Алгебра Винера

редактировать

В математике - алгебра Винера, названная в честь Норберта Винера и обычно обозначается A (T ), представляет собой пространство абсолютно сходящегося ряда Фурье. Здесь T обозначает круговую группу.

Содержание

1 Структура банаховой алгебры
2 Свойства
3 Теорема Винера 1 / f
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки

Структура банаховой алгебры

Норма функции f ∈ A (T ) определяется как

‖ f ‖ = ∑ n = - ∞ ∞ | f ^ (n) |, {\ displaystyle \ | f \ | = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | {\ hat {f}} (n) |, \,}

\ | f \ | = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {\ infty} | {\ шляпа {f}} (n) |, \,

где

f ^ (п) знак равно 1 2 π ∫ - π π е (t) е - intdt {\ displaystyle {\ hat {f}} (n) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) e ^ {- int} \, dt}

{\ hat {f}} (n) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {{- \ pi}} ^ {\ pi} f (t) e ^ {{- int}} \, dt

- n-й коэффициент Фурье функции f. Алгебра Винера A (T ) замкнута относительно поточечного умножения функций. Действительно,

f (t) g (t) = ∑ m ∈ Z f ^ (m) eimt ⋅ ∑ n ∈ Z g ^ (n) eint = ∑ n, m ∈ Z f ^ (m) g ^ ( n) ei (m + n) t = n ∈ Z {∑ m ∈ Z f ^ (n - m) g ^ (m)} eint, f, g ∈ A (T); {\ Displaystyle {\ begin {align} е (т) г (т) = \ сумма _ {м \ в \ mathbb {Z}} {\ шляпа {f}} (м) е ^ {imt} \, \ cdot \, \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} {\ hat {g}} (n) e ^ {int} \\ = \ sum _ {n, m \ in \ mathbb {Z}} {\ hat {f}} (m) {\ hat {g}} (n) e ^ {i (m + n) t} \\ = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ left \ {\ sum _ {m \ in \ mathbb {Z}} {\ hat {f}} (nm) {\ hat {g}} (m) \ right \} e ^ {int}, \ qquad f, g \ in A (\ mathbb {T}); \ end {align}}}

{\ begin {align} f (t) g (t) = \ sum _ {{m \ in {\ mathbb {Z}}}} {\ hat {f}} (m) e ^ {{imt}} \, \ cdot \, \ sum _ {{n \ in {\ mathbb {Z}}}} {\ hat {g}} (n) e ^ {{int}} \\ = \ sum _ {{n, m \ in {\ mathbb {Z}}}} {\ hat {f}} (m) {\ hat {g}} (n) e ^ {{i (m + n) t}} \\ = \ sum _ {{n \ in {\ mathbb {Z}}}} \ left \ {\ sum _ {{ m \ in {\ mathbb {Z}}}} {\ hat {f}} (nm) {\ hat {g}} (m) \ right \} e ^ {{int}}, \ qquad f, g \ в A ({\ mathbb {T}}); \ end {align}}

поэтому

‖ fg ‖ = ∑ n ∈ Z | ∑ m ∈ Z f ^ (n - m) g ^ (m) | ≤ ∑ m | f ^ (m) | ∑ n | г ^ (п) | = ‖ Е ‖ ‖ г. {\ displaystyle \ | fg \ | = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ left | \ sum _ {m \ in \ mathbb {Z}} {\ hat {f}} (нм) {\ шляпа {g}} (m) \ right | \ leq \ sum _ {m} | {\ hat {f}} (m) | \ sum _ {n} | {\ hat {g}} (n) | = \ | f \ | \, \ | g \ |. \,}

\ | fg \ | = \ sum _ {{n \ in {\ mathbb {Z}}}} \ left | \ sum _ {{m \ in {\ mathbb {Z }}}} {\ hat {f}} (nm) {\ hat {g}} (m) \ right | \ leq \ sum _ {{m}} | {\ hat {f}} (m) | \ сумма _ {п} | {\ шляпа {g}} (n) | = \ | f \ | \, \ | g \ |. \,

Таким образом, алгебра Винера является коммутативной унитарной банаховой алгеброй. Кроме того, A (T ) изоморфна банаховой алгебре l 1(Z) с изоморфизмом, заданным преобразованием Фурье.

Свойства

Сумма абсолютно сходящегося ряда Фурье непрерывна, поэтому

A (T) ⊂ C (T) {\ displaystyle A (\ mathbb {T}) \ subset C (\ mathbb {T})}

A ({\ mathbb {T}}) \ subset C ({\ mathbb {T}})

где C (T ) - кольцо непрерывных функций на единичной окружности.

С другой стороны, интегрирование по частям вместе с неравенством Коши – Шварца и формулой Парсеваля, показывает, что

C 1 (T) ⊂ A (T). {\ displaystyle C ^ {1} (\ mathbb {T}) \ subset A (\ mathbb {T}). \,}

C ^ {1} ({\ mathbb {T }}) \ subset A ({\ mathbb {T}}). \,

В более общем смысле,

L ip α (T) ⊂ A (T) ⊂ C (T) {\ displaystyle \ mathrm {Lip} _ {\ alpha} (\ mathbb {T}) \ subset A (\ mathbb {T}) \ subset C (\ mathbb {T})}

{\ mathrm {Lip}} _ {\ alpha} ({\ mathbb {T}}) \ subset A ({\ mathbb {T}}) \ subset C ({\ mathbb {T}})

для $α>1/2 {\ displaystyle \ alpha>1/2}$ $\alpha>1/2$ (см. Кацнельсон (2004)).

Теорема Винера 1 / f

Винера 1932, 1933) доказал, что если f имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье и никогда не равен нулю, то его обратный 1 / f также имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье. С тех пор появилось много других доказательств. затем, включая элементарный, созданный Ньюманом (1975).

Гельфанд (1941, 1941b) использовал теория банаховых алгебр, которую он разработал, чтобы показать, что максимальные идеалы алгебры A (T ) имеют вид

M x = {f ∈ A (T) ∣ f (x) = 0}, x ∈ T, {\ Displaystyle M_ {x} = \ влево \ {е \ в A (\ mathbb {T}) \, \ mid \, f (x) = 0 \ right \}, \ quad x \ in \ mathbb {T } ~,}

M_ {x} = \ left \ {f \ in A ({\ mathbb {T}}) \, \ mid \, f (x) = 0 \ right \}, \ quad x \ in {\ mathbb { T}} ~,

что эквивалентно теореме Винера.

См. Также

Теорема Винера – Леви

Примечания

Ссылки

Арвесон, Уильям (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Гельфанд, И. (1941a), "Normierte Ringe", Rec. Математика. (Матем. Сборник) Н.С., 9 (51): 3–24, MR 0004726
Гельфанд, И. (1941b), «Über absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale», Рек. Математика. (Матем. Сборник) Н.С., 9 (51): 51–66, MR 0004727
Кацнельсон, Ицхак (2004), Введение в гармонический анализ (Третье изд.), Нью-Йорк: Кембриджская математическая библиотека, ISBN 978-0-521-54359-0
Ньюман, DJ (1975), «Простое доказательство 1 / f теоремы Винера», Proceedings of Американское математическое общество, 48: 264–265, doi : 10.2307 / 2040730, ISSN 0002-9939, MR 0365002
Винер, Норберт (1932), "Тауберовы теоремы", Annals of Mathematics, 33 (1): 1–100, doi : 10.2307 / 1968102
Винер, Норберт (1933), Интеграл Фурье и некоторые его приложения, Кембриджская математическая библиотека, Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9780511662492, ISBN 978-0-521-35884-2, MR 0983891