Войти
В математике, особенно в дифференциальной топологии, есть два вложения Уитни. теоремы, названные в честь Хасслера Уитни :
Общий план доказательства состоит в том, чтобы начать с погружения f: M → R с поперечные самопересечения. Они известны из более ранней работы Уитни по теореме о слабом погружении . Трансверсальность двойных точек следует из соображений общего положения. Идея в том, чтобы потом как-то убрать все самопересечения. Если M имеет границу, можно удалить самопересечения, просто изотопив M в себя (изотопия находится в области определения f) на подмногообразие M, не содержащее двойных точек. Таким образом, мы быстро приходим к случаю, когда M не имеет границы. Иногда невозможно удалить двойные точки с помощью изотопии - рассмотрим, например, погружение круга в виде восьмерки в плоскость. В этом случае необходимо ввести локальную двойную точку.
Введение в двойную точку. Если у одного есть две противоположные двойные точки, один строит замкнутый контур, соединяющий их, давая замкнутый путь в R . Поскольку R является односвязным, можно предположить, что этот путь ограничивает диск, и при условии 2m>4 можно дополнительно предположить (по слабой теореме вложения Уитни ) что диск вложен в R таким образом, что он пересекает изображение M только по его границе. Затем Уитни использует диск для создания однопараметрического семейства иммерсий, фактически проталкивая M по диску, удаляя при этом две двойные точки. В случае погружения в виде восьмерки с введенной двойной точкой движение толканием поперек довольно просто (на фото).
Отмена противоположных двойных точек. Этот процесс устранения противоположного знака двойные точки путем проталкивания многообразия вдоль диска называется Уловкой Уитни .
. Чтобы ввести локальную двойную точку, Уитни создал погружения α m: R→ R, которые являются приблизительно линейными вне единичного шара, но содержат одиночный двойная точка. Для m = 1 такое погружение определяется выражением
Обратите внимание, что если α рассматривается как отображение в R примерно так:
то двойная точка может быть преобразована в вложение:
Обратите внимание, что β (t, 0) = α (t) и для a ≠ 0 тогда как функция от t, β (t, a) является вложением.
Для более высоких измерений m есть α m, которые можно аналогичным образом разрешить в R . Для вложения в R, например, определите
Этот процесс в конечном итоге приводит к определению:
где
Ключ Свойства α m заключаются в том, что это вложение, за исключением двойной точки α m (1, 0,..., 0) = α m (-1, 0,..., 0). Кроме того, для | (t 1,..., t m) | большой, это приблизительно линейное вложение (0, t 1, 0, t 2,..., 0, t m).
Уловка Уитни использовалась Стивеном Смейлом для доказательства теоремы о h-кобордизме ; из которого следует гипотеза Пуанкаре в размерностях m ≥ 5 и классификация гладких структур на дисках (также в размерностях 5 и выше). Это составляет основу теории хирургии, которая классифицирует многообразия в размерности 5 и выше.
Для двух ориентированных подмногообразий дополнительных размерностей в односвязном многообразии размерности ≥ 5 можно применить изотопию к одному из подмногообразий так, чтобы все точки пересечения имели одинаковый знак.
Причина, по которой Хасслер Уитни доказал теорему вложения для гладких многообразий (что довольно неожиданно), было первым полным изложением многообразия. Концепция именно потому, что она объединила и объединила различные концепции многообразий в то время: больше не существовало путаницы в отношении того, были ли абстрактные многообразия, внутренне определенные с помощью карт, более или менее общими, чем многообразия, внешне определяемые как подмногообразия евклидова пространства. См. Также контекст истории многообразий и разновидностей.
Хотя каждое n-многообразие встроено в R, часто можно добиться большего. Пусть e (n) обозначает наименьшее целое число, чтобы все компактные связные n-многообразия вкладывались в R . Сильная теорема вложения Уитни утверждает, что e (n) ≤ 2n. Для n = 1, 2 мы имеем e (n) = 2n, как показывают кружок и бутылка Клейна. В более общем смысле, для n = 2 мы имеем e (n) = 2n, как показывает двумерное реальное проективное пространство. Результат Уитни можно улучшить до e (n) ≤ 2n - 1, если n не является степенью 2. Это результат Андре Хефлигер и Моррис Хирш (для n>4) и С. Т. К. Уолл (для n = 3); эти авторы использовали важные предварительные результаты и частные случаи, доказанные Хиршем, Уильямом С. Мэсси, Сергеем Новиковым и Владимиром Рохлиным. В настоящее время функция e не известна в замкнутой форме для всех целых чисел (сравните с теоремой Уитни об погружении, где известно аналогичное число).
Можно усилить результаты, наложив дополнительные ограничения на многообразие. Например, n-сфера всегда встраивается в R - что является наилучшим возможным (замкнутые n-многообразия не могут быть встроены в R ). Любая компактная ориентируемая поверхность и любая компактная поверхность с непустой границей вкладывается в R, хотя для любой замкнутой неориентируемой поверхности требуется R.
Если N - компактное ориентируемое n-мерное многообразие, то N вкладывается в R (для n не степени 2 условие ориентируемости излишне). Для n степень 2 это результат Андре Хефлигера и Морриса Хирша (для n>4) и Fuquan Fang (для n = 4); эти авторы использовали важные предварительные результаты, доказанные Жаком Боша и Хефлигером Саймоном Дональдсоном, Хиршем и Уильямом С. Мэсси. Хефлигер доказал, что если N - компактное n-мерное k-связное многообразие, то N вкладывается в R при условии 2k + 3 ≤ n.
Относительно «простой» результат - доказать, что любые два вложения 1-многообразия в R изотопны. Это доказывается с использованием общего положения, которое также позволяет показать, что любые два вложения n-многообразия в R изотопны. Этот результат является изотопической версией слабой теоремы вложения Уитни.
Ву доказал, что при n ≥ 2 любые два вложения n-многообразия в R изотопны. Этот результат является изотопической версией сильной теоремы вложения Уитни.
В качестве изотопической версии своего результата о вложении Хефлигер доказал, что если N - компактное n-мерное k-связное многообразие, то любые два вложения N в R изотопны, если 2k + 2 ≤ n. Ограничение размерности 2k + 2 ≤ n является точным: Хефлигер далее привел примеры нетривиально вложенных 3-сфер в R (и, в более общем смысле, (2d - 1) -сфер в R ). См. дальнейшие обобщения.
