проекты имеют размер пробега, равный степени двойки, и присутствует только полное наложение. Нестандартные конструкции - это конструкции, в которых размер серии кратен 4; в этих схемах присутствует частичное наложение спектров, а в качестве критерия проектирования используется обобщенное разрешение вместо разрешения, описанного ранее.

Монтгомери приводит следующий пример дробного факторного эксперимента. Инженер провел эксперимент по увеличению скорости фильтрации (производительности) процесса по производству химического вещества и по уменьшению количества формальдегида, используемого в процессе. Полный факторный эксперимент описан на странице Википедии Факториальный эксперимент. Учитывались четыре фактора: температура (A), давление (B), концентрация формальдегида (C) и скорость перемешивания (D). Результаты этого примера заключались в том, что основные эффекты A, C и D, а также взаимодействия AC и AD были значительными. Результаты этого примера могут быть использованы для моделирования дробного факторного эксперимента с использованием половинной доли исходного плана 2 = 16 прогонов. В таблице показан план эксперимента с половинной фракцией из 2 = 8 и результирующая скорость фильтрации, извлеченная из таблицы для полных 16 прогонов факторный эксперимент.

В этом дробном дизайне каждому главному эффекту соответствует трехфакторное взаимодействие (например, A = BCD), и каждые 2 -факторное взаимодействие совпадает с другим двухфакторным взаимодействием (например, AB = CD). Отношения псевдонимов показаны в таблице. Это дизайн с разрешением IV, что означает, что основные эффекты накладываются на 3-сторонние взаимодействия, а двусторонние взаимодействия накладываются на 2-сторонние взаимодействия.

Анализ дисперсии оценок эффектов показан в таблице ниже. Из таблицы видно, что эффекты A, C и D очень велики. Коэффициент взаимодействия AB довольно мал. Если взаимодействия AB и CD не имеют примерно равных, но противоположных эффектов, этими двумя взаимодействиями можно пренебречь. Если A, C и D имеют большие эффекты, но B мало влияет, то взаимодействия AC и AD, скорее всего, значительны. Эти выводы согласуются с результатами полнофакторного 16-серийного эксперимента.

. Поскольку B и его взаимодействия кажутся незначительно, B может быть исключен из модели. Отбрасывание B приводит к полному факторному плану 2 для факторов A, C и D. Выполнение anova с использованием факторов A, C и D и условий взаимодействия A: C и A: D дает результаты, показанные в таблице., которые очень похожи на результаты для полного факторного эксперимента, но имеют то преимущество, что требуется только половинная дробь 8 опытов, а не 16.

• Полная Факториальные и дробно-факторные эксперименты: часто задаваемые вопросы (Методологический центр, Университет Пенсильвании)
• Дробные факторные модели (Национальный институт стандартов и технологий)

• Надежные схемы параметров

1. ^Коробка, GE; Хантер, J.S.; Хантер, W.G. (2005). Статистика для экспериментаторов: дизайн, инновации и открытия, 2-е издание. Вайли. ISBN 0-471-71813-0.
2. ^Монтгомери, Дуглас К. (2013), Планирование и анализ экспериментов (8-е изд.), Wiley