Формулы Уиппла

редактировать

В теории специальных функций, преобразование Уиппла для функций Лежандра, названных в честь Фрэнсиса Джона Уэлша Уиппла, возникают из общего выражения, касающегося связанных функций Лежандра. Эти формулы были представлены ранее с точки зрения точки зрения, нацеленной на сферические гармоники, теперь, когда мы рассматриваем уравнения в терминах тороидальных координат, возникают совершенно новые симметрии функций Лежандра.

Для ассоциированных функций Лежандра первого и второго рода

P - μ - 1 2 - ν - 1 2 (zz 2 - 1) = (z 2 - 1) 1/4 e - i μ π Q ν μ (z) (π / 2) 1/2 Γ (ν + μ + 1) {\ displaystyle P _ {- \ mu - {\ frac {1} {2}}} ^ {- \ nu - {\ frac {1} {2}}} {\ biggl (} {\ frac {z} {\ sqrt {z ^ {2} -1}}} {\ biggr)} = {\ frac {(z ^ { 2} -1) ^ {1/4} e ^ {- i \ mu \ pi} Q _ {\ nu} ^ {\ mu} (z)} {(\ pi / 2) ^ {1/2} \ Gamma (\ nu + \ mu +1)}}}

P _ {- \ mu- \ frac12} ^ {- \ nu- \ frac12} \ biggl (\ frac {z} {\ sqrt {z ^ 2-1}} \ biggr) = \ frac { (z ^ 2-1) ^ {1/4} e ^ {- i \ mu \ pi} Q_ \ nu ^ \ mu (z)} {(\ pi / 2) ^ {1/2} \ Gamma (\ nu + \ mu + 1)}

Q - μ - 1 2 - ν - 1 2 (zz 2 - 1) = - i (π / 2) 1/2 Γ (- ν - μ) (z 2 - 1) 1/4 e - i ν π P ν μ (z). {\ displaystyle Q _ {- \ mu - {\ frac {1} {2}}} ^ {- \ nu - {\ frac {1} {2}}} {\ biggl (} {\ frac {z} {\ sqrt {z ^ {2} -1}}} {\ biggr)} = - i (\ pi / 2) ^ {1/2} \ Gamma (- \ nu - \ mu) (z ^ {2} -1) ^ {1/4} e ^ {- i \ nu \ pi} P _ {\ nu} ^ {\ mu} (z).}

Q _ {- \ mu- \ frac12} ^ {- \ nu- \ frac12} \ biggl (\ frac {z} {\ sqrt {z ^ 2-1}} \ biggr) = -i (\ pi / 2) ^ {1/2} \ Gamma (- \ nu- \ mu) (z ^ 2-1) ^ {1/4} e ^ {- i \ nu \ pi} P_ \ nu ^ \ му (г).

Эти выражения действительны для всех параметров $ν, μ, { \ displaystyle \ nu, \ mu,}$ $\ nu, \ mu,$ и $z {\ displaystyle z}$ $z$ . Сдвигая комплексную степень и порядок соответствующим образом, мы получаем формулы Уиппла для общей комплексной перестановки индексов общих ассоциированных функций Лежандра первого и второго рода. Они задаются формулой

P ν - 1 2 μ (z) = 2 Γ (μ - ν + 1 2) π 3/2 (z 2 - 1) 1/4 [π sin ⁡ μ π P μ - 1 2 ν (zz 2 - 1) + соз ⁡ π (ν + μ) е - я ν π Q μ - 1 2 ν (zz 2 - 1)] {\ displaystyle P _ {\ nu - {\ frac {1} { 2}}} ^ {\ mu} (z) = {\ frac {{\ sqrt {2}} \ Gamma (\ mu - \ nu + {\ frac {1} {2}})} {\ pi ^ { 3/2} (z ^ {2} -1) ^ {1/4}}} {\ biggl [} \ pi \ sin \ mu \ pi P _ {\ mu - {\ frac {1} {2}}} ^ {\ nu} {\ biggl (} {\ frac {z} {\ sqrt {z ^ {2} -1}}} {\ biggr)} + ​​\ cos \ pi (\ nu + \ mu) e ^ { -i \ nu \ pi} Q _ {\ mu - {\ frac {1} {2}}} ^ {\ nu} {\ biggl (} {\ frac {z} {\ sqrt {z ^ {2} -1 }}} {\ biggr)} {\ biggr]}}

P _ {\ nu- \ frac12} ^ \ mu (z) = \ frac {\ sqrt {2} \ Gamma ( \ mu- \ nu + \ frac12)} {\ pi ^ {3/2} (z ^ 2-1) ^ {1/4}} \ biggl [\ pi \ sin \ mu \ pi P _ {\ mu- \ frac12 } ^ \ nu \ biggl (\ frac {z} {\ sqrt {z ^ 2-1}} \ biggr) + \ cos \ pi (\ nu + \ mu) e ^ {- i \ nu \ pi} Q _ {\ mu- \ frac12} ^ \ nu \ biggl (\ frac {z} {\ sqrt {z ^ 2-1}} \ biggr) \ biggr]

Q ν - 1 2 μ (z) = ei μ π Γ (μ - ν + 1 2) (π / 2) 1 / 2 (z 2 - 1) 1/4 [P μ - 1 2 ν (zz 2 - 1) - 2 π e - i ν π sin ⁡ ν π Q μ - 1 2 ν (zz 2 - 1)]. {\ displaystyle Q _ {\ nu - {\ frac {1} {2}}} ^ {\ mu} (z) = {\ frac {e ^ {i \ mu \ pi} \ Gamma (\ mu - \ nu + {\ frac {1} {2}}) (\ pi / 2) ^ {1/2}} {(z ^ {2} -1) ^ {1/4}}} {\ biggl [} P _ {\ mu - {\ frac {1} {2}}} ^ {\ nu} {\ biggl (} {\ frac {z} {\ sqrt {z ^ {2} -1}}} {\ biggr)} - { \ frac {2} {\ pi}} e ^ {- i \ nu \ pi} \ sin \ nu \ pi Q _ {\ mu - {\ frac {1} {2}}} ^ {\ nu} {\ biggl (} {\ frac {z} {\ sqrt {z ^ {2} -1}}} {\ biggr)} {\ biggr]}.}

Q _ {\ nu- \ frac12} ^ \ mu (z) = \ frac {e ^ {i \ mu \ pi} \ Gamma (\ mu- \ nu + \ frac12) (\ pi / 2) ^ {1/2}} {(z ^ 2-1) ^ {1/4}} \ biggl [P _ {\ mu- \ frac12} ^ \ nu \ biggl (\ frac {z} {\ sqrt {z ^ 2-1}} \ biggr) - \ frac {2} {\ pi} e ^ {- i \ nu \ pi} \ sin \ nu \ pi Q _ {\ mu- \ frac12} ^ \ nu \ biggl (\ frac {z} {\ sqrt {z ^ 2-1}} \ biggr) \ biggr].

Обратите внимание, что эти формулы хорошо работают для всех значений степень и порядок, за исключением целочисленных значений. Однако, если мы рассмотрим эти формулы для тороидальных гармоник, то есть где степень является полуцелой, порядок является целым, а аргумент положительный и больше единицы, мы получаем

P m - 1 2 n (ch ⁡ η) Знак равно (- 1) м Γ (м - N + 1 2) 2 π зп ⁡ η Q N - 1 2 м (coth ⁡ η) {\ displaystyle P_ {m - {\ frac {1} {2}}} ^ {n} (\ cosh \ eta) = {\ frac {(-1) ^ {m}} {\ Gamma (m-n + {\ frac {1} {2}})}} {\ sqrt {\ frac { 2} {\ pi \ sinh \ eta}}} Q_ {n - {\ frac {1} {2}}} ^ {m} (\ coth \ eta)}

P_ {m- \ frac12} ^ n (\ cosh \ eta) = \ frac {(- 1) ^ m} {\ Gamma (m-n + \ frac12)} \ sqrt {\ frac {2} {\ pi \ sinh \ eta}} Q_ {n- \ frac12} ^ m (\ coth \ eta)

Q m - 1 2 N (сш ⁡ η) знак равно (- 1) м π Γ (м - N + 1 2) π 2 зп ⁡ η п п - 1 2 м (coth ⁡ η) {\ Displaystyle Q_ {м - {\ гидроразрыва {1 } {2}}} ^ {n} (\ cosh \ eta) = {\ frac {(-1) ^ {m} \ pi} {\ Gamma (m-n + {\ frac {1} {2}}) }} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2 \ sinh \ eta}}} P_ {n - {\ frac {1} {2}}} ^ {m} (\ coth \ eta)}

Q_ {m- \ frac12} ^ n (\ cosh \ eta) = \ frac {(- 1) ^ m \ pi} {\ Gamma (m-n + \ frac12)} \ sqrt {\ frac {\ pi} {2 \ sinh \ eta}} P_ {n- \ frac12} ^ m (\ coth \ eta)

Это формулы Уиппла для тороидальных гармоник. Они демонстрируют важное свойство тороидальных гармоник при изменении индекса (целые числа, связанные с порядком и степенью).

Внешние ссылки

Ссылки

Cohl, Howard S.; Дж. Э. Тохлайн; A.R.P. Рау; H.M. Шривастава (2000). «Разработки в определении гравитационного потенциала с помощью тороидальных функций». Astronomische Nachrichten. 321 (5/6): 363–372. Bibcode : 2000AN.... 321..363C. doi :10.1002/1521-3994(200012)321:5/6<363::AID-ASNA363>3.0.CO;2-X.