Ячейка Вигнера – Зейтца

редактировать
Примитивная ячейка кристаллических решеток с примененным разложением Вороного

Ячейка Вигнера – Зейтца, названная в честь Юджина Вигнера и Фреде. rick Seitz, представляет собой примитивную ячейку, которая была построена путем применения разложения Вороного к кристаллической решетке. Он используется при исследовании кристаллических материалов в физике твердого тела.

примитивная ячейка Вигнера – Зейтца для решеток с разным углом параллелограмма.

Уникальное свойство кристалла состоит в том, что его атома расположены в виде регулярного трехмерного массива, называемого решеткой. Все свойства, приписываемые кристаллическим материалам, проистекают из этой высокоупорядоченной структуры. Такая структура демонстрирует дискретную трансляционную симметрию. Чтобы смоделировать и изучить такую ​​периодическую систему, нужна математическая «ручка», чтобы описать симметрию и, следовательно, сделать выводы о свойствах материала, вытекающих из этой симметрии. Ячейка Вигнера – Зейтца является средством достижения этого.

Ячейка Вигнера – Зейтца является примером примитивной ячейки, которая представляет собой элементарную ячейку, содержащую ровно одну точку решетки. Для любой данной решетки существует бесконечное количество возможных примитивных ячеек. Однако для любой данной решетки существует только одна ячейка Вигнера – Зейтца. Это геометрическое место точек в пространстве, которые ближе к этой точке решетки, чем к любой из других точек решетки.

Ячейка Вигнера – Зейтца, как и любая примитивная ячейка, является фундаментальной областью дискретной трансляционной симметрии решетки. Примитивная ячейка обратной решетки в импульсном пространстве называется зоной Бриллюэна.

Содержание

  • 1 Обзор
    • 1.1 Предпосылки
    • 1.2 Определение
  • 2 Построение ячейки
  • 3 Составные решетки
  • 4 Симметрия
  • 5 Зона Бриллюэна
  • 6 Ссылки

Обзор

Предпосылки

Концепция разложение Вороного было исследовано Петером Густавом Леженом Дирихле, что привело к названию домена Дирихле. Дополнительные материалы были сделаны Евграфом Федоровым, (параллелоэдр Федорова). Георгий Вороной (многогранник Вороного) и Пол Ниггли (Wirkungsbereich).

Приложение к физике конденсированного состояния впервые было предложено Э. Вигнер и Ф. Зейтц в статье 1933 года, где он был использован для решения уравнения Шредингера для свободных электронов в элементарном натрии.

Есть только пять топологически различных многогранников, которые разбивают три -мерное пространство, ℝ. Они называются параллелоэдрами. Они представляют математический интерес, например, в высших измерениях. Эти пять паралеллоэдров можно использовать для классификации трехмерных решеток с использованием концепции проективной плоскости, как было предложено Джоном Хортоном Конвеем и Нилом Слоаном. Однако в то время как топологическая классификация рассматривает любое аффинное преобразование как ведущее к идентичному классу, более конкретная классификация приводит к 24 различным классам многогранников Вороного с параллельными ребрами, которые образуют мозаичное пространство. Например, прямоугольный кубоид и куб принадлежат к одному топологическому классу, но отличаются разным соотношением сторон.

Определение

Ячейка Вигнера – Зейтца вокруг точки решетки определяется как геометрическое место точек в пространстве, которые находятся ближе к этой точке решетки, чем к любой другой точки решетки.

Математически можно показать, что ячейка Вигнера – Зейтца является примитивной ячейкой. Это означает, что ячейка охватывает все прямое пространство, не оставляя зазоров или отверстий, свойство, известное как тесселяция.

Создание ячейки

Создание примитивной ячейки Вигнера – Зейтца.

Общая математическая концепция, воплощенная в ячейке Вигнера – Зейтца, чаще называется ячейкой Вороного, а разделение плоскости на эти ячейки для данного набора точечных узлов известно как Диаграмма Вороного.

Процесс построения ячейки Вигнера-Зейтца гексагональной решетки.

Ячейку можно выбрать, сначала выбрав точку решетки. После выбора точки ко всем ближайшим точкам решетки проводят линии. В средней точке каждой линии рисуется другая линия normal к каждому из первого набора линий.

В случае трехмерной решетки перпендикулярная плоскость проводится в средней точке линий между точками решетки. При использовании этого метода наименьшая площадь (или объем) заключена таким образом и называется примитивной ячейкой Вигнера – Зейтца . Вся область (или пространство) внутри решетки будет заполнено примитивной ячейкой этого типа и не будет оставлять зазоров.

Соседние точки решетки непрерывно исследуются до тех пор, пока ограниченная площадь или объем не станет правильной площадью или объемом для примитивной ячейки. В качестве альтернативы, если базисные векторы решетки сокращаются с использованием уменьшения решетки, необходимо использовать только заданное количество точек решетки. В двух измерениях должны использоваться только точки решетки, которые составляют 4 элементарные ячейки, имеющие общую вершину с началом координат. В трехмерном пространстве необходимо использовать только те точки решетки, которые составляют 8 элементарных ячеек, имеющих общую вершину с началом координат.

Ячейка Вигнера-Зейтца примитивной кубической решетки - это куб. В математике это известно как кубические соты. Ячейка Вигнера – Зейтца объемно-центрированной кубической решетки - это усеченный октаэдр. В математике это известно как усеченные битами кубические соты. Ячейка Вигнера – Зейтца гранецентрированной кубической решетки - это ромбический додекаэдр. В математике это известно как ромбические додекаэдрические соты. Ячейка Вигнера – Зейтца объемно-центрированной тетрагональной решетки, которая имеет постоянные решетки с c / а>2 {\ displaystyle c / a>{\ sqrt {2}}}{\displaystyle c/a>{\ sqrt {2}}} это удлиненный додекаэдр. Ячейка Вигнера – Зейтца примитивной решетчатой ​​шестиугольной формы. - это гексагональная призма. В математике она известна как гексагональная призматическая сотовая структура.

Составные решетки

Для, (кристаллы, которые имеют более одного вектора в их базис ) каждая отдельная точка решетки представляет несколько атомов. Мы можем разбить каждую ячейку Вигнера – Зейтца на подъячейки путем дальнейшего разложения Вороного по ближайшему атому, а не по ближайшей точке решетки. Например, алмаз кристаллическая структура содержит двухатомную основу. В алмазе, атомы углерода имеют тетраэдрическую sp-связь, но поскольку тетраэдры не образуют мозаичного пространства, разложение по Вороному кристаллической структуры алмаза фактически представляет собой усеченные триаки-тетраэдрические соты. Другой пример - применение разложения Вороного к атомам в фазах A15, которое формирует полиэдральное приближение структуры Вейра – Фелана.

Симметрия

Ячейка Вигнера – Зейтца всегда имеет ту же самую точечную симметрию , что и нижележащая решетка Браве. Например, куб, усеченный октаэдр и ромбический додекаэдр имеют точечную симметрию O h, поскольку соответствующие решетки Браве используются для генерации все они принадлежат системе кубической решетки, которая имеет точечную симметрию O h.

Зона Бриллюэна

На практике сама ячейка Вигнера – Зейтца редко используется как описание прямого пространства, где обычные элементарные ячейки обычно используются вместо. Однако такое же разложение чрезвычайно важно при применении к обратному пространству. Ячейка Вигнера – Зейтца в обратном пространстве называется зоной Бриллюэна, которая содержит информацию о том, будет ли материал проводником, полупроводником или изолятор.

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-20 15:23:59
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте