Войти
В теории игр и экономической теории ноль- игра с суммой - это математическое представление ситуации, в которой выигрыш или потеря полезности каждого участника точно уравновешиваются потерями или выигрышами полезности других участников. Если сложить общие выигрыши участников и вычесть общие убытки, они будут равны нулю. Таким образом, разрезание торта, когда выбор большего куска уменьшает количество торта, доступного для других, так же как и увеличивает количество, доступное для этого получателя, является игрой с нулевой суммой, если все участники оценивают каждую единицу торт поровну (см. предельная полезность ).
Напротив, ненулевой суммой описывается ситуация, в которой совокупные прибыли и убытки взаимодействующих сторон могут быть меньше или больше нуля. Игра с нулевой суммой также называется строго соревновательной игрой, в то время как игры с ненулевой суммой могут быть соревновательными или неконкурентными. Игры с нулевой суммой чаще всего решаются с помощью теоремы о минимаксе, которая тесно связана с двойственностью линейного программирования, или с равновесием Нэша.
Многие люди имеют когнитивная предвзятость в сторону рассмотрения ситуаций как нулевой суммы, известная как систематическая ошибка нулевой суммы.
| Вариант 1 | Вариант 2 | |
| Вариант 1 | -A, A | B, -B |
| Вариант 2 | C, -C | -D, D |
| Типовая игра с нулевой суммой | ||
Свойство нулевой суммы (если один выигрывает, другой проигрывает) означает, что любой результат ситуации с нулевой суммой является Оптимальный по Парето. Как правило, любая игра, в которой все стратегии оптимальны по Парето, называется конфликтной игрой.
Игры с нулевой суммой являются конкретным примером игр с постоянной суммой, в которых сумма каждого результата всегда равна нулю. Такие игры являются распределительными, а не интегративными; пирог не может быть увеличен путем хороших переговоров.
Ситуации, когда все участники могут выиграть или пострадать вместе, называются ненулевой суммой. Таким образом, страна с избытком бананов, торгующая с другой страной за избыток яблок, где обе выгоды от сделки, находится в ситуации ненулевой суммы. Другие игры с ненулевой суммой - это игры, в которых сумма выигрышей и проигрышей игроков иногда больше или меньше той, с которой они начали.
Идея оптимального выигрыша по Парето в игре с нулевой суммой порождает обобщенный стандарт относительной эгоистической рациональности, стандарт наказания оппонента, в котором оба игрока всегда стремятся минимизировать выигрыш оппонента за приемлемую цену. себе скорее предпочитать больше, чем меньше. Стандарт наказания оппонента может использоваться как в играх с нулевой суммой (например, военные действия, шахматы), так и в играх с ненулевой суммой (например, в играх с объединенным выбором).
Для игр с конечной нулевой суммой для двух игроков различные теоретико-игровые концепции решения из равновесия по Нэшу, минимакс и maximin дают одно и то же решение. Если игрокам разрешено использовать смешанную стратегию, в игре всегда есть равновесие.
| СинийКрасный | A | B | C |
|---|---|---|---|
| 1 | −30 30 | 10−10 | −20 20 |
| 2 | 10−10 | - 20 20 | 20-20 |
Матрица выигрыша игры является удобным представлением. Рассмотрим, например, игру с нулевой суммой для двух игроков, изображенную справа или выше.
Порядок игры следующий: первый игрок (красный) тайно выбирает одно из двух действий 1 или 2; второй игрок (синий), не зная о выборе первого игрока, тайно выбирает одно из трех действий A, B или C. Затем варианты раскрываются, и на общую сумму очков каждого игрока влияет выигрыш за этот выбор.
Пример: красный выбирает действие 2, а синий выбирает действие B. Когда выплата распределяется, красный получает 20 очков, а синий теряет 20 очков.
В этом примере игры оба игрока знают матрицу выплат и пытаются максимизировать количество своих очков. Красный мог рассуждать следующим образом: «С действием 2 я могу потерять до 20 очков и выиграть только 20, а с действием 1 я могу проиграть только 10, но могу выиграть до 30, поэтому действие 1 выглядит намного лучше». По аналогичным соображениям синий выберет действие C. Если оба игрока предпримут эти действия, красный получит 20 очков. Если Синий предвидит рассуждения Красного и выбор действия 1, Синий может выбрать действие Б, чтобы выиграть 10 очков. Если красный, в свою очередь, предвидит эту уловку и переходит к действию 2, это приносит красному 20 очков.
Эмиль Борель и Джон фон Нейман пришли к фундаментальному пониманию того, что вероятность дает выход из этой головоломки. Вместо принятия решения о том, какое действие следует предпринять, два игрока назначают вероятности своим действиям, а затем используют случайное устройство, которое в соответствии с этими вероятностями выбирает действие за них. Каждый игрок вычисляет вероятности, чтобы минимизировать максимальную ожидаемую потерю очков независимо от стратегии оппонента. Это приводит к проблеме линейного программирования с оптимальными стратегиями для каждого игрока. Этот метод минимакс может вычислять, вероятно, оптимальные стратегии для всех игр с нулевой суммой для двух игроков.
В приведенном выше примере оказывается, что красный должен выбрать действие 1 с вероятностью 4/7 и действие 2 с вероятностью 3/7, а синий должен назначить вероятности 0, 4/7 и 3 /. 7 к трем действиям A, B и C. Красный тогда будет выигрывать в среднем 20/7 очков за игру.
Равновесие Нэша для двух игроков с нулевой суммой может быть найдено путем решения задачи линейного программирования. Предположим, что игра с нулевой суммой имеет матрицу выплат M, где элемент M i, j - это выигрыш, полученный, когда минимизирующий игрок выбирает чистую стратегию i, а максимизирующий игрок выбирает чистую стратегию j (т. Е. Игрок пытается минимизировать выигрыш выбирает строку, а игрок, пытающийся максимизировать выигрыш, выбирает столбец). Предположим, что каждый элемент M положителен. В игре будет хотя бы одно равновесие по Нэшу. Равновесие по Нэшу можно найти (Рагхаван, 1994, стр. 740), решив следующую линейную программу, чтобы найти вектор u:
Первое ограничение говорит, что каждый элемент вектора u должен быть неотрицательным, а второе ограничение говорит каждый элемент вектора M u должен быть не менее 1. Для результирующего вектора u величина, обратная сумме его элементов, является значением игры. Умножение u на это значение дает вектор вероятности, дающий вероятность того, что максимизирующий игрок выберет каждую из возможных чистых стратегий.
Если игровая матрица не имеет всех положительных элементов, просто добавьте константу к каждому элементу, который достаточно велик, чтобы все они были положительными. Это увеличит ценность игры на эту константу и не повлияет на равновесные смешанные стратегии для равновесия.
Равновесная смешанная стратегия для минимизирующего игрока может быть найдена путем решения двойственной заданной линейной программы. Или его можно найти, используя описанную выше процедуру для решения модифицированной матрицы выигрыша, которая представляет собой транспонирование и отрицание M (добавляя константу, чтобы она была положительной), а затем решая полученную игру.
Если все решения линейной программы найдены, они будут составлять все равновесия Нэша для игры. И наоборот, любую линейную программу можно преобразовать в игру для двух игроков с нулевой суммой, используя замену переменных, которая переводит ее в форму приведенных выше уравнений. Таким образом, такие игры, в общем, эквивалентны линейным программам.
Если избегание игры с нулевой суммой является выбором действия с некоторой вероятностью для игроков, избегание всегда является равновесной стратегией для хотя бы один игрок в игре с нулевой суммой. Для любых игр с нулевой суммой для двух игроков, в которых ничья с нулевым результатом невозможна или недостоверна после начала игры, например, в покере, не существует другой стратегии равновесия по Нэшу, кроме избегания игры. Даже если после начала игры с нулевой суммой есть достоверная ничья с нулевым результатом, это не лучше, чем стратегия избегания. В этом смысле интересно обнаружить, что при вычислении оптимального выбора вознаграждение будет преобладать над играми с нулевой суммой для всех двух игроков в отношении того, начинать игру или нет.
.
.
Самый распространенный или простой пример из подполя социальной психологии - это концепция «социальных ловушек ». В некоторых случаях преследование индивидуальных личных интересов может повысить коллективное благополучие группы, но в других ситуациях все стороны, преследующие личные интересы, приводят к взаимно деструктивному поведению.
Роберт Райт теоретизировал в своей книге Ненулевое значение: логика человеческой судьбы, что общество становится все более ненулевым -сумма по мере того, как она становится более сложной, специализированной и взаимозависимой.
.
В 1944 году Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн доказали, что любая игра с ненулевой суммой для n игроков эквивалентна игре с нулевой суммой. игра с n + 1 игроком; (n + 1) -й игрок представляет глобальную прибыль или убыток.
Игры с нулевой суммой и особенно их решения обычно неправильно понимаются критиками теории игр, как правило, в отношении независимости и рациональности игроков, а также интерпретации функций полезности. Кроме того, слово «игра» не означает, что модель действительна только для развлекательных игр.
Политику иногда называют нулевой суммой.
В психологии, мышление с нулевой суммой относится к восприятию ситуации как игре с нулевой суммой, где выигрыш одного человека является проигрышем другого.
