Условия Уитни

Пусть X и Y - два непересекающихся локально замкнутых подмногообразия в R размерностей i и j.

• X и Y удовлетворяют условию Уитни A, если всякий раз, когда последовательность точек x 1, x 2,… в X сходится к точке y в Y, а последовательность касательных i-плоскостей T m к X в точках x m сходится к i-плоскости T, когда m стремится к бесконечности, тогда T содержит касательную j- плоскость к Y в точке y.
• X и Y удовлетворяют условию Уитни B, если для каждой последовательности x 1, x 2,… точек в X и каждая последовательность y 1, y 2,… точек в Y, обе сходящиеся к одной и той же точке y в Y, так что последовательность секущих линий L m между x m и y m сходится к прямой L, когда m стремится к бесконечности, а последовательность касательных i-плоскостей T m к X в точках x m сходится к i-плоскости T, поскольку m стремится к бесконечности, тогда L содержится в T.

Джон Мэзер сначала указал, что условие B Уитни подразумевает условие Уитни А в заметках его лекций в Гарварде 1970 года, получивших широкое распространение. Он также определил понятие стратифицированного пространства Тома – Мезера и доказал, что каждая стратификация Уитни является стратифицированным пространством Тома – Мэзера и, следовательно, является топологически стратифицированным пространством. Другой подход к этому фундаментальному результату был предложен ранее Рене Томом в 1969 году.

Дэвид Тротман показал в своем тезисе Уорвика 1977 года, что стратификация замкнутого подмножества в гладком многообразии M удовлетворяет условию Уитни A тогда и только тогда, когда подпространство пространства гладких отображений из гладкого многообразия N в M, состоящее из всех тех отображений, которые трансверсальны всем стратам стратификации, открыто (с использованием сильной топологии Уитни). Подпространство отображений, трансверсальных любому счетному семейству подмногообразий в M, всегда плотно по теореме Тома о трансверсальности. Плотность набора поперечных отображений часто интерпретируется, говоря, что трансверсальность является «общим» свойством для гладких отображений, тогда как открытость часто интерпретируется как «стабильное» свойство.

Причина того, что условия Уитни стали так широко использоваться, заключается в теореме Уитни 1965 года о том, что каждое алгебраическое многообразие или, действительно, аналитическое многообразие допускает стратификацию Уитни, т.е. допускает разбиение на гладкие подмногообразия, удовлетворяющие условиям Уитни. Более общие особые пространства могут быть заданы стратификациями Уитни, такими как полуалгебраические множества (из-за Рене Тома ) и субаналитические множества (из-за Хейсуке Хиронака ). Это привело к их использованию в технике, теории управления и робототехнике. В диссертации под руководством Веслава Павлуцкого в Ягеллонском университете в Кракове, Польша, вьетнамский математик Та Ле Лой дополнительно доказал, что каждое определимое множество в o-минимальной структуре может быть с учетом стратификации Уитни.

• Топологически стратифицированное пространство

• Мазер, Джон Заметки о топологической стабильности, Гарвард, 1970 (доступны на его веб-странице в Принстоне University ).
• Thom, René Ensembles et morphismes stratifiés, Бюллетень Американского математического общества, том 75, стр. 240–284), 1969.
• Тротман, Дэвид Стабильность трансверсальности стратификации подразумевает (а) -регулярность Уитни, Inventiones Mathematicae 50 (3), стр. 273–277, 1979.
• Тротман, Дэвид Сравнение условий регулярности стратификаций, Сингулярности, Часть 2 (Arcata, Calif., 1981), том 40 Proc. Симпозиумы. Чистая математика, стр. 575–586. Американское математическое общество, Провиденс, Р.И., 1983.
• Уитни, Хасслер Локальные свойства аналитических многообразий. Дифференциальная и комбинаторная топология (Симпозиум в честь Марстона Морса ) стр. 205–244 Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1965.
• Whitney, Hassler, Касательные к аналитическому разнообразию, Annals of Mathematics 81, no. 3 (1965), pp. 496–549.