Аддитивная функция

В теории чисел аддитивная функция является арифметической функцией f (n) положительного целого n такое, что всякий раз, когда a и b являются взаимно простыми, функция произведения является суммой функций:

f (ab) = f (a) + f (b).

• 1 Полностью аддитивный
• 2 Примеры
• 3 Мультипликативные функции
• 4 Сумматорные функции
• 5 См. также
• 6 Ссылки
• 7 Дополнительная литература

Аддитивная функция f (n) называется полностью аддитивной , если f (ab) = f (a) + f (b) выполняется для всех натуральных чисел a и b, даже если они не взаимно просты. Полностью аддитивный также используется в этом смысле по аналогии с полностью мультипликативными функциями. Если f - полностью аддитивная функция, то f (1) = 0.

Каждая полностью аддитивная функция аддитивна, но не наоборот.

Примеры полностью аддитивных арифметических функций:

• Ограничение логарифмической функции на N.
• кратность простого множителя p в n, то есть наибольшего показателя m, для которого p делит n.
• a0(n) - сумма простых чисел, делящих n с учетом кратности, иногда называемая sopfr (n), степенью n или целого числа логарифм n (последовательность A001414 в OEIS ). Например:

a0(4) = 2 + 2 = 4

a0(20) = a 0 (2 · 5) = 2 + 2+ 5 = 9

a0(27) = 3 + 3 + 3 = 9

a0(144) = a 0 (2 · 3) = a 0 (2) + a 0 (3) = 8 + 6 = 14

a0(2,000) = a 0 (2 · 5) = a 0 (2) + a 0 (5) = 8 + 15 = 23

a0(2,003) = 2003

a0(54,032,858,972,279) = 1240658

a0(54,032,858,972,302) = 1780417

a0(20,802,650,704,327,415) = 1240681

• Функция Ω (n), определенная как общее количество простых множителей из n, считая несколько множителей несколько раз, иногда называемую «функцией Большой Омеги» (последовательность A001222 в OEIS ). Например;

Ω (1) = 0, поскольку 1 не имеет простых множителей

Ω (4) = 2

Ω (16) = Ω (2 · 2 · 2 · 2) = 4

Ом (20) = Ом (2 · 2 · 5) = 3

Ом (27) = Ω (3 · 3 · 3) = 3

Ω (144) = Ω (2 · 3) = Ω (2) + Ω (3) = 4 + 2 = 6

Ω (2,000) = Ω (2 · 5) = Ω (2) + Ом (5) = 4 + 3 = 7

Ом (2,001) = 3

Ом (2,002) = 4

Ом (2,003) = 1

Ом (54,032,858,972,279) = 3

Ом (54,032,858,972,302) = 6

Ом (20,802,650,704,327,415) = 7

Примеры арифметических функций, которые являются аддитивными, но не полностью аддитивными:

• ω (n), определяемый как общее количество различных простых множителей числа n (последовательность A001221 в OEIS ). Например:

ω (4) = 1

ω (16) = ω (2) = 1

ω (20) = ω (2 · 5) = 2

ω (27) = ω (3) = 1

ω (144) = ω (2 · 3) = ω (2) + ω (3) = 1 + 1 = 2

ω (2,000) = ω (2 · 5) = ω (2) + ω (5) = 1 + 1 = 2

ω (2,001) = 3

ω (2,002) = 4

ω (2,003) = 1

ω (54,032,858,972,279) = 3

ω (54,032,858,972,302) = 5

ω (20,802,650,704,327,415) = 5

• a1(n) - сумма различных простых чисел, делящих n, иногда называемая sopf (n) (последовательность A008472 в OEIS ). Например:

a1(1) = 0

a1(4) = 2

a1(20) = 2 + 5 = 7

a1(27) = 3

a1(144) = a 1 (2 · 3) = a 1 (2) + a 1 (3) = 2 + 3 = 5

a1(2,000) = a 1 (2 · 5) = a 1 (2) + a 1 (5) = 2 + 5 = 7

a1(2,001) = 55

a1(2,002) = 33

a1(2,003) = 2003

a1(54,032,858,972,279) = 1238665

a1(54,032,858,972,302) = 1780410

a1(20,802,650,704,327,415) = 1238677

аддитивной функции f (n) легко создать связанную мультипликативную функцию g (n), то есть со свойством, что всякий раз, когда a и b взаимно просты, мы имеем:

g (ab) = g (a) × g (b).

Одним из таких примеров является g (n) = 2.

Для аддитивной функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, пусть его суммирующая функция определяется как $M\; f\; (x):\; =\; \sum \; n\; \le \; xf\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; \_\; \{f\}\; (x):\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; leq\; x\}\; f\; (n)\}$. Среднее значение $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$дается точно так:

$M\; f\; (x)\; =\; \sum \; p\; \alpha \; \le \; xf\; (p\; \alpha )\; (\lfloor \; xp\; \alpha \; \rfloor \; -\; \lfloor \; xp\; \alpha \; +\; 1\; \rfloor ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; \_\; \{f\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; leq\; x\}\; f\; (p\; ^\; \{\backslash \; alpha\})\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{p\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; -\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{p\; ^\; \{\backslash \; alpha\; +1\}\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; \backslash \; right).\}$

Суммирующие функции над $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$могут быть расширены как $M\; f\; (x)\; =\; x\; E\; (x)\; +\; O\; (x\; \cdot \; D\; (x))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; \_\; \{f\}\; (x)\; =\; xE\; (x)\; +\; O\; (\{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\; \backslash \; cdot\; D\; (x))\}$где

$E\; (\; x)\; =\; \sum \; p\; \alpha \; \le \; xf\; (p\; \alpha )\; p\; -\; \alpha \; (1\; -\; p\; -\; 1)\; D\; 2\; (x)\; =\; \sum \; p\; \alpha \; \le \; x\; |\; f\; (p\; \alpha )\; |\; 2\; п\; -\; \alpha .\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; E\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; leq\; x\}\; f\; (p\; ^\; \{\backslash \; alpha\})\; p\; ^\; \{-\; \backslash \; alpha\}\; (1-p\; ^\; \{-1\})\; \backslash \backslash \; D\; ^\; \{2\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; leq\; x\}\; |\; f\; (p\; ^\; \{\backslash \; alpha\})\; |\; ^\; \{2\}\; p\; ^\; \{-\; \backslash \; alpha\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Среднее значение функции $f\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{2\}\}$также выражается этими функциями как

$M\; f\; 2\; (x)\; =\; x\; E\; 2\; (x)\; +\; O\; (x\; D\; 2\; (x)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; \_\; \{f\; ^\; \{2\}\}\; (x)\; =\; xE\; ^\; \{2\}\; (x)\; +\; O\; (xD\; ^\; \{2\}\; (x)).\}$

Всегда есть абсолютная константа $C\; f>0\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{f\}>0\}$таким образом, чтобы для всех натуральных чисел $x\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; geq\; 1\}$,

$\sum \; n\; \le \; x\; |\; f\; (n)\; -\; Е\; (Икс)\; |\; 2\; \le \; С\; е\; \cdot \; Икс\; D\; 2\; (Икс).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; сумма\; \_\; \{п\; \backslash \; Leq\; х\}\; |\; е\; (п)\; -E\; (х)\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Leq\; C\_\; \{\; f\}\; \backslash \; cdot\; xD\; ^\; \{2\}\; (x).\}$

Пусть

$\nu \; (x;\; z):\; =\; 1\; x\; \#\; \{n\; \le \; x:\; f\; (n)\; -\; A\; (x)\; B\; (x)\; \le \; z\}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; nu\; (x;\; z):\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash \; \#\; \backslash \; left\; \backslash \; \{n\; \backslash \; leq\; x:\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (n)\; -A\; (x)\; \}\; \{B\; (x)\}\}\; \backslash \; leq\; z\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Предположим, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$- аддитивная функция с $-\; 1\; \le \; f\; (\; p\; \alpha )\; знак\; равно\; f\; (p)\; \le \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; -1\; \backslash \; leq\; f\; (p\; ^\; \{\backslash \; alpha\})\; =\; f\; (p)\; \backslash \; leq\; 1\}$так, чтобы $x\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}$,

$B\; (x)\; =\; \sum \; p\; \le \; xf\; 2\; (p)\; /\; p\; \to \; \infty .\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; \backslash \; leq\; x\}\; f\; ^\; \{\; 2\}\; (p)\; /\; p\; \backslash \; right\; стрелка\; \backslash \; infty.\}$

Тогда $\nu \; (x;\; z)\; \sim \; G\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; (x;\; z)\; \backslash \; sim\; G\; (z)\}$где $G\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (z)\}$- функция распределения Гаусса

$G\; (z)\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; -\; \infty \; ze\; -\; t\; 2/2\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{z\}\; e\; ^\; \{-\; t\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\; dt.\; \}$

Примеры этого результата, относящиеся к простой омега-функции и числам простых делителей сдвинутых простых чисел, включают следующие для фиксированного $z\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\; \}\}$где отношения выполняются для $x\; \gg \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; gg\; 1\}$:

$\#\; \{n\; \le \; x:\; \omega \; (n)\; -\; log\; \; log\; \; x\; \le \; z\; (log\; \; журнал\; \; Икс)\; 1/2\}\; \sim \; Икс\; G\; (Z),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; \#\; \backslash \; \{n\; \backslash \; Leq\; x:\; \backslash \; omega\; (n)\; -\; \backslash \; журнал\; \backslash \; журнал\; x\; \backslash \; Leq\; Z\; (\backslash \; журнал\; \backslash \; журнал\; x)\; ^\; \{1/2\}\; \backslash \}\; \backslash \; sim\; xG\; (z),\}$

$\#\; \{p\; \le \; x:\; \omega \; (p\; +\; 1)\; -\; log\; \; log\; \; x\; \le \; z\; (log\; \; log\; \; x)\; 1/2\}\; \sim \; \pi \; (x)\; G\; (z).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; \#\; \backslash \; \{p\; \backslash \; Leq\; x:\; \backslash \; omega\; (p\; +\; 1)\; -\; \backslash \; log\; \backslash \; log\; x\; \backslash \; Leq\; z\; (\backslash \; log\; \backslash \; log\; x)\; ^\; \{1/2\}\; \backslash \}\; \backslash \; sim\; \backslash \; pi\; (x)\; G\; (z).\}$

• Аддитивность сигмы
• Функция простого омега
• Мультипликативная функция
• Арифметическая функция