Параметризация Юлы – Кучера

В теории управления используется параметризация Юлы – Кучера (также известная как Youla параметризация ) - это формула, которая описывает все возможные стабилизирующие регуляторы с обратной связью для данного объекта P как функцию одного параметра Q.

• 1 Подробности
  • 1.1 Стабильная установка SISO
  • 1.2 Общая установка SISO
  • 1.3 Общая установка MIMO
• 2 Ссылки

Параметризация YK является общим результатом. Это фундаментальный результат теории управления, который положил начало совершенно новой области исследований и нашел применение, среди прочего, в оптимальном и надежном управлении.

Для простоты понимания и, как предлагает Кучера, его лучше всего описать для трех все более распространенные виды растений.

Стабильный завод SISO

Пусть $P\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (s)\}$будет передаточной функцией стабильного с одним входом система с одним выходом (SISO) система. Далее, пусть $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$будет набором стабильных и правильных функций $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$. Тогда набор всех надлежащих стабилизирующих контроллеров для объекта $P\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (s)\}$может быть определен как

$\{Q\; (s)\; 1\; -\; P\; (s)\; Q\; (s),\; Q\; (s)\; \in \; \Omega \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; frac\; \{Q\; (s)\}\; \{1-P\; (s)\; Q\; (s)\}\},\; Q\; (s)\; \backslash \; in\; \backslash \; Омега\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$,

где $Q\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; (s)\}$- произвольная правильная и стабильная функция s. Можно сказать, что $Q\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; (s)\}$параметризует все стабилизирующие контроллеры для объекта $P\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (s)\}$.

Общий завод SISO

Рассмотрим обычный завод с передаточной функцией $P\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (s)\}$. Кроме того, передаточная функция может быть разложена на множители как

$P\; (s)\; =\; N\; (s)\; M\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{N\; (s)\}\; \{M\; (s)\}\}\}$, где M (s), N (s) - стабильные и собственные функции от s.

Теперь решите тождество Безу в форме

$N\; (s)\; Y\; (s)\; +\; M\; (s)\; X\; (s)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{N\; (s)\; Y\; (s)\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{M\; (s)\; X\; (s)\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{1\}\}$,

где переменные, которые необходимо найти (X (s), Y (s)), должны быть также правильный и стабильный.

После того, как были найдены правильные и стабильные X, Y, мы можем определить один стабилизирующий контроллер, который имеет форму $C\; (s)\; =\; Y\; (s)\; X\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Y\; (s)\}\; \{X\; (s)\}\}\}$. После того, как у нас будет под рукой один стабилизирующий контроллер, мы можем определить все стабилизирующие контроллеры, используя параметр Q (s), который является правильным и стабильным. Набор всех стабилизирующих контроллеров определяется как

$\{Y\; (s)\; +\; M\; (s)\; Q\; (s)\; X\; (s)\; -\; N\; (s)\; Q\; (s),\; Q\; (s)\; \in \; \Omega \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; frac\; \{Y\; (s)\; +\; M\; (s)\; Q\; (s)\}\; \{X\; (s)\; -N\; (s)\; Q\; (s)\}\},\; Q\; (s)\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\; \backslash \; right\; \backslash \; \}\}$,

Общая установка MIMO

В системе с множеством входов и множеством выходов (MIMO) рассмотрите матрицу передачи $P\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\; (s)\}\}$. Его можно разложить на множители, используя правые взаимно простые множители $P\; (s)\; =\; N\; (s)\; D\; -\; 1\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\; (s)\; =\; N\; (s)\; D\; ^\; \{-\; 1\}\; (s)\; \}\}$или левые множители $P\; (s)\; =\; D\; ~\; -\; 1\; (s)\; N\; ~\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\; (s)\; =\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; ^\; \{-1\}\; (s)\; \{\backslash \; tilde\; \{N\}\}\; (s)\}\}$. Коэффициенты должны быть надлежащими, стабильными и дважды взаимно простыми, что гарантирует, что система P (ы) является управляемой и наблюдаемой. Это может быть записано тождеством Безу в форме

$[XY\; -\; N\; ~\; D\; ~]\; [D\; -\; Y\; ~\; NX\; ~]\; =\; [I\; 0\; 0\; I]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; \backslash \; mathbf\; \{Y\}\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; tilde\; \{N\}\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{матрица\}\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; tilde\; \{Y\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; tilde\; \{X\}\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\}$.

После нахождения $X,\; Y,\; X\; ~,\; Y\; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X,\; Y,\; \{\backslash \; tilde\; \{X\}\},\; \{\backslash \; tilde\; \{Y\}\}\}\}$, которые стабильны и правильны, мы можем определить набор всех стабилизирующих контроллеров K (s) с использованием левого или правого множителя при отрицательной обратной связи.

$К\; (s)\; =\; (Икс\; -\; \Delta \; N\; ~)\; -\; 1\; (Y\; +\; \Delta \; D\; ~)\; =\; (Y\; ~\; +\; D\; \Delta )\; (X\; ~\; -\; N\; \Delta )\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{K\; (s)\}\; =\; \{\{\backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{X\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; Delta\; \{\backslash \; tilde\; \{N\}\}\}\; \backslash \; right)\}\; ^\; \{-\; 1\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{\; Y\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; Delta\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; tilde\; \{Y\}\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{D\; \backslash \; Delta\}\; \backslash \; right)\; \{\{\backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; тильда\; \{X\}\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{N\; \backslash \; Delta\}\; \backslash \; right)\}\; ^\; \{-\; 1\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$- произвольный стабильный и правильный параметр.

Пусть $P\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (s)\}$будет передаточной функцией растения, и пусть $K\; 0\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{\; 0\}\; (s)\}$быть стабилизирующим контроллером. Пусть их правые взаимно простые факторизации будут такими:

$P\; (s)\; =\; NM\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\; (s)\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$

$K\; 0\; (s)\; =\; UV\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{K\_\; \{0\}\; (s)\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{U\}\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$

затем все стабилизирующие контроллеры можно записать как

$K\; (s)\; =\; (U\; +\; MQ)\; (V\; +\; NQ)\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{K\; (s)\}\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{U\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{M\})\; \backslash \; mathbf\; \{Q\})\; (\backslash \; mathbf\; \{V\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\})\; ^\; \{-\; 1\}\}$

где Q является стабильным и правильным.

. Инженерное значение формулы YK состоит в том, что если кто-то хочет найти стабилизирующий контроллер, который удовлетворяет некоторому дополнительному критерию, можно настроить Q так, чтобы желаемый критерий соблюдался.

• D. К. Юла, Х. А. Джабри, Дж. Дж. Бонджорно: Современный дизайн оптимальных контроллеров Винера-Хопфа: часть II, IEEE Trans. Автомат. Contr., AC-21 (1976) pp319–338
• V. Кучера: Устойчивость дискретных систем линейной обратной связи. В: Материалы 6-го заседания МФБ. Всемирный конгресс, Бостон, Массачусетс, США, (1975).
• С. A. Desoer, R.-W. Лю, Дж. Мюррей, Р. Секс. Дизайн системы обратной связи: подход дробного представления к анализу и синтезу. IEEE Trans. Автомат. Contr., AC-25 (3), (1980) pp399–412
• Джон Дойл, Брюс Фрэнсис, Аллен Танненбаум. Теория управления с обратной связью. (1990). [2 ]