Геометрия Даулинга

В комбинаторная математика, геометрия Даулинга, названная в честь Томаса А. Даулинга, представляет собой матроид, связанный с группой . Для каждой группы существует геометрия Даулинга каждого ранга. Если ранг не меньше 3, геометрия Даулинга однозначно определяет группу. Геометрии Даулинга играют роль в теории матроидов как универсальные объекты (Kahn and Kung, 1982); в этом отношении они аналогичны проективной геометрии, но на основе групп вместо полей .

A Решетка Даулинга представляет собой геометрическую решетку из плоских поверхностей связано с геометрией Даулинга. Решетка и геометрия математически эквивалентны: знание одного определяет другое. Решетки Даулинга и, как следствие, геометрии Даулинга были введены Доулингом (1973a, b).

Решетка Даулинга или геометрия ранга n группы G часто обозначается Q n (G).

• 1 Исходные определения
• 2 Графические определения
• 3 Характеристический многочлен
• 4 Обобщения
• 5 Ссылки

В его первой статье ( 1973a) Доулинг определил решетку Даулинга ранга n мультипликативной группы конечного поля F. Это набор всех тех подпространств векторного пространства F, которые порождаются подмножествами множества E, состоящего из векторов с не более чем двумя ненулевыми координатами. Соответствующая геометрия Даулинга - это набор одномерных векторных подпространств, порожденных элементами E.

В своей второй статье (1973b) Даулинг дал внутреннее определение решетки Даулинга ранга n любой конечной группы G.Пусть S - множество {1,..., n}. Набор (T, α), помеченный G-, является множеством T вместе с функцией α: T → G. Два G-помеченных набора, (T, α) и (T, β), являются эквивалентными, если существует такой элемент группы g, что β = gα. Класс эквивалентности обозначается [T, α]. Частичное G-разбиение множества S - это множество γ = {[B 1,α1],..., [B k,αk]} классов эквивалентности G-помеченных множеств, таких что B 1,..., B k - непустые подмножества S, попарно не пересекающиеся. (k может равняться 0.) Частичное G-разбиение γ называется ≤ другого, γ *, если

• каждый блок второго является объединением блоков первого, и
• для каждый B i, содержащийся в B * j, α i, эквивалентен ограничению α * j доменом B i.

Это дает частичное упорядочение набора всех частичных G-разбиений S. Результирующим частично упорядоченным набором является решетка Даулинга Q n (G).

Определения действительны, даже если F или G бесконечны, хотя Даулинг упомянул только конечные поля и группы.

Графическое определение было дано Дубилетом, Рота и Стэнли (1972). Мы даем немного более простое (но по сути эквивалентное) графическое определение Заславского (1991), выраженное в терминах графов усиления.

Возьмите n вершин, и между каждой парой вершин, v и w, возьмите набор | G | параллельные ребра, помеченные каждым из элементов группы G. Ребра ориентированы в том смысле, что, если метка в направлении от v к w является элементом группы g, то метка того же ребра в противоположном направлении, от w к v, находится g. Таким образом, метка кромки зависит от направления кромки; такие метки называются приростом . Также добавьте к каждой вершине цикл, усиление которого равно любому значению, кроме 1. (1 - это элемент идентичности группы .) Это дает граф, который называется GK n (обратите внимание на поднятый круг). Тогда

A цикл на графике имеет усиление. Цикл представляет собой последовательность ребер e 1e2··· e k. Предположим, что усиление этих ребер в фиксированном направлении вокруг цикла составляет g 1, g 2,..., g k. Тогда прирост цикла равен произведению g 1g2··· g k. Значение этого усиления не совсем точно определено, поскольку оно зависит от направления, выбранного для цикла, и от того, которое называется «первым» краем цикла. То, что не зависит от этих вариантов, является ответом на следующий вопрос: равен коэффициент усиления 1 или нет? Если он равен 1 для одного набора вариантов, то он также равен 1 для всех наборов вариантов.

Чтобы определить геометрию Даулинга, мы указываем контуры (минимальные зависимые множества). Цепи матроида - это

• циклы с коэффициентом усиления 1,
• пары циклов с обоими коэффициентами усиления, не равными 1, и которые пересекаются в одной вершине и ни в чем другом, и
• тета-графы, в которых ни один из трех циклов не имеет усиления, равного 1.

Таким образом, геометрия Даулинга Q n (G) является матроидом кадра или (матроид смещения) графика усиления GK n (выпуклый кружок обозначает наличие петель). Другие, эквивалентные определения описаны в статье о графиках усиления.

Одна из причин интереса к решеткам Даулинга заключается в том, что характеристический многочлен очень прост. Если L - решетка Даулинга ранга n конечной группы G, содержащей m элементов, то

$p\; L\; (y)\; =\; (y\; -\; 1)\; (y\; -\; m\; -\; 1)\; \cdots \; (y\; -\; [n\; -\; 1]\; m\; -\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{L\}\; (y)\; =\; (y-1)\; (ym-1)\; \backslash \; cdots\; (y-\; [n-1]\; m-1),\}$

исключительно простая формула для любого геометрическая решетка.

Существует также геометрия Даулинга только ранга 3, связанная с каждой квазигруппой ; см. Доулинг (1973b). Это не распространяется прямо на более высокие ранги. Заславский (2012) сделал обобщение, которое включает n-арные квазигруппы.

• Питер Дубилет, Джан-Карло Рота и Ричард П. Стэнли (1972), Об основах комбинаторной теории (VI): идея производящей функции. В: Труды Шестого симпозиума Беркли по математической статистике и вероятности (Беркли, Калифорния, 1970/71), Vol. II: Теория вероятностей, стр. \ 267–318. Калифорнийский университет Press, Беркли, Калифорния, 1972 г.
• Т.А. Доулинг (1973a), q-аналог решетки разбиений. Глава 11 в: J.N. Шривастава и др., Ред., Обзор комбинаторной теории (Труды Международного симпозиума, Форт-Коллинз, Колорадо, 1971), стр. 101–115. Северная Голландия, Амстердам, 1973 г.
• Т.А. Доулинг (1973b), Класс геометрических решеток, основанный на конечных группах. Журнал комбинаторной теории, серия B, Vol. 14 (1973), стр. 61–86.
• Кан, Джефф и Кунг, Джозеф П.С. (1982), Разновидности комбинаторных геометрий. Труды Американского математического общества, Vol. 271, стр. 485–499.
• Томас Заславский (1991), Смещенные графики. II. Три матроида. Журнал комбинаторной теории, серия B, Vol. 51, стр. 46–72.
• Томас Заславский (2012), Ассоциативность в многозначных квазигруппах: способ смещенных разложений. «Aequationes Mathematicae », Vol. 83, нет. 1, стр. 1–66.