Войти
 | |
| Автор | Джордж Лакофф. Рафаэль Э. Нуньес |
|---|---|
| Тема | Числовое познание |
| Опубликовано | 2000 |
| Страницы | 492 |
| ISBN | 978-0-465-03771-1 |
| OCLC | 44045671 |
Откуда приходит математика: как воплощенный разум воплощает математику в жизнь (далее WMCF) - это книга Джорджа Лакоффа, когнитивного лингвиста, и Рафаэль Э. Нуньес, психолог. Опубликованный в 2000 году, WMCF стремится основать когнитивную науку о математике, теорию воплощенной математики, основанную на концептуальной метафоре.
Математика составляет ту часть человеческой концептуальной системы, которая является особенной следующим образом:
Николай Лобачевский сказал: «Не существует раздела математики, даже абстрактного, который когда-нибудь нельзя было бы применить к явлениям реального мира». Общий тип процесса концептуального смешивания, казалось бы, применим ко всей математической обработке.
Общепризнанная цель Лакоффа и Нуньеса - заложить основы для истинно научного понимания математики, основанного на процессах, общих для всего человеческого познания. Они обнаружили, что четыре различных, но связанных процесса метафорически структурируют базовую арифметику: сбор объектов, построение объекта, использование мерной ручки и перемещение по траектории.
WMCF основывается на более ранних книгах Лакоффа (1987) и Лакоффа и Джонсона (1980, 1999), в которых анализируются такие концепции метафоры и схем изображений из когнитивной науки второго поколения .. Некоторые концепции, изложенные в этих более ранних книгах, такие как интересные технические идеи у Лакоффа (1987), отсутствуют в WMCF.
Лакофф и Нуньес считают, что математика является результатом когнитивного аппарата человека и поэтому должна пониматься в когнитивных терминах. WMCF защищает (и включает некоторые примеры) когнитивный анализ идей математики, который анализирует математические идеи с точки зрения человеческого опыта, метафор, обобщений и других когнитивных механизмов, их порождающих. Стандартное математическое образование не развивает такие методы анализа идей, потому что оно не преследует соображения: A) какие структуры ума позволяют ему заниматься математикой или B) философия математики.
Лакофф и Нуньес начинают с рассмотрения психологическая литература, заключающая, что люди, по-видимому, обладают врожденной способностью, называемой субитизацией, считать, складывать и вычитать примерно до 4 или 5. Они документируют этот вывод, просматривая литературу, опубликованную за последние десятилетия, описывающих эксперименты с младенцами. Например, младенцы быстро возбуждаются или проявляют любопытство, когда сталкиваются с «невозможными» ситуациями, например, когда появляются три игрушки, когда изначально присутствовали только две.
Авторы утверждают, что математика выходит далеко за пределы этого самого элементарного уровня из-за большого количества метафорических конструкций. Например, пифагорейская позиция, что все есть число, и связанный с ней кризис уверенности, возникший с открытием иррациональности квадратного корня из двух, возникает исключительно из метафорического соотношение между длиной диагонали квадрата и возможным количеством предметов.
Большая часть WMCF посвящена важным концепциям бесконечности и предельных процессов, пытаясь объяснить, как конечные люди, живущие в конечном мире, могут в конечном итоге представить актуальную бесконечность. Таким образом, большая часть WMCF, по сути, является исследованием эпистемологических основ исчисления. Лакофф и Нуньес заключают, что, хотя потенциальная бесконечность не является метафорической, реальная бесконечность - это так. Более того, они считают все проявления актуальной бесконечности примерами того, что они называют «базовой метафорой бесконечности», представленной постоянно увеличивающейся последовательностью 1, 2, 3,...
WMCF категорически отвергает Платонистская философия математики. Они подчеркивают, что все, что мы знаем и когда-либо можем знать, - это человеческая математика, математика, проистекающая из человеческого интеллекта. Вопрос о том, существует ли «трансцендентная» математика, независимая от человеческого мышления, - это бессмысленный вопрос, как и вопрос о том, являются ли цвета трансцендентными для человеческого мышления: цвета - это всего лишь световые волны различной длины, и наша интерпретация физических стимулов делает их цветами.
WMCF (стр. 81) также критикует акцент, который математики делают на концепции замыкания. Лакофф и Нуньес утверждают, что ожидание завершения - это артефакт способности человеческого разума связывать принципиально разные концепции с помощью метафор.
WMCF занимается в основном предложением и установлением альтернативного взгляда на математику, основанного на реалиях человеческой биологии и опыта. Это не работа по технической математике или философии. Лакофф и Нуньес не первые, кто утверждает, что традиционные подходы к философии математики ошибочны. Например, они, кажется, не слишком знакомы с содержанием Дэвиса и Херша (1981), хотя в книге Херша горячо признана поддержка.
Лакофф и Нуньес цитируют Сондерса Мак Лейна (изобретателя, с Сэмюэля Эйленберга, теории категорий ) в поддержку своей позиции. Математика, форма и функции (1986), обзор математики, предназначенный для философов, предполагает, что математические концепции в конечном итоге основаны на обычной человеческой деятельности, в основном во взаимодействии с физическим миром.
Педагоги должны проявил некоторый интерес к тому, что предлагает WMCF о том, как изучается математика, и почему учащиеся находят одни элементарные концепции более трудными, чем другие.
Однако даже с образовательной точки зрения WMCF все еще проблематичен. С точки зрения теории концептуальных метафор, метафоры находятся в другой сфере, абстрактной, по сравнению с «реальным миром», конкретным. Другими словами, несмотря на то, что они утверждают, что математика - это человек, устоявшиеся математические знания - которые мы изучаем в школе - считаются и рассматриваются как абстрактные, полностью оторванные от их физического происхождения. Он не может объяснить, каким образом учащиеся могут получить доступ к таким знаниям.
WMCF также критикуют за его монистический подход. Во-первых, он игнорирует тот факт, что сенсомоторный опыт, на котором, как предполагается, основана наша языковая структура, а значит, и математика, может варьироваться в зависимости от культуры и ситуации. Во-вторых, математика, которой занимается WMCF, - это «почти полностью... стандартные высказывания в учебниках и учебных программах», что является наиболее хорошо установленной совокупностью знаний. Он игнорирует динамичный и разнообразный характер истории математики.
Логоцентричный подход WMCF - еще одна мишень для критиков. Хотя его в основном интересует связь между языком и математикой, он не учитывает, как нелингвистические факторы способствуют появлению математических идей (например, см. Radford, 2009; Rotman, 2008).
Концептуальные метафоры, описанные в WMCF, помимо базовой метафоры бесконечности, включают:
Математические рассуждения требуют переменные в некоторой вселенной дискурса, так что мы можем рассуждать об общих, а не просто о частностях. WMCF утверждает, что рассуждения с такими переменными неявно опираются на то, что они называют фундаментальной метонимией алгебры.
WMCF (стр. 151) включает следующий пример того, что авторы называют «метафорической двусмысленностью». Возьмите набор 
, а 
равно 
По (1) A - это множество {1,2}. Но (1) и (2) вместе говорят, что A также является упорядоченной парой (0,1). Оба утверждения не могут быть правильными; упорядоченная пара (0,1) и неупорядоченная пара {1,2} являются полностью разными концепциями. Лакофф и Джонсон (1999) называют эту ситуацию «метафорически неоднозначной». Этот простой пример ставит под сомнение любые платонические основы математики.
Хотя (1) и (2) выше по общему признанию каноничны, особенно в рамках консенсусной теории множеств, известной как аксиоматизация Цермело – Френкеля, WMCF не допускает что они являются лишь одним из нескольких определений, которые были предложены с момента зарождения теории множеств. Например, Frege, Principia Mathematica и New Foundations (основная часть аксиоматической теории множеств, начатая Куайном в 1937 г.) определяют кардиналы и порядковые числа как классы эквивалентности в соответствии с отношениями из равноденствия и подобие, так что этой головоломки не возникает. В куинианской теории множеств A - это просто пример числа 2. По техническим причинам определение упорядоченной пары, как в (2) выше, неудобно в куинианской теории множеств. Было предложено два решения:
«Математический роман» - это беззаботный термин WMCF для обозначения вечной философской точки зрения на математику, которую авторы описывают, а затем отвергают как интеллектуальный миф:
Это очень открытый вопрос, станет ли WMCF в конечном итоге началом новой школы в философии математики. Следовательно, главная ценность WMCF до сих пор может быть критической: это критика платонизма и романтизма в математике.
Многие работающие математики сопротивляются подходу и выводам Лакоффа и Нуньеса. Обзоры математиков WMCF в профессиональных журналах, часто с уважением относящиеся к концептуальным стратегиям и метафорам как путям к пониманию математики, опровергли некоторые философские аргументы WMCF на том основании, что математические утверждения имеют прочный характер. «объективные» значения. Например, последняя теорема Ферма означает именно то, что она означала, когда Ферма первоначально предложил ее в 1664 году. Другие рецензенты отмечали, что несколько концептуальных стратегий могут использоваться в связи с одним и тем же математически определенным термином., часто одним и тем же человеком (точка зрения, совместимая с представлением о том, что мы обычно понимаем «одну и ту же» концепцию, используя разные метафоры). Метафора и концептуальная стратегия не то же самое, что формальное определение, которое используют математики. Однако WMCF указывает, что формальные определения строятся с использованием слов и символов, которые имеют значение только с точки зрения человеческого опыта.
Критика WMCF включает юмористический:
и физически информированные:
Лакофф заработал себе репутацию b y связывание лингвистики с когнитивной наукой и анализ метафоры. Нуньес, получивший образование в Швейцарии, является продуктом школы Жана Пиаже когнитивной психологии как основы логики и математики. Нуньес много думал об основах реального анализа, реальных и комплексных чисел, а также об основной метафоре бесконечности. Однако эти темы, какими бы достойными они ни были, составляют часть надстройки математики. Когнитивная наука должна больше интересоваться основами математики. И действительно, авторы с самого начала уделяют изрядное внимание логике, булевой алгебре и аксиомам Цермело – Френкеля, даже немного задерживаясь на теория групп. Но ни один из авторов не обучен логике (нет записи в указателе для «квантификатора » или «количественной оценки»), философии теории множеств, аксиоматическому методу, метаматематика и теория моделей. WMCF не говорит достаточно о выводе систем счисления (аксиомы Пеано не упоминаются), абстрактной алгебры, эквивалентности и порядок отношений, мереология, топология и геометрия.
Лакофф и Нуньес склонны игнорировать негативные мнения математиков о WMCF, потому что их критики так считают. не ценить идеи когнитивной науки. Лакофф и Нуньес утверждают, что их аргумент можно понять, только используя открытия последних десятилетий о том, как человеческий мозг обрабатывает язык и значение. Они утверждают, что любые аргументы или критика, не основанные на этом понимании, не могут касаться содержания книги.
Было указано, что совсем не ясно, что WMCF устанавливает, что утверждение «разумная инопланетная жизнь» обладал бы математическими способностями »- это миф. Для этого потребуется показать, что интеллект и математические способности разделимы, а этого не было сделано. На Земле интеллект и математические способности, кажется, идут рука об руку во всех формах жизни, на что, в частности, указал Кит Девлин. Авторы WMCF не объяснили, как эта ситуация могла бы (или даже могла бы) измениться где-либо еще.
Лакофф и Нуньес, похоже, также не осознают, в какой степени интуиционисты и конструктивисты предвидят свою атаку на романы (платонической) математики. Брауэр, основатель интуиционистской / конструктивистской точки зрения, в своей диссертации «Об основах математики» утверждал, что математика - это умственная конструкция, свободная создание ума и полностью независимое от логики и языка. Он продолжает упрекать формалистов в построении вербальных структур, которые изучаются без интуитивной интерпретации. Символический язык не следует путать с математикой; он отражает, но не содержит математическую реальность.
WMCF (стр. 378–79) завершается некоторыми ключевыми моментами, ряд из которых приводится ниже. Математика возникает из нашего тела и мозга, нашего повседневного опыта и забот человеческих обществ и культур. Это:
Когнитивный подход к формальным системам, описанный и реализованный в WMCF, не обязательно ограничивается математикой, но также должен оказаться плодотворным в применении к формальной логике и формальной философии, такой как Теория абстрактных объектов Эдварда Залта . Лакофф и Джонсон (1999) плодотворно используют когнитивный подход для переосмысления значительной части философии разума, эпистемологии, метафизики и истории. идей.
