Теория множеств Цермело - Френкеля

редактировать

Стандартная система аксиоматической теории множеств

В теории множеств, Теория множеств Цермело-Френкеля, названная в честь математиков Эрнста Цермело и Абрахама Френкеля, представляет собой аксиоматическую систему, которая была предложена в начале двадцатого века в чтобы указать теорию множеств, свободную от парадоксов, таких как парадокс Рассела. Сегодня теория множеств Цермело-Френкеля, с исторически спорный Аксиома выбора (AC) включена, является стандартной формой аксиоматической теории множеств и как таковой является наиболее распространенным Основы математики. Теория множеств Цермело - Френкеля с включенной аксиомой выбора обозначается аббревиатурой ZFC, где C означает «выбор», а ZF относится к аксиомам теории множеств Цермело - Френкеля с аксиомой выбор исключен.

Теория множеств Цермело - Френкеля предназначена для формализации единственного примитивного понятия, которое представляет собой хорошо обоснованное множество, так что все объекты в вселенной дискурса есть такое множество. Таким образом, аксиомы теории множеств Цермело - Френкеля принадлежит только к чистым множествам и не позволяет его моделям содержат урелей (множеств элементов, которые сами по себе не наборы). Более, надлежащие классы (коллекции математических объектов, совместно используемых их членами, где коллекции слишком велики для набора) могут обрабатываться только косвенно. В частности, теория множеств Цермело-Френкеля не допускает существования универсального множества (набора тем, содержащего все множество), ни неограниченного понимания, самым избегая парадокса Рассела. Теория множеств фон Неймана - Бернейса - Гёделя (NBG) - это обычно используемое консервативное расширение теории множеств Цермело - Френкеля, которое позволяет явно рассматривать собственные классы.

Существует множество эквивалентных формулировок аксиом теории множеств Цермело - Френкеля. Аксиом заявляет о существовании определенных наборов, определенных из других наборов. Например, аксиома пары гласит, что для любых двух наборов $a {\ displaystyle a}$ $a$ и $b {\ displaystyle b}$ $b$ есть новый набор ${a, b} {\ displaystyle \ {a, b \}}$ $\ {a, b \}$ , обеспечивается ровно $a {\ displaystyle a}$ $a$ и $б { \ displaystyle b}$ $b$ . Другие аксиомы описывают свойства принадлежности к множеству. Цель аксиом в, что каждая аксиома должна быть истинной, если ее интерпретировать как утверждение о совокупности всех множеств в вселенной фон Неймана к (известная как также известная как такжетивная иерархия). Формально ZFC - это односортированная теория в логике первого порядка. подпись имеет равенство и одно примитивное двоичное отношение, устанавливает членство, которое обычно обозначается $∈ {\ displaystyle \ in}$ $\ in$ . формула $a ∈ b {\ displaystyle a \ in b}$ ${\ displaystyle a \ in b}$ означает, что набор $a {\ displaystyle a}$ $a$ является членом из набора $b {\ displaystyle b}$ $b$ (который также читается: « $a {\ displaystyle a}$ $a$ является элементом $b {\ displaystyle b}$ $b$ "или" $a {\ displaystyle a}$ $a$ равно в $b {\ displaystyle b}$ $b$ ").

метаматематика теории множеств Цермело - Френкеля широко изучалась. логическая независимость аксиомы выбора от остальных аксиом Цермело-Френкеля (см. Аксиома выбора # Независимость ) и гипотезы континуума от ZFC. Непоречивость теории, такой как ZFC, не может быть доказана в рамках самой теории, как показывает вторая теорема Гёделя о неполноте.

Содержание

1 История
2 Аксиомы
- 2.1 1. Аксиома протяженности
- 2.2 2. Аксиома регулярности (также называемая аксиомой о снования)
- 2.3 3. Схема аксиомы спецификации (также на зываемая схемой аксиомы или ограниченного понимания)
- 2.4 4. Аксиома спаривания
- 2.5 5. Аксиома объединения
- 2.6 6. Схема замены аксиомы
- 2.7 7. Аксиома бесконечности
- 2.8 8. Аксиома множества степеней
- 2.9 9. Хорошо-теорема упорядочения
3 Мотивация через кумулятивную иерархию
4 Метаматематика
- 4.1 Виртуальные классы
- 4.2 Теория множеств Фон Неймана - Бернейса - Гёделя
- 4.3 Согласованность
- 4.4
- 4.5 Предлагаемые дополнения
5 Критика
6 См.
7 Примечания
8 Процитированные работы
9 Также Внешние ссылки

История

Современные исследования теории множеств был инициирован Георгом Кантором и Ричардом Д. эдекинд в 1870-е гг. Однако открытие парадоксов в наивной теории множеств, таких как парадокс Рассела, привело к стремлению к более строгой форме теории множеств, свободной от этих парадоксы.

В 1908 году Эрнст Цермело применил первую аксиоматическую теорию множеств, теорию множеств Цермело. Как указано в указании Абрахам Френкель в письме Цермело 1921 года, эта теория не могла доказать существование определенных фактов кардинальных чисел, существование считалось само собой разумеющимся большинством теоретиков времени, а именно: кардинальное число $ℵ ω {\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$ $\ aleph _ {{\ omega}}$ и множество ${Z 0, P (Z 0), P (P (Z 0)), P (P ( P (Z 0))),... }, {\ displaystyle \ {Z_ {0}, {\ mathcal {P}} (Z_ {0}), {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (Z_ {0})), { \ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (Z_ {0}))),... \},}$ ${\ displaystyle \ {Z_ {0}, {\ mathcal {P}} (Z_ {0}), {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} ( Z_ {0})), {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (Z_ {0}))),... \},}$ где $Z 0 {\ displaystyle Z_ {0}}$ $Z _ {{0}}$ - любое бесконечное множество, а $P {\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ - набор степеней операция. Более того, одна из аксиом Цермело использовала концепцию «определенного» свойства, операционный смысл которой не ясен. В 1922 году Френкель и Торальф Сколем друг от друга предложили операционализировать «определенное» свойство как свойство, которое может быть сформулировано как правильно сформированная формула в логике первого порядка, атомарной формулы были ограничены набором члена и идентичности. Они также независимо предложили заменить схему аксиомы спецификацию схемой аксиомы замены. Добавление этой схемы, а также аксиомы регулярности (предложенной Джоном фон Нейманом ) к теории множеств Цермело дает те же обозначенную ZF . Добавление к ZF либо аксиомы выбора (AC), либо эквивалентного ей оператора дает ZFC.

Аксиомы

Существует множество эквивалентных формулировок аксиом ZFC; обсуждение этого вопроса см. Френкель, Бар-Хиллель и Леви, 1973. Следующий конкретный набор аксиом взят из Кунен (1980). Сами по себе аксиомы выражены в символике логики первого порядка. Связанная с ним английская проза только для помощи интуиции.

Все формулировки ZFC подразумевают, что существует хотя бы один набор. Кунен включает аксиому, которая утверждает число, в дополнение к аксиомам, приведенным ниже (хотя он отмечает, что делает это только «для акцента»). Его упущение здесь может быть оправдано двояко. Во-первых, в стандартной семантике логики первого порядка, в которой обычно формируется ZFC, область дискурса быть непустой. Следовательно, это логическая теорема логики первого порядка о том, что-то существует - обычно как утверждение, что-то идентично самому себе, $∃ x (x = x) {\ displaystyle \ exists x (x = x) }$ ${\ displaystyle \ exists x (x = x)}$ . Следовательно, любая теория первого порядка утверждает, что что-то существует. Как отмечалось выше, в предполагаемой семантике ZFC есть только много, интерпретация логической теоремы в этом контексте ZFC заключается в том, что некоторый набор существует. Следовательно, нет необходимости в отдельной аксиоме. Во-вторых, однако, даже если ZFC сформулирован в так называемой свободной логике, которая существует с помощью одной лишь логики, нельзя доказать, что-то, аксиома бесконечности (ниже) утверждает, что существует бесконечное множество. Это включает в себя аксиому, утверждающую это.

1. Аксиома протяженности

Два множества равны (являются одним и тем же множеством), если они имеют одинаковые элементы.

∀ x ∀ y [∀ z (z ∈ x ⇔ z ∈ y) ⇒ x = y]. {\ displaystyle \ forall x \ forall y [\ forall z (z \ in x \ Leftrightarrow z \ in y) \ Rightarrow x = y].}

{\ displaystyle \ forall x \ forall y [\ forall z (z \ in x \ Leftrightarrow z \ in y) \ Rightarrow x = y].}

Обратное к этой аксиоме следует из свойств подстановки равенство. Если фоновая логика не включает в себя равенство « $= {\ displaystyle =}$ $=$ », $x = y {\ displaystyle x = y}$ $x знак равно y$ может быть определено как сокращение для следующей формулы: $∀ z [z ∈ x ⇔ z ∈ y] ∧ ∀ w [x ∈ w ⇔ y ∈ w]. {\ displaystyle \ forall z [z \ in x \ Leftrightarrow z \ in y] \ land \ forall w [x \ in w \ Leftrightarrow y \ in w].}$ ${\ displaystyle \ forall z [z \ in x \ Leftrightarrow z \ in y] \ land \ forall w [x \ in w \ Leftrightarrow y \ in w].}$

В этом случае аксиома протяженности может быть переформулировано как

∀ Икс ∀ Y [∀ Z (Z ∈ Икс ⇔ Z ∈ Y) ⇒ ∀ W (X ∈ W ⇔ Y ∈ W)], {\ Displaystyle \ forall x \ forall y [\ forall z (z \ in x \ Leftrightarrow z \ in y) \ Rightarrow \ forall w (x \ in w \ Leftrightarrow y \ in w)],}

{\ displaystyle \ forall x \ forall y [\ forall z (z \ in x \ Leftrightarrow z \ in y) \ Rightarrow \ forall w (x \ in w \ Leftrightarrow y \ in w)],}

который говорит, что if $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ имеют одинаковые элементы, значит, они принадлежат одному и тем же наборам.

2. Аксиома регулярности (также называемая аксиомой основания)

Каждое непустое множество $x {\ displaystyle x}$ $x$ содержит член $y {\ displaystyle y}$ $y$ такие, что $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ являются непересекаемыми собственными наборами.

∀ x [∃ a (a ∈ x) ⇒ y (y ∈ x ∧ ¬ ∃ z (z ∈ y ∧ z ∈ x))]. {\ Displaystyle \ forall x [\ существует a (a \ in x) \ Rightarrow \ существует (y \ in x \ land \ lnot \ exists z (z \ in y \ land z \ in x))].}

{\ displaystyle \ forall x [\ существует a (a \ in x) \ Rightarrow \ существует y (y \ in x \ земля \ lnot \ существует z (z \ in y \ land z \ in x))].}

или в современных обозначениях: $∀ x (x ≠ ∅ ⇒ ∃ y ∈ x (y ∩ x = ∅)). {\ displaystyle \ forall x \, (x \ neq \ varnothing \ Rightarrow \ exists y \ in x \, (y \ cap x = \ varnothing)).}$ ${\ displaystyle \ forall x \, (x \ neq \ varnothing \ Rightarrow \ существует y \ in x \, (y \ cap x = \ varnothing)).}$

Это (вместе с Аксиомой спаривания) подразумевает, например, Каждый набор имеет ординарный ранг.

3. Схема аксиомы установленного (также называемая схемой аксиомы или разделения ограниченного понимания)

Подмножества обычно конструируются с использованием нотации построителя множеств. Например, четные целые числа могут быть построены как подможество целых чисел $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , удовлетворяющих по сравнению с модулю предикату $x ≡ 0 (модуль 2) {\ displaystyle x \ Equiv 0 {\ pmod {2}}}$ $Икс \ Эквив 0 {\ pmod {2}}$ :

{x ∈ Z: x ≡ 0 (mod 2)}. {\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {Z}: x \ Equiv 0 {\ pmod {2}} \}.}

\ {x \ in \ mathbb {Z}: х \ эквив 0 {\ pmod {2}} \}.

В общем, подмножество набора $z {\ displaystyle z}$ $z$ по формуле $ϕ (x) {\ displaystyle \ phi (x)}$ $\ phi (x)$ с одной свободной $x {\ displaystyle x}$ $x$ может записывается как:

{x ∈ z: ϕ (x)}. {\ displaystyle \ {x \ in z: \ phi (x) \}.}

\ {x \ in z: \ phi (x) \}.

Схема аксиомы в спецификации утверждает, что это подмножество всегда существует (это схема аксиомы, потому что существует одна аксиома для каждого $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ ). Формально, пусть $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ будет любой формулой на языке ZFC со всеми свободными переменными среди $x, z, w 1,…, wn {\ displaystyle x, z, w_ {1}, \ ldots, w_ {n}}$ ${\ displaystyle x, z, w_ {1}, \ ldots, w_ {n}}$ ( $y {\ displaystyle y}$ $y$ не является бесплатным в $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ ). Тогда:

∀ z ∀ w 1 ∀ w 2… ∀ w n ∃ y ∀ x [x ∈ y ⇔ ((x ∈ z) ∧ ϕ)]. {\ Displaystyle \ forall z \ forall w_ {1} \ forall w_ {2} \ ldots \ forall w_ {n} \ существует y \ forall x [x \ in y \ Leftrightarrow ((x \ in z) \ land \ phi)].}

{\ displaystyle \ forall z \ forall w_ {1 } \ forall w_ {2} \ ldots \ forall w_ {n} \ exists y \ forall x [x \ in y \ Leftrightarrow ((x \ in z) \ land \ phi)].}

Обратите внимание, что схема аксиом может создавать только подмножества и не позволяет создавать сущности более общей формы:

{x: ϕ (x)}. {\ displaystyle \ {x: \ phi (x) \}.}

\ {x: \ phi (x) \}.

Это ограничение необходимо, чтобы избежать парадокса Рассела и его варианты, которые сопровождают наивную теорию множеств с неограниченным пониманием.

В некоторых других аксиоматизациях ZF эта аксиома избыточна в том смысле, что она следует из схем аксиомы и аксиомы пустого множества.

замены другой стороны, аксиома указывается для доказательства существования пустого набора, обозначенного $∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ известно $\ varnothing$ , если существует хотя бы один набор (см. Выше). Один из способов сделать это - использовать свойство $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , которого нет ни у одного набора. Например, если $w {\ displaystyle w}$ $w$ - любой существующий набор, пустой набор может быть построен как

∅ = {u ∈ w ∣ (u ∈ u) ∧ ¬ (u ∈ u)}. {\ displaystyle \ varnothing = \ {u \ in w \ mid (u \ in u) \ land \ lnot (u \ in u) \}.}

{\ displaystyle \ varnothing = \ {u \ in w \ mid (u \ in u) \ land \ lnot (u \ in u) \}.}

Таким образом, аксиома пустого множества подразумевается девятью аксиомами, представленными здесь. Аксиома расширенно подразумевает, что пустое множество уникально (не зависит от $w {\ displaystyle w}$ $w$ ). Обычно делается определение расширением, которое представляет символ « $∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ » к языку ZFC.

4. Аксиома спаривания

Если $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ являются наборами, то существует набор, содержит элементы $Икс {\ Displaystyle x}$ $x$ и $y {\ Displaystyle y}$ $y$ .

∀ x ∀ y ∃ z ((x ∈ z) ∧ (y ∈ z)). {\ displaystyle \ forall x \ forall y \ exists z ((x \ in z) \ land (y \ in z)).}

{\ displaystyle \ forall x \ forall y \ exists z ((x \ in z) \ land (y \ in z)).}

Схема аксиомы обозначена должна быть, чтобы свести это к набору именно с этими двумя элементами. Аксиома спаривания является частью Z, но избыточна в ZF, потому что это следует из схемы аксиом замены, если нам дан набор по крайней мере из двух элементов. Существование набора по крайней мере двумя элементами гарантирует либо аксиомой бесконечности, либо схемой аксиомы спецификации и аксиомой набора мощности, примененной дважды к любому набору.

5. Аксиома объединения

Существует объединение по элементам набора. Например, объединение элементов множества ${{1, 2}, {2, 3}} {\ displaystyle \ {\ {1,2 \}, \ {2,3 \} \}}$ $\ {\ {1,2 \}, \ {2,3 \} \}$ - это ${1, 2, 3}. {\ displaystyle \ {1,2,3 \}.}$ ${\ displaystyle \ { 1,2,3 \}.}$

Аксиома крепление утверждает, что для любого набора $F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ представляет собой набор $A {\ displaystyle A}$ $A$ , каждый элемент, который является собственным членом $F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ :

∀ F ∃ A ∀ Y ∀ x [(x ∈ Y ∧ Y ∈ F) ⇒ x ∈ A]. {\ displaystyle \ forall {\ mathcal {F}} \, \ exists A \, \ forall Y \, \ forall x [(x \ in Y \ land Y \ in {\ mathcal {F}}) \ Rightarrow x \ в A].}

\ forall {\ mathcal {F}} \, \ exists A \, \ forall Y \, \ forall x [(x \ in Y \ land Y \ in {\ mathcal {F}}) \ Rightarrow x \ in А].

Хотя эта формула прямо не утверждает существование $∪ F {\ displaystyle \ cup {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle \ cup {\ mathcal {F}}}$ , набор $∪ F {\ displaystyle \ чашка {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle \ cup {\ mathcal {F}}}$ может быть построен из $A {\ displaystyle A}$ $A$ в приведенном выше примере с использованием схемы аксиомы в спецификации:

∪ F : = {x ∈ A: ∃ Y (x ∈ Y ∧ Y ∈ F)}. {\ displaystyle \ cup {\ mathcal {F}}: = \ {x \ in A: \ exists Y (x \ in Y \ land Y \ in {\ mathcal {F}}) \}.}

{\ displaystyle \ cup {\ mathcal {F}}: = \ {x \ in A: \ exists Y (x \ in Y \ land Y \ in {\ mathcal {F}})) \}.}

6. Схема аксиомы замены

Схема аксиомы замены утверждает, что изображение набора при любой определяемой функции также попадет внутрь набора.

Формально, пусть $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ будет формулой на языке ZFC, свободные переменные которые находятся $x, y, A, w 1,…, wn, {\ displaystyle x, y, A, w_ {1}, \ dotsc, w_ {n},}$ ${\ displaystyle x, y, A, w_ {1}, \ dotsc, w_ {n},}$ так что, в частности, $B {\ displaystyle B}$ $B$ не является бесплатным в $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ . Тогда:

∀ A ∀ w 1 ∀ w 2… ∀ wn [∀ x (x ∈ A ⇒ ∃! Y ϕ) ⇒ ∃ B ∀ x (x ∈ A ⇒ ∃ y (y ∈ B ∧ ϕ))]. {\ displaystyle \ forall A \ forall w_ {1} \ forall w_ {2} \ ldots \ forall w_ {n} {\ bigl [} \ forall x (x \ in A \ Rightarrow \ exists! y \, \ phi) \ Rightarrow \ exists B \ \ forall x {\ bigl (} x \ in A \ Rightarrow \ exists y (y \ in B \ land \ phi) {\ bigr)} {\ bigr]}.}

{\ displaystyle \ forall A \ forall w_ {1} \ forall w_ {2} \ ldots \ forall w_ {n} {\ bigl [} \ для всех x (x \ in A \ Rightarrow \ exists! y \, \ phi) \ Rightarrow \ exists B \ \ forall x {\ bigl (} x \ in A \ Rightarrow \ exists y (y \ in B \ land \ phi) { \ bigr)} {\ bigr]}.}

Для значений $∃! {\ displaystyle \ exists!}$ $\ существует!$ , см. количественная оценка уникальности.

Другими словами, если отношение $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ представляет определяемую функцию $f {\ displaystyle f}$ $f$ , $A {\ displaystyle A }$ $A$ представляет его домен, а $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ - это набор для каждого $x ∈ A, {\ displaystyle x \ in A,}$ ${\ displaystyle x \ in A, }$ , затем диапазон из $f {\ displaystyle f}$ $f$ - это подмножество некоторого набора $B {\ Displaystyle B}$ $B$ . Указанная здесь форма, в которой $B {\ displaystyle B}$ $B$ может быть больше, чем строго необходимо, иногда называется схемой аксиомы коллекции.

7. Аксиома бесконечности

Первые несколько порядковых чисел фон Неймана
0	= {}	= ∅
1	= {0}	= {∅}
2	= {0, 1 }	= {∅, {∅}}
3	= {0, 1, 2}	= {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
4	= {0, 1, 2, 3}	= {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}

Пусть $S (w) {\ displaystyle S (w)}$ $S (ш)$ сокращает $w ∪ {w}, {\ displaystyle w \ cup \ {w \},}$ ${\ дисплей стиль w \ чашка \ {w \},}$ где $w {\ displaystyle w}$ $w$ - некоторый набор. (Мы можем видеть, что ${w} {\ displaystyle \ {w \}}$ $\ {w \}$ является допустимым набором, применяя Аксиому спаривания с $x = y = w {\ displaystyle x = y = w}$ ${\ displaystyle x = y = w}$ , так что набор $z {\ displaystyle z}$ $z$ равен ${w} {\ displaystyle \ {w \}}$ $\ {w \}$ ). Тогда существует набор $X {\ displaystyle X}$ $X$ такой, что пустой набор $∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ является членом $X {\ displaystyle X}$ $X$ и, если набор $y {\ displaystyle y}$ $y$ является членом $X, {\ displaystyle X,}$ $X,$ $S (y) {\ displaystyle S (y)}$ $S (Y)$ также является членом $X {\ displaystyle X}$ $X$ .

∃ X [∅ ∈ X ∧ ∀ y (y ∈ X ⇒ S (y) ∈ ИКС)]. {\ Displaystyle \ существует X \ left [\ varnothing \ in X \ land \ forall y (y \ in X \ Rightarrow S (y) \ in X) \ right].}

{\ displaystyle \ exists X \ left [\ varnothing \ in X \ land \ forall y (y \ in X \ Стрелка вправо S (y) \ in X) \ вправо].}

Проще говоря, существует множество $X {\ displaystyle X}$ $X$ , имеющий бесконечно много элементов. (Необходимо установить, что все эти элементы разные, потому что, если два элемента совпадают, повторяться в конечном цикле множеств. Аксиома регулярности предотвращает это.) Минимальный набор $X {\ displaystyle X}$ $X$ , удовлетворяющий аксиоме бесконечности, является порядковым номером фон Неймана $ω, {\ displaystyle \ omega,}$ $\ omega,$ , также можно рассматривать как набор натуральных чисел $Н. {\ displaystyle \ mathbb {N}.}$ $\ mathbb {N}.$

8. Аксиома набора мощности

По определению набора $z {\ displaystyle z}$ $z$ является подмножеством набора $x {\ displaystyle x}$ $x$ тогда и только тогда, когда каждый элемент $z {\ displaystyle z}$ $z$ также является элементом $x {\ displaystyle x}$ $x$ :

(z ⊆ x) ⇔ (∀ q (q ∈ z ⇒ q ∈ x)). {\ displaystyle (z \ substeq x) \ Leftrightarrow (\ forall q (q \ in z \ Rightarrow q \ in x)).}

(z \ substeq x) \ Leftrightarrow (\ forall q (д \ в г \ стрелка вправо д \ в х)).

Аксиома Power Set гласит, что для любого набора $x {\ displaystyle x }$ $x$ , существует набор $y {\ displaystyle y}$ $y$ , который содержит каждое подмножество $x {\ displaystyle x}$ $x$ :

∀ x ∃ y ∀ z [z ⊆ x ⇒ z ∈ y]. {\ displaystyle \ forall x \ exists y \ forall z [z \ substeq x \ Rightarrow z \ in y].}

\ forall x \ существует y \ forall z [z \ substeq x \ Rightarrow z \ in y].

Схема аксиомы используются для определения набора мощности $P (x) {\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}$ как подмножество такого $y {\ displaystyle y}$ $y$ , содержащего подмножества $x {\ displaystyle x}$ $x$ точно:

P (x) = {z ∈ y: z ⊆ x}. {\ displaystyle P (x) = \ {z \ in y: z \ substeq x \}.}

{\ displaystyle P (x) = \ {z \ in y: z \ substeq x \}.}

Аксиомы 1–8 определяют ZF. Часто встречаются альтернативные формы этих аксиом, некоторые из которых были в Jech (2003). Некоторые аксиоматизации ZF включают аксиому, утверждающую, что пустое множество существует. Аксиомы спаривания, объединения, замены и набора мощности часто формулируются таким образом, что элементы набора $x {\ displaystyle x}$ $x$ , существующие существуют как раз теми наборами, которые утверждают аксиома $x {\ displaystyle x}$ $x$ должен содержать.

Для преобразования ZF в ZFC добавлена следующая аксиома:

9. Теорема об упорядочивании

Для любого набора $X {\ displaystyle X}$ $X$ существует бинарное отношение $R {\ displaystyle R}$ $R$ который well-orders $X {\ displaystyle X}$ $X$ . Это означает, что $R {\ displaystyle R}$ $R$ представляет собой линейный порядок на $X {\ displaystyle X}$ $X$ такой, что каждый непустой подмножество из $X {\ displaystyle X}$ $X$ имеет элемент, который минимален при $R {\ displaystyle R}$ $R$ .

∀ X ∃ R (R хорошо порядок X). {\ displaystyle \ forall X \ exists R (R \; {\ t_dv {well-orders}} \; X).}

\ forall X \ существует R (R \; {\ t_dv {well-orders}} \; X).

Учитывая аксиомы 1– 8, существует много утверждений, доказуемо эквивалентных аксиоме 9, наиболее известной из представленной аксиома выбора (AC), которая выглядит следующим образом. Пусть $X {\ displaystyle X}$ $X$ будет набором, все члены которого непусты. Тогда функция существует $f {\ displaystyle f}$ $f$ от $X {\ displaystyle X}$ $X$ до объединения членов $X {\ displaystyle X}$ $X$ , называемая «функция выбора », такая, что для всех $Y ∈ X {\ displaystyle Y \ in X}$ ${\ displaystyle Y \ in X}$ один имеет $е (Y) ∈ Y {\ Displaystyle F (Y) \ в Y}$ ${ \ displaystyle f (Y) \ in Y}$ . Наличие возможности возможности выбора, когда $X {\ displaystyle X}$ $X$ является конечным множеством, легко доказать из аксиом 1–8, только AC имеет значение наверняка бесконечные числа. AC показывает как неконструктивный, потому что он утверждает существование набора, но ничего не говорит о том, как набор выбора должен быть «сконструирован». Многие исследования пытались охарактеризовать определимость (или отсутствие таковой) определенных наборов, которые утверждают, что AC.

Мотивация через кумулятивную иерархию

Одной из мотиваций аксиом ZFC является кумулятивная иерархия наборов, введенная Джоном фон Нейманом. С этой точки зрения, вселенная теория множеств строится поэтапно, по одной стадии для каждого порядкового номера. На этапе 0 наборов еще нет. В следующем этапе набор добавлен во вселенную, если все его элементы были добавлены на предыдущих этапах. Таким образом, пустой набор добавлен на этапе 1, а набор, установлен пустой набор, добавлен на этапе 2. Совокупность всех наборов, полученных таким образом на всех этапах, известна как V. Наборы в V могут быть организованным в иерархию путем присвоения каждому набору первого этапа, на котором набор был добавлен к V.

Доказано, что набор находится в V тогда и только тогда, когда набор чистый и солидно ; и доказать, что V удовлетворяет всем аксиомам ZFC, если классиналов имеет соответствующие свойства отражения. Например, предположим, что набор x добавлен на этапе α, что означает, что каждый элемент x был добавлен на этапе раньше, чем α. Затем каждое подмножество x добавлено на этапе α, потому что все элементы любого подмножества x также были добавлены до этапа α. Это означает, что какое-либо подмножество x может построить акси-этап разделения. Полный аргумент о том, что V удовлетворяет ZFC, см. В Shoenfield (1977).

Картина вселенной множеств, стратифицированных в кумулятивную иерархию, характер для ZFC и связанных аксиоматических теорий множеств, таких как Фон Неймана - Бернейса– Теория множеств Гёделя (часто называемая NBG) и теория множеств Морса - Келли. Кумулятивная иерархия несовместима с другими теориями множеств, такими как Новые основы.

. Можно изменить определение V так, чтобы на каждом этапе вместо добавления всех подмножеств предыдущих стадий подмножества были добавлены только в том случае, если они определены в определенном смысле. Это приводит к более «узкой» иерархии, которая дает конструируемую вселенную L, которая также удовлетворяет всем аксиомам ZFC, включая аксиому выбора. Независимо от аксиом ZFC, является ли V = L. Хотя структура L более регулярная и хорошо управляемая, чем структура V, немногие математики утверждают, что V = L следует добавить к ZFC в качестве дополнительной аксиомы конструктивности "" ".

Метаматематика

Виртуальные классы

Как отмечалось ранее, правильные классы (наборы математических объектов, определенным образом, общие для их членов, которые слишком велики для набора) могут только обрабатываться Альтернативой собственным классам при нахождении внутри ZF и ZFC является нотационная конструкция виртуального класса, представленная Куайном (1969), где вся конструкция y ∈ {x | Fx} просто определяется как Fy. Это обеспечивает простую нотацию для классов, которые могут содержать наборы, но не обязательно быть наборами, при этом не фиксируя онтологию классов (поскольку нотация может быть синтаксически преобразована в ту, которая использует только наборы). Подход Куайна основан на более раннем подходе Бернейс и Френкель (1958). Виртуальные классы также используются в Levy (2002), Takeuti Zaring (1982) и в реализации ZFC Metamath.

Теория множеств фон Неймана - Бернейса - Гёделя

Каждая из схем аксиом замены и содержит бесконечно много экземпляров. Монтегю (1961) включил результат, впервые доказанный в его докторской диссертации 1957 г. Тезис: если ZFC непротиворечив, невозможно аксиоматизировать ZFC, используя только конечное число аксиом. С другой стороны, теория множеств фон Неймана - Бернейса - Гёделя (NBG) может быть конечно аксиоматизирована. Онтология NBG включает собственные классы, а также наборы; набор - это любой класс, может быть членом другого класса. NBG и ZFC являются эквивалентными теориями множеств в том смысле, что любая теория, не упоминающая классы и доказуемая в одной теории, может быть доказана в другой.

Непротиворечивость

Вторая теорема Гёделя о неполноте говорит, что рекурсивно аксиоматизируемая система, которая может интерпретировать арифметику Робинсона, может доказать непротиворечивость, только если она свою непоследовательна. Более, арифметика Робинсона может быть интерпретирована в общей теории множеств, небольшой фрагмент ZFC. Следовательно, согласованность ZFC не может быть доказана внутри самого ZFC (если только это не противоречит действительности). Таким образом, в той степени, в которой ZFC использует обычную математику, непротиворечивость ZFC не может быть в обычной математике. Согласованность ZFC действительно следует из наличия слабо недоступного кардинала, что недоказуемо в ZFC, если ZFC согласован. Тем не менее, маловероятно, что ZFC таит в себе неожиданное противоречие; широко распространено мнение, что если бы ZFC противоречили друг другу, этот факт к настоящему времени был бы раскрыт. Это очень точно - ZFC невосприимчив к классическим парадоксов наивная теория множеств : парадокс Рассела, в Бурали-Форти парадокс и парадокс Кантора.

Abian Ламаккия (1978) изучили подтеорию ZFC, состоящую из аксиом протяженности, объединение, мощности, замены и выбора. Используя модели, они доказали непротиворечивость подтеории и доказали, что каждая из аксиом экстенсиональности, замены и мощности не зависит от четырех оставшихся аксиом этой подтеории. Если эту подтеорию дополнить аксиомой бесконечности, каждую из аксиом объединения, выбора и бесконечности не зависит от пяти оставшихся аксиом. Существуют различные необоснованные модели, удовлетворяющие каждую аксиоме ZFC, кроме аксиомы регулярности, эта аксиома не зависит от других аксиом ZFC.

Если согласовано, ZFC не может существовать доказать существование недоступных кардиналов, требует теории категорий. Огромные множества такого рода возможны, если ZF дополнить аксиомой Тарского. Предполагая, что эта аксиома превращает аксиомы бесконечности, набора мощности и выбора (7– 9выше) в теоремы.

Независимость

Многие важные операторы независимы от ZFC (см. список операторов, неразрешимых в ZFC ). Независимость обычно подтверждается форсированием, посредством чего показано, что каждая счетная транзитивная модель ZFC (иногда дополненная аксиомами большого кардинала ) может быть расширена, чтобы удовлетворить рассматриваемое заявление. Затем показано другое расширение, удовлетворяющее отрицание утверждения. Доказательство отказа путем принуждения автоматически доказывает независимость от арифметических утверждений, других конкретных кардинальных аксиом. Можно доказать, что некоторые утверждения, независимые от ZFC, выполняются в конкретных внутренних моделях, например, в конструируемой вселенной. Однако некоторые утверждения о конструктивных наборах не согласуются с предполагаемыми аксиомами о больших кардиналах.

Форсирование доказывает, что следующие принципы не зависят от ZFC:

Гипотеза континуума
Алмазный
Гипотеза Суслина
Аксиома Мартина (которая не аксиомой ZFC)
Аксиома конструктивности (V = L) (которая также не является аксиомой ZFC).

Примечания:

Непротиворечивость V = L доказывается внутренними моделями, но не принуждением: каждая модель ZF может быть урезана, чтобы стать моделью ZFC + V = L.
Алмазный принцип подразумевает гипотезу континуума и отрицание гипотезы Суслина.
Аксиома Мартина плюс отрицание континуума подразумевает гипотезу Суслина.
конструируемая вселенная удовлетворяет обобщенной гипотезе континуума, алмазному принципу, аксиоме Мартина и гипотезе Курепы.
Неудача гипотезы Курепы равнозначна существованию сильно недоступного кардинала.

. Вариант метода принуждения также может использоваться для демонстрации непротиворечивости и недоказуемости аксиомы выбора , то есть того, что аксиома выбора не зависит от ZF. Последовательность выбора можно (относительно) легко проверить, что внутренняя модель L удовлетворяет выбору. (Таким образом, каждая модель ZF содержит подмодель ZFC, так что Con (ZF) влечет Con (ZFC).) Временное принуждение выбора, мы не можем напрямую создать модель, противоречащую выбору, из модели, удовлетворяющей выбору. Однако мы можем использовать принуждение для создания модели, которая содержит подходящую подающуюмодель, такую, удовлетворяющую ZF, но не C.

Другой метод доказательства результатов независимости, не связанный с принуждением, основан на Гёделя. вторая теорема о неполноте. Этот подход использует утверждение, независимость которого исследуется, чтобы доказать существование заданной модели ZFC, и в этом случае Con (ZFC) истинно. Поскольку ZFC удовлетворяет условиям второй теоремы Гёделя, непротиворечивость ZFC недоказуема в ZFC (при условии, что ZFC на самом деле непротиворечива). Следовательно, никакое утверждение, позволяющее такое доказательство, не может быть доказано в ZFC. Этот метод может доказать, что существование больших кардиналов недоказуемо в ZFC, но не может доказать, что допущение таких кардиналов, заданное ZFC, не противоречит.

Предлагаемые дополнения

Проект по объединению теоретиков множеств, стоящих за дополнительными аксиомами, для разрешения гипотезы континуума или других метаматематических двусмысленностей иногда называют «программой Гёделя». Математики в настоящее время спорят, какие аксиомы являются наиболее правдоподобными или «самоочевидными», какие аксиомы являются наиболее полезными в различных областях и о том, в какой степени полезность должна уступать место правдоподобию; Некоторые теоретики множеств «мультивселенная » утверждают, что полезность должна быть единственным окончательным критерием, в котором обычно следует принимать аксиомы. Одна школа мысли опирается на расширение «итеративной» концепции множества для создания теоретико-множественной вселенной с интересной и сложной, но достаточно податливой структурой путем принятия аксиом принуждения; другая школа выступает за более аккуратную, менее загроможденную вселенную, возможно, сосредоточенную на «основной» внутренней модели.

Критика

Для критики теории множеств в целом см. Возражения против теории множеств

ZFC критиковали как за чрезмерную силу, так и за чрезмерную слабость, а также за неспособность захватывать такие объекты, как правильные классы и универсальный набор.

Многие математические теоремы могут быть доказаны в гораздо более слабых системах, чем ZFC, такие как арифметика Пеано и арифметика второго порядка (как исследовано программой обратной математики ). Сондерс Мак Лейн и Соломон Феферман оба подчеркнули эту точку зрения. Некоторая часть «основной математики» (математика, не связанная напрямую с аксиоматической теорией множеств) выходит за рамки арифметики Пеано и арифметики второго порядка, но, тем не менее, вся такая математика может быть выполнена в ZC (теория множеств Цермело с выбором), другая теория, более слабая, чем ZFC. Большая часть возможностей ZFC, включая аксиому регулярности и схему аксиом замены, включена в первую очередь для облегчения изучения самой теории множеств.

С другой стороны, аксиоматических теорий множеств ZFC сравнительно слаб. В отличие от New Foundations, ZFC не допускает существования универсального набора. Следовательно, совокупность множеств в ZFC не замкнута при элементарных операциях алгебры множеств. В отличие от теории множеств фон Неймана - Бернейса - Гёделя (NBG) и теории множеств Морса - Келли (MK), ZFC не допускает существования собственных классов. Еще одна сравнительная слабость ZFC состоит в том, что аксиома выбора, включенная в ZFC, слабее, чем аксиома глобальный выбор, включенная в NBG и MK.

Существует множество математических утверждений, неразрешимых в ZFC. К ним относ гипотеза континуума, проблема Уайтхеда и гипотеза нормального пространства Мура. Некоторые из этих гипотез можно доказать добавлением аксиом, таких как аксиома Мартина или аксиома большого кардинала в ZFC. Некоторые другие решаются в ZF + AD, где AD - аксиома определенности, сильное предположение, несовместимое с выбором. Одной из привлекательных сторон аксиом с большим кардиналом является то, что они позволяют установить многие результаты из ZF + AD в ZFC, к которому присоединяется некоторая аксиома с большим кардиналом (см. проективная детерминированность ). Система Мицара и Метамат приняла теорию множеств Тарского - Гротендика, расширение ZFC, так что доказательства, включающие вселенные Гротендика (встречаются в теории категорий и алгебраической геометрии) можно формализовать.

См. Также

Род аксиоматические теории множеств :

Примечания

Цитированные работы

Внешние ссылки

, Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]
Стэнфордская энциклопедия философии статьи Томаса Джеча :
- Теория множеств ;
- Аксиомы теории множеств Цермело - Френкеля.
Метаматическая версия аксиом ZFC - краткая и неизбыточная аксиоматизация. Фон логика первого порядка определен специально для облегчения машинной проверки доказательств.
- A вывод в Metamath версии схемы разделения из версии схемы замены.
«Аксиомы Цермело-Френкеля». PlanetMath.
Вайсштейн, Эрик У. «Теория множеств Цермело-Френкеля». MathWorld. Zermelo-FraenkelSetTheory.