Неравенство Альсведе – Дайкина

Фундаментальный инструмент в статистической механике и вероятностной комбинаторика (особенно случайные графы и вероятностный метод ), неравенство Альсведе – Дайкина (Ahlswede Daykin 1978), также известная как теорема о четырех функциях (или неравенство ), является неравенством типа корреляции для четырех функций на конечной распределительной решетке.

В нем указано, что если $f\; 1,\; f\; 2,\; f\; 3,\; f\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\},\; f\_\; \{2\},\; f\_\; \{3\},\; f\_\; \{4\}\}$являются неотрицательными функциями на конечной дистрибутивной решетке, такой что

$f\; 1\; (x)\; f\; 2\; (y)\; \le \; f\; 3\; (x\; \vee \; y)\; f\; 4\; (x\; \wedge \; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\}\; (x)\; f\_\; \{2\}\; (\; y)\; \backslash \; leq\; f\_\; \{3\}\; (x\; \backslash \; vee\; y)\; f\_\; \{4\}\; (x\; \backslash \; wedge\; y)\}$

для всех x, y в решетке, тогда

$f\; 1\; (X)\; f\; 2\; (Y)\; \le \; f\; 3\; (X\; \vee \; Y)\; f\; 4\; (X\; \wedge \; Y)\; \{\backslash \; displa\; ystyle\; f\_\; \{1\}\; (X)\; f\_\; \{2\}\; (Y)\; \backslash \; leq\; f\_\; \{3\}\; (X\; \backslash \; vee\; Y)\; f\_\; \{4\}\; (X\; \backslash \; wedge\; Y)\}$

для всех подмножеств X, Y решетки, где

$f\; (X)\; =\; \sum \; x\; \in \; X\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (X)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; X\}\; f\; (x)\}$

и

$X\; \vee \; Y\; знак\; равно\; \{Икс\; \vee \; Y\; \mid \; Икс\; \in \; X,\; Y\; \in \; Y\}\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; \backslash \; Vee\; Y\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; Vee\; Y\; \backslash \; mid\; x\; \backslash \; in\; X,\; y\; \backslash \; in\; Y\; \backslash \}\}$

$X\; \wedge \; Y\; =\; \{\; x\; \wedge \; y\; \mid \; x\; \in \; X,\; y\; \in \; Y\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; wedge\; Y\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; wedge\; y\; \backslash \; mid\; x\; \backslash \; in\; X,\; y\; \backslash \; in\; Y\; \backslash \}.\}$

Неравенство Альсведе – Дайкина можно использовать для краткого доказательства того, что Неравенство Холли и неравенство ФКГ. Это также подразумевает неравенство Фишберна – Шеппа.

. Доказательство см. В исходной статье (Ahlswede Daykin 1978) или (Alon Spencer 2000).

«Теорема о четырех функциях» была независимо обобщена на 2k функций в (Aharoni Keich 1996) и (Rinott Saks 1991).

• Альсведе, Рудольф; Дайкин, Дэвид Э. (1978), «Неравенство для весов двух семейств множеств, их объединений и пересечений», Теория вероятностей и связанные поля, 43 (3): 183–185, CiteSeerX 10.1.1.380.8629, doi : 10.1007 / BF00536201, ISSN 0178-8051, MR 0491189, S2CID 120659862
• Alon, N.; Спенсер, Дж. Х. (2000), Вероятностный метод. Второе издание. С приложением о жизни и творчестве Пола Эрдеша, Wiley-Interscience, New York, ISBN 978-0-471-37046-8, MR 1885388
• Fishburn, PC (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
• Ахарони, Рон; Кейч, Ури (1996), «Обобщение неравенства Алсведе Дайкина», Дискретная математика, 152 (1–3): 1–12, doi : 10.1016 / 0012-365X (94) 00294-S
• Rinott, Yosef; Сакс, Майкл (1991), «Неравенства корреляции и гипотеза для перманентов», Combinatorica, 13 (3): 269–277, doi : 10.1007 / BF01202353, S2CID 206791629