Проекция Кассини

редактировать

Проекция мира Кассини

Проекция Кассини с Индикатрисы на 1000 км

проекция мира Кассини, смоделированная как сильно сплющенный эллипсоид с уплощением 1: 2 (= эксцентриситет ⁄ 2)

Проекция Кассини (также иногда известная как Кассини– Проекция Солднера или Проекция Солднера ) - это картографическая проекция, описанная Сезар-Франсуа Кассини де Тюри в 1745 году. Это поперечный аспект равнопрямоугольной проекции , в которой земной шар сначала поворачивается так, что центральный меридиан становится «экватором», а затем применяется нормальная равнопрямоугольная проекция. Рассматривая Землю как сферу, проекция имеет вид состоит из f операции:

x = arcsin ⁡ (cos ⁡ φ sin ⁡ λ) y = arctan ⁡ (tan ⁡ φ cos ⁡ λ). {\ displaystyle x = \ arcsin (\ cos \ varphi \ sin \ lambda) \ qquad y = \ arctan \ left ({\ frac {\ tan \ varphi} {\ cos \ lambda}} \ right).}

{\ displaystyle x = \ arcsin (\ cos \ varphi \ sin \ lambda) \ qquad y = \ arctan \ left ({\ frac {\ tan \ varphi} {\ cos \ lambda}} \ right).}

где λ - долгота от центрального меридиана, а φ - широта. При программировании этих уравнений используемая функция обратной тангенсации фактически является функцией atan2 с первым аргументом sin φ и вторым cos φ cos λ.

Обратная операция состоит из операций:

φ = arcsin ⁡ (sin ⁡ y cos ⁡ x) λ = atan2 ⁡ (tan ⁡ x, cos ⁡ y). {\ displaystyle \ varphi = \ arcsin (\ sin y \ cos x) \ qquad \ lambda = \ operatorname {atan2} (\ tan x, \ cos y).}

{\ displaystyle \ varphi = \ arcsin (\ sin y \ cos x) \ qquad \ lambda = \ operatorname {atan2} (\ tan x, \ соз y).}

На практике проекция всегда применялась к модели Земли в виде эллипсоида, что значительно усложняет математическую разработку, но подходит для съемки. Тем не менее, использование проекции Кассини в значительной степени было заменено поперечной проекцией Меркатора, по крайней мере, с центральными картографическими агентствами.

Содержание

1 Искажения
2 Эллиптическая форма
3 См. Также
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Искажения

Области вдоль центрального меридиана и прямые углы к нему, не искажаются. В других местах искажение происходит в основном в направлении север-юг и изменяется на квадрат расстояния от центрального меридиана. Таким образом, чем больше продольная протяженность области, тем хуже становится искажение.

Из-за этого проекция Кассини лучше всего работает на длинных узких участках и хуже всего - на широких.

Эллиптическая форма

Кассини известен как сферическая проекция, но ее можно обобщить как эллиптическую форму.

Если рассматривать Землю как эллипс, проекция состоит из следующих операций:

N = (1 - e 2 sin 2 ⁡ φ) - 1/2 {\ displaystyle N = (1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi) ^ {- 1/2}}

{\ Displaystyle N = (1-е ^ {2} \ грех ^ {2} \ varphi) ^ {- 1/2}}

T = tan 2 ⁡ φ {\ displaystyle T = \ tan ^ {2} \ varphi}

{\ displaystyle T = \ tan ^ {2 } \ varphi}

A = λ cos ⁡ φ {\ displaystyle A = \ lambda \ cos \ varphi}

{\ displaystyle A = \ lambda \ cos \ varphi}

C = e 2 1 - e 2 cos 2 ⁡ φ {\ displaystyle C = {\ frac {e ^ {2}} {1-e ^ { 2}}} \ соз ^ {2} \ varphi}

{\ displaystyle C = {\ гидроразрыв {е ^ {2}} {1-е ^ {2}}} \ cos ^ {2} \ varphi}

x = N (A - TA 3 6 - (8 - T + 8 C) TA 5 120) {\ displaystyle x = N \ left (AT {\ frac {A ^ {3}} {6}} - (8-T + 8C) T {\ frac {A ^ {5}} {120}} \ right)}

{\ displaystyle x = N \ left (AT {\ frac {A ^ {3}} {6}} - (8-T + 8C) T {\ frac {A ^ {5}} {120}} \ right)}

y = M (φ) - M (φ 0) + (N загар ⁡ φ) (A 2 2 + (5 - T + 6 C) A 4 24) {\ displaystyle y = M (\ varphi) -M (\ varphi _ {0}) + ( N \ tan \ varphi) \ left ({\ frac {A ^ {2}} {2}} + (5-T + 6C) {\ frac {A ^ {4}} {24}} \ right)}

{\ Displaystyle Y = M (\ varphi) -M (\ varphi _ {0}) + (N \ tan \ varphi) \ left ({\ frac {A ^ {2}} {2}} + (5- T + 6C) {\ гидроразрыва {A ^ {4}} {24}} \ right)}

, а M - функция меридионального расстояния.

Обратная операция состоит из операций:

φ ′ = M - 1 (M (φ 0) + y) {\ displaystyle \ varphi '= M ^ {- 1} (М (\ varphi _ {0}) + y)}

\varphi '=M^{-1}(M(\varphi _{0})+y)

Если $φ ′ = π 2 {\ displaystyle \ varphi '= {\ frac {\ pi} {2}}}$ $\varphi '={\frac {\pi }{2}}$ тогда $φ = φ ′ {\ displaystyle \ varphi = \ varphi '}$ $\varphi =\varphi '$ и $λ = 0. {\ displaystyle \ lambda = 0.}$ ${\ displaystyle \ lambda = 0.}$