Омега-функция Райта

редактировать

Математическая функция

Омега-функция Райта вдоль части вещественной оси

В математике, омега-функция Райта или функция Райта, обозначенная ω, определяется в терминах функции W Ламберта как:

ω (z) = W ⌈ I m (z) - π 2 π ⌉ (e z). {\ displaystyle \ omega (z) = W _ {\ big \ lceil} {\ frac {\ mathrm {Im} (z) - \ pi} {2 \ pi}} {\ big \ rceil}} (e ^ { z}).}

\ omega (z) = W _ {{{\ big \ lceil} {\ frac {{\ mathrm {Im}} (z) - \ pi} {2 \ pi}} {\ big \ rceil}}} (e ^ {z}).

Содержание

1 Использует
2 Свойства
3 Значения
4 Графики
5 Примечания
6 Ссылки

Использует

Один из основных приложений этой функции находится в разрешении уравнения z = ln (z), поскольку единственное решение дается z = e.

y = ω (z) - единственное решение, когда $z ≠ x ± i π {\ displaystyle z \ neq x \ pm i \ pi}$ $z \ neq x \ pm i \ pi$ для x ≤ - 1 уравнения y + ln (y) = z. За исключением этих двух лучей, омега-функция Райта непрерывна, даже аналитическая.

Свойства

Омега-функция Райта удовлетворяет соотношению $W k (z) = ω (пер ⁡ (z) + 2 π ik) {\ displaystyle W_ {k} (z) = \ omega (\ ln (z) +2 \ pi ik)}$ $W_ {k} (z) = \ omega (\ ln (z) +2 \ pi ik)$ .

Он также удовлетворяет дифференциальному уравнению

d ω dz = ω 1 + ω {\ displaystyle {\ frac {d \ omega} {dz}} = {\ frac {\ omega} {1+ \ omega}}}

{ \ frac {d \ omega} {dz}} = {\ frac {\ omega} {1+ \ omega}}

везде, где ω является аналитическим ( как можно увидеть, выполнив разделение переменных и восстановив уравнение $ln ⁡ (ω) + ω = z {\ displaystyle \ ln (\ omega) + \ omega = z}$ $\ ln (\ omega) + \ omega = z$ ), и, как следствие, его интеграл может быть выражен как:

∫ wndz = {ω n + 1 - 1 n + 1 + ω nn, если n ≠ - 1, ln ⁡ (ω) - 1 ω, если n = - 1. {\ displaystyle \ int w ^ {n} \, dz = {\ begin {cases} {\ frac {\ omega ^ {n + 1} -1} {n + 1} } + {\ frac {\ omega ^ {n}} {n}} {\ t_dv {if}} n \ neq -1, \\\ ln (\ omega) - {\ frac {1} {\ omega} } {\ t_dv {if}} n = -1. \ end {cases}}}

\ int w ^ {n} \, dz = {\ begin {cases} {\ frac {\ omega ^ {{n + 1}} - 1} {n + 1}} + {\ frac {\ omega ^ {n}} {n}} { \ t_dv {if}} n \ neq -1, \\\ ln (\ omega) - {\ frac {1} {\ omega}} {\ t_dv {if}} n = -1. \ end {case} }

Его ряд Тейлора вокруг точки $a = ω a + ln ⁡ (ω a) {\ displaystyle a = \ omega _ {a} + \ ln (\ omega _ {a})}$ $a = \ omega _ {a} + \ ln (\ omega _ {a})$ принимает форму: