Модель непрерывной спонтанной локализации

редактировать

Модель непрерывной спонтанной локализации (CSL ) - это модель модель спонтанного коллапса в квантовой механике, предложенная в 1989 году Филипом Перлом. и завершено в 1990 г. Джан Карло Гирарди, Филип Перл и Альберто Римини.

Содержание

1 Введение
2 Уравнение динамики
3 Экспериментальные испытания
- 3.1 Интерферометрические эксперименты
- 3.2 Неинтерферометрические эксперименты
4 Диссипативные и цветные расширения
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Введение

Наиболее широко изучаемые среди динамической редукции (также известная как коллапс) модель CSL. Основанная на модели Жирарди-Римини-Вебера, модель CSL работает как парадигма моделей коллапса. В частности, он описывает коллапс как происходящий непрерывно во времени, в отличие от модели Гирарди-Римини-Вебера.

Основными особенностями модели являются:

Локализация происходит в положении, которое является предпочтительной основой.
Модель не изменяет динамику микроскопической системы, в то время как она становится сильным для макроскопических объектов: механизм усиления обеспечивает это масштабирование.
Он сохраняет свойства симметрии идентичных частиц.
Он характеризуется двумя параметрами: $λ {\ displaystyle \ lambda }$ $\ лямбда$ и $r C {\ displaystyle r_ {C}}$ ${\ displaystyle r_ {C}}$ , которые представляют собой соответственно частоту коллапса и корреляционную длину модели.

Динамическое уравнение

Динамическое уравнение CSL для волновой функции является стохастическим и нелинейным:

d | ψ t⟩ = [- я ℏ H ^ dt + λ m 0 ∫ dx N ^ t (x) d W t (x) - λ 2 m 0 2 ∫ dx ∫ dyg (x - y) N ^ t (x) N ^ t (y) dt] | ψ T⟩, {\ displaystyle \ operatorname {d} \! | \ psi _ {t} \ rangle = \ left [- {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {H}} \ operatorname {d } \! t + {\ frac {\ sqrt {\ lambda}} {m_ {0}}} \ int \ operatorname {d} \! {\ bf {x}} \, {\ hat {N}} _ {t } ({\ bf {x}}) \ operatorname {d} \! W_ {t} ({\ bf {x}}) \ right. \ left.- {\ frac {\ lambda} {2m_ {0} ^ {2}}} \ int \ operatorname {d} \! {\ Bf {x}} \ int \ operatorname {d} \! {\ Bf {y}} \, g ({\ bf {x}} - { \ bf {y}}) {\ hat {N}} _ {t} ({\ bf {x}}) {\ hat {N}} _ {t} ({\ bf {y}}) \ operatorname { d} \! t \ right] | \ psi _ {t} \ rangle,}

{\ displaystyle \ operatorname {d} \! | \ Psi _ {t} \ rangle = \ left [- {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {H}} \ operatorname {d} \! t + {\ frac {\ sqrt {\ lambda}} {m_ {0}}} \ int \ operatorname {d} \! {\ bf {x}} \, {\ hat {N}} _ {t} ({\ bf {x}}) \ operatorname {d} \! W_ {t} ({\ bf {x}}) \ right. \ left.- {\ frac {\ lambda} {2m_ {0 } ^ {2}}} \ int \ operatorname {d} \! {\ Bf {x}} \ int \ operatorname {d} \! {\ Bf {y}} \, g ({\ bf {x}} - {\ bf {y}}) {\ hat {N}} _ {t} ({\ bf {x}}) {\ hat {N}} _ {t} ({\ bf {y}}) \ имя оператора {d} \! t \ right] | \ psi _ {t} \ rangle,}

где

H ^ {\ displaystyle {\ hat {H}}}

\ hat H

- гамильтониан, описывающий квантовая динамика,

m 0 {\ displaystyle m_ {0}}

m_{0}

- это контрольная масса, принятая равной массе нуклона,

g (x - y) = e - (x - y) 2/4 р С 2 {\ displaystyle g ({\ bf {x}} - {\ bf {y}}) = e ^ {- {({\ bf {x}} - {\ bf {y}) }) ^ {2}} / {4r_ {C} ^ {2}}}}

{ \ displaystyle g ({\ bf {x}} - {\ bf {y}}) = e ^ {- {({\ bf {x}} - {\ bf {y}}) ^ {2}} / { 4r_ {C} ^ {2}}}}

, а поле шума

wt (x) = d W t (x) / dt {\ displaystyle w_ {t} ({\ bf {x}}) = \ operatorname {d} \! W_ {t} ({\ bf {x}}) / \ operatorname {d} \! t}

{\ displaystyle w_ {t} ({\ bf {x}}) = \ operatorname {d} \! W_ {t} ({\ bf {x}}) / \ operatorname {d} \! t}

час как нулевое среднее и корреляция, равная

E [wt (x) ws (y)] = g (x - y) δ (t - s), {\ displaystyle \ mathbb {E} [w_ {t} ({ \ bf {x}}) w_ {s} ({\ bf {y}})] = g ({\ bf {x}} - {\ bf {y}}) \ delta (ts),}

{\ displaystyle \ mathbb {E } [w_ {t} ({\ bf {x}}) w_ {s} ({\ bf {y}})] = g ({\ bf {x}} - {\ bf {y}}) \ delta (TS),}

где

E [⋅] {\ displaystyle \ mathbb {E} [\ \ cdot \]}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [ \ \ cdot \]}

обозначает стохастическое среднее по шуму. Наконец, мы ввели

N ^ t (x) = M ^ (x) - ⟨ψ t | M ^ (x) | ψ T⟩, {\ displaystyle {\ hat {N}} _ {t} ({\ bf {x}}) = {\ hat {M}} ({\ bf {x}}) - \ langle \ psi _ {t} | {\ hat {M}} ({\ bf {x}}) | \ psi _ {t} \ rangle,}

{\ displaystyle {\ hat {N}} _ {t} ({\ bf {x}}) = {\ hat {M}} ({\ bf {x}}) - \ langle \ psi _ {t} | {\ hat {M}} ({\ bf {x}}) | \ psi _ {t} \ rangle,}

где

M ^ (x) {\ displaystyle {\ hat { M}} ({\ bf {x}})}

{\ displaystyle {\ hat {M}} ({\ bf {x}})}

- оператор плотности массы, который имеет вид

M ^ (x) = ∑ jmj ∑ sa ^ j † (x, s) a ^ j (x, s), {\ displaystyle {\ hat {M}} ({\ bf {x}}) = \ sum _ {j} m_ {j} \ sum _ {s} {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} ({\ bf {x}}, s) {\ hat {a}} _ {j} ({\ bf {x}}, s),}

{\ displaystyle {\ hat {M}} ({\ bf {x}}) = \ сумма _ {j} m_ {j} \ sum _ {s} {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} ({\ bf {x}}, s) {\ hat {a}} _ {j} ({\ bf {x}}, s),}

где

a ^ j † (y, s) {\ displaystyle {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} ({\ bf {y}}, s)}

{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} ({\ bf {y}}, s)}

a ^ j (y, s) {\ displaystyle {\ hat {a}} _ {j} ({\ bf {y}}, s)}

{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {j} ( {\ bf {y}}, s)}

являются, соответственно, вторым квантованным творением и операторы аннигиляции частицы типа

j {\ displaystyle j}

j

со спином

s {\ displaystyle s}

s

в точке

y {\ displaystyle { \ bf {y}}}

{\ displaystyle {\ bf {y}}}

массы

mj {\ displaystyle m_ {j}}

m_ {j}

. Использование этих операторов обеспечивает сохранение свойств симметрии одинаковых частиц. Более того, массовая пропорциональность автоматически реализует механизм усиления. Выбор формы

M ^ (x) {\ displaystyle {\ hat {M}} ({\ bf {x}})}

{\ displaystyle {\ hat {M}} ({\ bf {x}})}

обеспечивает коллапс в основе позиции.

Действие модели CSL количественно оценивается значениями двух феноменологических параметров $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ лямбда$ и $r C {\ displaystyle r_ {C}}$ ${\ displaystyle r_ {C}}$ . Первоначально модель Жирарди-Римини-Вебера предлагала $λ = 10-17 {\ displaystyle \ lambda = 10 ^ {- 17} \,}$ ${\ displaystyle \ lambda = 10 ^ {- 17} \,}$ s $- 1 {\ displaystyle ^ {- 1}}$ $^ {- 1}$ at $r C = 10-7 {\ displaystyle r_ {C} = 10 ^ {- 7} \,}$ ${\ displaystyle r_ {C} = 10 ^ {- 7} \,}$ m, в то время как позже Адлер рассмотрел большие значения: $λ = 10-8 ± 2 {\ displaystyle \ lambda = 10 ^ {- 8 \ pm 2} \,}$ ${\ displaystyle \ lambda = 10 ^ {- 8 \ pm 2} \,}$ s $- 1 {\ displaystyle ^ {- 1}}$ $^ {- 1}$ для $r C = 10–7 {\ displaystyle r_ {C} = 10 ^ {- 7} \,}$ ${\ displaystyle r_ {C} = 10 ^ {- 7} \,}$ m и $λ = 10–6 ± 2 {\ displaystyle \ lambda = 10 ^ {- 6 \ pm 2} \,}$ ${\ displaystyle \ lambda = 10 ^ {- 18 \ pm 2} \,}$ s $- 1 {\ displaystyle ^ {- 1}}$ $^ {- 1}$ для $r C = 10 - 6 {\ displaystyle r_ {C} = 10 ^ {- 6 } \,}$ ${\ displaystyle r_ {C} = 10 ^ {- 6} \,}$ м. В конце концов, эти значения должны быть ограничены экспериментами.

Из динамики волновой функции можно получить соответствующее основное уравнение для статистического оператора $ρ ^ t {\ displaystyle {\ hat {\ rho}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} _ {t}}$ :

d ρ ^ tdt = - я ℏ [H ^, ρ ^ t] - λ 2 м 0 2 ∫ dx ∫ dyg (x - y) [M ^ (x), [M ^ (y), ρ ^ t]]. {\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \! {\ hat {\ rho}} _ {t}} {\ operatorname {d} \! t}} = - {\ frac {i} {\ hbar} } \ left [{\ hat {H}}, {{\ hat {\ rho}} _ {t}} \ right] - {\ frac {\ lambda} {2m_ {0} ^ {2}}} \ int \ operatorname {d} \! {\ bf {x}} \ int \ operatorname {d} \! {\ bf {y}} \, g ({\ bf {x}} - {\ bf {y}}) \ left [{{\ hat {M}} ({\ bf {x}})}, \ left [{{{\ hat {M}} ({\ bf {y}})}, {{\ hat { \ rho}} _ {t}}} \ right] \ right].}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \! {\ Hat {\ rho}} _ {t}} {\ operatorname {d} \! T}} = - {\ frac {i} {\ hbar}} \ left [{\ hat {H}}, {{\ hat {\ rho}} _ {t}} \ right] - {\ frac {\ lambda} {2m_ {0} ^ {2}}} \ int \ operatorname {d} \! {\ Bf {x}} \ int \ operatorname {d} \! {\ Bf {y}} \, g ({\ bf {x }} - {\ bf {y}}) \ left [{{\ hat {M}} ({\ bf {x}})}, \ left [{{{{\ hat {M}} ({\ bf { y}})}, {{\ hat {\ rho}} _ {t}}} \ right] \ right].}

Как только основное уравнение представлено в базисе положения, становится ясно, что его прямое действие заключается в диагонализации матрицы плотности в положении. Для одиночной точечной частицы с массой

m {\ displaystyle m}

m

это читается как

∂ ⟨x | ρ ^ t | y⟩ ∂ t = - i ℏ ⟨x | [H ^, ρ ^ t] | y⟩ - λ м 2 м 0 2 (1 - e - (x - y) 2 4 r C 2) ⟨x | ρ ^ t | y⟩, {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ langle {{\ bf {x}} | {\ hat {\ rho}} _ {t} | {\ bf {y}}} \ rangle} {\ partial t}} = - {\ frac {i} {\ hbar}} \ langle {{\ bf {x}} | \ left [{\ hat {H}}, {{\ hat {\ rho}} _ {t }} \ right] | {\ bf {y}}} \ rangle - \ lambda {\ frac {m ^ {2}} {m_ {0} ^ {2}}} \ left (1-e ^ {- { \ tfrac {({\ bf {x}} - {\ bf {y}}) ^ {2}} {4r_ {C} ^ {2}}}} \ right) \ langle {{\ bf {x}} | {\ hat {\ rho}} _ {t} | {\ bf {y}}} \ rangle,}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ langle {{\ bf {x}} | {\ hat {\ rho}} _ {t} | {\ bf {y}}} \ rangle} {\ partial t}} = - {\ frac {i} {\ hbar}} \ langle {{\ bf {x}} | \ left [{\ hat {H}}, { {\ hat {\ rho}} _ {t}} \ right] | {\ bf {y}}} \ rangle - \ lambda {\ frac {m ^ {2}} {m_ {0} ^ {2}} } \ left (1-e ^ {- {\ tfrac {({\ bf {x}} - {\ bf {y}}) ^ {2}} {4r_ {C} ^ {2}}}} \ right) \ langle {{\ bf {x}} | {\ hat {\ rho}} _ {t} | {\ bf {y}}} \ rangle,}

где недиагональные члены, которые имеют

x ≠ y {\ displaystyle {\ bf {x}} \ neq {\ bf {y}}}

{\ displaystyle {\ bf {x}} \ neq {\ bf {y}}}

, экспоненциально затухают. И наоборот, диагональные члены, характеризующиеся

x = y {\ displaystyle {\ bf {x}} = {\ bf {y}}}

{\ displaystyle {\ bf { х}} = {\ bf {y}}}

, сохраняются. Для составной системы скорость разрушения одной частицы

λ {\ displaystyle \ lambda}

\ лямбда

следует заменить на скорость разрушения составной системы

λ m 2 m 0 2 → λ r C 3 π 3/2 m 0 2 ∫ dk | μ ~ (k) | 2 е - К 2 р С 2, {\ displaystyle \ lambda {\ frac {m ^ {2}} {m_ {0} ^ {2}}} \ to \ lambda {\ frac {r_ {C} ^ {3) }} {\ pi ^ {3/2} m_ {0} ^ {2}}} \ int \ operatorname {d} \! {\ bf {k}} | {\ tilde {\ mu}} ({\ bf {k}}) | ^ {2} e ^ {- k ^ {2} r_ {C} ^ {2}},}

{\ displaystyle \ lambda {\ frac {m ^ {2}} {m_ {0} ^ {2}}} \ to \ lambda {\ frac {r_ {C} ^ { 3}} {\ pi ^ {3/2} m_ {0} ^ {2}}} \ int \ operatorname {d} \! {\ Bf {k}} | {\ tilde {\ mu}} ({\ bf {k}}) | ^ {2} e ^ {- k ^ {2} r_ {C} ^ {2}},}

где

μ ~ (k) {\ displaystyle {\ tilde {\ mu}} (k)}

{\ displaystyle {\ tilde {\ mu}} (k)}

- преобразование Фурье плотности массы системы.

Экспериментальные испытания

В отличие от других решений проблемы измерения, модели коллапса можно проверить экспериментально. Эксперименты, проверяющие модель CSL, можно разделить на два класса: интерферометрические и неинтерферометрические эксперименты, которые исследуют, соответственно, прямые и косвенные эффекты механизма коллапса.

Интерферометрические эксперименты

Интерферометрические эксперименты могут обнаружить прямое действие коллапса, которое заключается в локализации волновой функции в пространстве. К ним относятся все эксперименты, в которых создается суперпозиция и через некоторое время исследуется ее интерференционная картина. Действие CSL - это уменьшение интерференционного контраста, которое количественно выражается сокращением недиагональных членов статистического оператора

ρ (x, x ′, t) = 1 2 π ℏ ∫ - ∞ + ∞ dk ∫ - ∞ + ∞ dwe - ikw / ℏ FCSL (к, x - x ′, t) ρ QM (x + w, x ′ + w, t), {\ displaystyle \ rho (x, x ', t) = {\ frac {1} {2 \ pi \ hbar}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ operatorname {d} \! k \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty } \ operatorname {d} \! w \, e ^ {- ikw / \ hbar} F_ {CSL} (k, x-x ', t) \ rho ^ {QM} (x + w, x' + w, t),}

\rho (x,x',t)={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {d} \!k\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {d} \!w\,e^{-ikw/\hbar }F_{CSL}(k,x-x',t)\rho ^{QM}(x+w,x'+w,t),

где

ρ QM {\ textstyle \ rho ^ {QM}}

{\ textstyle \ rho ^ {QM}}

обозначает статистический оператор, описываемый квантовой механикой, и мы определяем

FCSL (k, q, t) = ехр ⁡ [- λ м 2 м 0 2 t (1 - 1 t ∫ 0 td τ e - (q - k τ м) 2/4 r C 2)]. {\ displaystyle F_ {CSL} (k, q, t) = \ exp {\ bigg [} - \ lambda {\ frac {m ^ {2}} {m_ {0} ^ {2}}} t \ left ( 1 - {\ frac {1} {t}} \ int _ {0} ^ {t} \ operatorname {d} \! \ Tau \, e ^ {- {(q - {\ frac {k \ tau} { m}}) ^ {2}} / {4r_ {C} ^ {2}}} \ right) {\ bigg]}.}

{\ displaystyle F_ {CSL} (k, q, t) = \ exp {\ bigg [} - \ lambda {\ frac {m ^ {2}} {m_ {0} ^ {2}}} t \ left (1 - {\ frac {1} { t}} \ int _ {0} ^ {t} \ operatorname {d} \! \ tau \, e ^ {- {(q - {\ frac {k \ tau} {m}}) ^ {2}} / {4r_ {C} ^ {2}}} \ right) {\ bigg]}.}

Эксперименты, проверяющие такое уменьшение интерференционного контраста, проводятся с холодными атомами, молекулы и запутанные алмазы.

Точно так же можно также количественно определить минимальную прочность на схлопывание, чтобы фактически решить проблему измерения на макроскопическом уровне. В частности, оценку можно получить, потребовав, чтобы суперпозиция однослойного графенового диска радиусом $≃ 10-5 {\ displaystyle \ simeq 10 ^ {- 5}}$ ${\ displaystyle \ simeq 10 ^ {- 5}}$ м схлопывалась менее чем $≃ 10-2 {\ displaystyle \ simeq 10 ^ {- 2}}$ ${\ displaystyle \ simeq 10 ^ {- 2}}$ s.

Неинтерферометрические эксперименты

Неинтерферометрические эксперименты состоят в тестах CSL, которые не основаны на приготовлении суперпозиции. Они используют косвенный эффект коллапса, который заключается в броуновском движении, вызванном взаимодействием с шумом коллапса. Эффект этого шума составляет эффективную стохастическую силу, действующую на систему, и можно провести несколько экспериментов для количественной оценки такой силы. К ним относятся:

излучение заряженных частиц. Если частица электрически заряжена, действие связи с шумом коллапса вызовет излучение. Этот результат резко контрастирует с предсказаниями квантовой механики, согласно которой от свободной частицы не ожидается излучения. Прогнозируемая скорость излучения, вызванного CSL, на частоте $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ для заряженной частицы $Q {\ displaystyle Q}$ $Q$ определяется как:

d Γ (ω) d ω знак равно ℏ Q 2 λ 2 π 2 ϵ 0 с 3 м 0 2 р C 2 ω, {\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \! \ Gamma (\ omega)} {\ operatorname {d} \! \ omega}} = {\ frac {\ hbar Q ^ {2} \ lambda} {2 \ pi ^ {2} \ epsilon _ {0} c ^ {3} m_ {0} ^ {2} r_ {C} ^ {2} \ omega}},}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \! \ Gamma (\ omega)} {\ operatorname {d} \! \ omega}} = {\ frac {\ hbar Q ^ {2} \ lambda} {2 \ pi ^ {2} \ epsilon _ {0} c ^ {3} m_ {0} ^ {2} r_ {C} ^ {2} \ omega}},}

где

ϵ 0 {\ displaystyle \ epsilon _ {0}}

\ epsilon _ {0}

- диэлектрическая проницаемость вакуума, а

c {\ displaystyle c}

c

- скорость света. Это предсказание CSL можно проверить, проанализировав спектр рентгеновского излучения от объемной пробной массы германия.

Нагрев сыпучих материалов. Предсказание CSL - это увеличение полной энергии системы. Например, полная энергия $E {\ displaystyle E}$ $E$ свободной частицы с массой $m {\ displaystyle m}$ $m$ в трех измерениях линейно растет во времени согласно к $E (t) знак равно E (0) + 3 м λ ℏ 2 4 м 0 2 р C 2 t, {\ displaystyle E (t) = E (0) + {\ frac {3m \ lambda \ HBAR) ^ {2}} {4m_ {0} ^ {2} r_ {C} ^ {2}}} t,}$ ${\ displaystyle E (t) = E (0) + {\ frac {3m \ lambda \ hbar ^ {2}} {4m_ {0} ^ {2} r_ {C} ^ {2}} } t,}$ где $E (0) {\ displaystyle E (0)}$ $E (0)$ - начальная энергия системы. Это увеличение фактически невелико; например, температура атома водорода увеличивается на $≃ 10-14 {\ displaystyle \ simeq 10 ^ {- 14}}$ ${\ Displaystyle \ simeq 10 ^ {- 14}}$ K в год с учетом значений $λ = 10-16. {\ displaystyle \ lambda = 10 ^ {- 16}}$ ${\ di splaystyle \ lambda = 10 ^ {- 16}}$ s $- 1 {\ displaystyle ^ {- 1}}$ $^ {- 1}$ и $r C = 10–7 {\ displaystyle r_ {C} = 10 ^ {- 7}}$ ${\ displaystyle r_ {C} = 10 ^ {- 7}}$ м. Такое увеличение энергии, хотя и небольшое, можно проверить, наблюдая за холодными атомами. и объемные материалы, такие как решетки Браве, низкотемпературные эксперименты, нейтронные звезды и планеты

Диффузионные эффекты. Еще одно предсказание модели CSL - увеличение разброса положения центра масс системы. Для свободной частицы разброс позиций в одном измерении выглядит следующим образом: $⟨x ^ 2⟩ t = ⟨x ^ 2⟩ t (QM) + ℏ 2 η t 3 3 m 2, {\ displaystyle \ langle {{\ hat {x}} ^ {2}} \ rangle _ {t} = \ langle {{\ hat {x}} ^ {2}} \ rangle _ {t} ^ {(QM)} + {\ frac {\ hbar ^ {2} \ eta t ^ {3}} {3m ^ {2}}},}$ ${\ displaystyle \ langle {{\ hat {x}} ^ {2}} \ rangle _ {t} = \ langle {{\ hat {x}} ^ {2}} \ rangle _ {t} ^ {(QM)} + {\ frac {\ hbar ^ {2} \ eta t ^ { 3}} {3m ^ {2}}},}$ где $⟨x ^ 2⟩ t (QM) {\ displaystyle \ langle {{\ hat {x} } ^ {2}} \ rangle _ {t} ^ {(QM)}}$ ${\ displaystyle \ langle {{\ hat {x}} ^ {2}} \ rangle _ {t} ^ {(QM)}}$ - свободный квантово-механический разброс, а $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ - Константа диффузии CSL, определяемая как $η = λ r C 3 2 π 3/2 m 0 2 ∫ dke - k 2 r C 2 kx 2 | μ ~ (k) | 2, {\ displaystyle \ eta = {\ frac {\ lambda r_ {C} ^ {3}} {2 \ pi ^ {3/2} m_ {0} ^ {2}}} \ int \ operatorname {d} \! {\ bf {k}} \, e ^ {- {\ bf {k}} ^ {2} r_ {C} ^ {2}} k_ {x} ^ {2} | {\ tilde {\ mu }} ({\ bf {k}}) | ^ {2},}$ ${\ displaystyle \ eta = {\ frac {\ lambda r_ {C} ^ {3}} {2 \ pi ^ {3/2} m_ {0} ^ {2}}} \ int \ operatorname {d} \! {\ bf {k}} \, e ^ {- {\ bf {k}} ^ {2} r_ {C} ^ {2}} k_ {x} ^ {2} | {\ tilde {\ mu}} ({\ bf {k}}) | ^ {2},}$ где предполагается, что движение происходит вдоль оси $x {\ displaystyle x}$ $x$ ; $μ ~ (k) {\ displaystyle {\ tilde {\ mu}} ({\ bf {k}})}$ ${\ displaystyle {\ тильда {\ mu}} ({\ bf {k}})}$ - преобразование Фурье массовой плотности $μ (r) {\ displaystyle \ mu ({\ bf {r}})}$ ${\ displaystyle \ mu ({\ bf {r}})}$ . В экспериментах такое увеличение ограничивается скоростью рассеяния $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ . Предполагая, что эксперимент проводится при температуре $T {\ displaystyle T}$ $T$ , частица с массой $m {\ displaystyle m}$ $m$ , гармонически захваченная на частоте $ω 0 {\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ , в состоянии равновесия достигает разброса по положению, определяемому $⟨x ^ 2⟩ eq = k BT m ω 0 2 + ℏ 2 η 2 м 2 ω 0 2 γ, {\ Displaystyle \ langle {{\ hat {x}} ^ {2}} \ rangle _ {eq} = {\ frac {k_ {B} T} {m \ omega _ {0} ^ {2}}} + {\ frac {\ hbar ^ {2} \ eta} {2m ^ {2} \ omega _ {0} ^ {2} \ gamma}},}$ ${\ displaystyle \ langle {{\ hat {x}} ^ { 2}} \ rangle _ {eq} = {\ frac {k_ {B} T} {m \ omega _ {0} ^ {2}}} + {\ frac {\ hbar ^ {2} \ eta} {2m ^ {2} \ omega _ {0} ^ {2} \ gamma}},}$ где $k B {\ displaystyle k_ {B}}$ ${\ displaystyle k_ {B}}$ - постоянная Больцмана. Несколько экспериментов могут проверить такое распространение. Они варьируются от расширения без холодных атомов, нанокантилеверов, охлаждаемых до милликельвиновых температур, детекторов гравитационных волн, левитирующей оптомеханики, торсионного маятника.

Диссипативные и цветные расширения

Модель CSL последовательно описывает механизм коллапса как динамический процесс. Однако у него есть два слабых места.

CSL не сохраняет энергию изолированных систем. Хотя это увеличение невелико, это, по меньшей мере, неприятная особенность и для феноменологической модели. Диссипативное расширение модели CSL дает лекарство. С шумом коллапса связывается конечная температура $T C S L {\ displaystyle T_ {CSL}}$ ${\ displaystyle T_ {CSL}}$ , при которой система в конечном итоге термализуется. Таким образом, для свободной точечной частицы с массой $m {\ displaystyle m}$ $m$ в трех измерениях эволюция энергии описывается формулой $E (t) = e - β t (E (0) - E as) + E as, {\ displaystyle E (t) = e ^ {- \ beta t} (E (0) -E_ {as}) + E_ {as},}$ ${\ displaystyle E (t) = e ^ {- \ beta t} (E (0) -E_ {as}) + E_ {as},}$ где $E as = 3 2 k BTCSL {\ displaystyle E_ {as} = {\ tfrac {3} {2}} k_ {B} T_ {CSL}}$ ${\ displaystyle E_ {as} = {\ tfrac {3} {2}} k_ {B} T_ {CSL}}$ , $β = 4 χ λ / (1 + χ) 5 {\ displaystyle \ beta = 4 \ chi \ lambda / (1+ \ chi) ^ {5}}$ ${\ displaystyle \ beta = 4 \ chi \ lambda / (1+ \ chi) ^ {5}}$ и $χ = ℏ 2 / (8 m 0 k BTCSL r C 2) { \ displaystyle \ chi = \ hbar ^ {2} / (8m_ {0} k_ {B} T_ {CSL} r_ {C} ^ {2})}$ ${\ displaystyle \ chi = \ hbar ^ {2} / (8m_ {0} k_ {B} T_ {CSL} r_ {C} ^ {2})}$ . Предполагая, что шум CSL имеет космологическое происхождение (что является разумным из-за его предполагаемой универсальности), вероятное значение такой температуры будет $TCSL = 1 {\ displaystyle T_ {CSL} = 1}$ ${\ displaystyle T_ {CSL} = 1}$ K, хотя определенную ценность могут указать только эксперименты. Несколько интерферометрических и неинтерферометрических тестов ограничивают пространство параметров CSL для различных вариантов $T C S L {\ displaystyle T_ {CSL}}$ ${\ displaystyle T_ {CSL}}$ .

Спектр шума CSL белый. Если приписать CSL-шум физическое происхождение, то его спектр может быть не белым, а цветным. В частности, вместо белого шума $wt (x) {\ displaystyle w_ {t} ({\ bf {x}})}$ ${\ displaystyle w_ {t} ({\ bf {x}})}$ , корреляция которого пропорциональна дельте Дирака во времени рассматривается небелый шум, который характеризуется нетривиальной временной корреляционной функцией $f (t) {\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ . Эффект можно количественно оценить путем изменения масштаба $FCSL (k, q, t) {\ displaystyle F_ {CSL} (k, q, t)}$ ${\ displaystyle F_ {CSL} (k, q, t)}$ , которое становится $F c CSL (k, q, t) = FCSL (k, q, t) exp ⁡ [λ τ ¯ 2 (e - (q - kt / m) 2/4 r C 2 - e - q 2/4 r C 2) ], {\ displaystyle F_ {cCSL} (k, q, t) = F_ {CSL} (k, q, t) \ exp \ left [{\ frac {\ lambda {\ bar {\ tau}}}} {2 }} \ left (e ^ {- (q-kt / m) ^ {2} / 4r_ {C} ^ {2}} - e ^ {- q ^ {2} / 4r_ {C} ^ {2}} \ right) \ right],}$ ${\ displaystyle F_ {cCSL} (k, q, t) = F_ {CSL} (k, q, t) \ exp \ left [{\ frac {\ lambda {\ bar {\ tau}}} {2}} \ left (e ^ {- (q-kt / m) ^ {2} / 4r_ {C} ^ {2}} - e ^ {- q ^ {2} / 4r_ {C} ^ {2}} \ right) \ right],}$ где $τ ¯ = ∫ 0 tdsf (s) {\ displaystyle {\ bar {\ tau}} = \ int _ {0} ^ {t} \ operatorname {d } \! s \, f (s)}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ тау}} = \ int _ {0} ^ {t} \ operatorname {d} \! s \, f (s)}$ . В качестве примера можно рассмотреть экспоненциально затухающий шум, временная корреляционная функция которого может иметь вид $f (t) = 1 2 Ω C e - Ω C | т | {\ displaystyle f (t) = {\ tfrac {1} {2}} \ Omega _ {C} e ^ {- \ Omega _ {C} | t |}}$ ${\ displaystyle f (t) = {\ tfrac {1} {2}} \ Omega _ {C} e ^ {- \ Omega _ {C} | t |}}$ . Таким образом, вводится частотная граница $Ω C {\ displaystyle \ Omega _ {C}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {C}}$ , обратное значение которой описывает временную шкалу корреляций шума. Параметр $Ω C {\ displaystyle \ Omega _ {C}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {C}}$ теперь работает как третий параметр цветной модели CSL вместе с $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ лямбда$ и $р C {\ displaystyle r_ {C}}$ ${\ displaystyle r_ {C}}$ . Предполагая космологическое происхождение шума, разумное предположение: $Ом C = 10 12 {\ displaystyle \ Omega _ {C} = 10 ^ {12} \,}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {C} = 10 ^ {12} \,}$ Гц. Что касается диссипативного расширения, экспериментальные границы были получены для различных значений $Ом C {\ displaystyle \ Omega _ {C}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {C}}$ : они включают интерферометрические и неинтерферометрические тесты.

Ссылки

Внешние ссылки