Обоснованное отношение

В математике бинарное отношение R называется хорошо обоснованным (или хорошо обоснованным ) в классе X, если каждые непусто su bset S ⊆ X имеет минимальный элемент по отношению к R, то есть элемент m, не связанный sRm (например, «s не меньше чем m») для любого s ∈ S. Другими словами, отношение считается обоснованным, если

$(\forall \; S\; \subseteq \; X)\; [S\; \ne \; \varnothing \; ⟹\; (\exists \; m\; \in \; S)\; (\forall \; s\; \in \; S)\; \neg \; (s\; R\; m)].\; \{\backslash \; Displaystyle\; (\backslash \; forall\; S\; \backslash \; substeq\; X)\; \backslash ;\; [S\; \backslash \; neq\; \backslash \; emptyset\; \backslash \; подразумевает\; (\backslash \; существует\; m\; \backslash \; in\; S)\; (\backslash \; forall\; s\; \backslash \; in\; S)\; \backslash \; lnot\; (sRm)].\}$

Некоторые авторы включить дополнительное условие, что R является подобным множеству, т. е. что элементы, меньшие, чем любой данный элемент, образуют набор.

Эквивалентно, если принять аксиому зависимого выбора, отношение считается обоснованным, если оно не содержит счетных бесконечных нисходящих цепочек : то есть бесконечной последовательности нет. x 0, x 1, x 2,... элементов X таких, что x n + 1 R x n для каждого натурального числа n.

В теории порядка частичный порядок называется обоснованным, если соответствующий строгий порядок - это вполне обоснованное отношение. Если заказ является общим заказом, то он называется хорошо обоснованным.

. В теории множеств набор x называется хорошо обоснованным множеством., если отношение членства в множестве основано на транзитивном замыкании x. аксиома регулярности, которая является одной из аксиом теории множеств Цермело – Френкеля, утверждает, что все множества хорошо обоснованы.

Отношение R обратное обоснованное, хорошо обоснованное вверх или нётерское на X, если обратное отношение R хорошо основан на X. В этом случае также говорят, что R удовлетворяет условию возрастающей цепочки. В контексте перезаписи систем, нётеровское отношение также называется завершающим .

Содержание

• 1 Индукция и рекурсия
• 2 Примеры
• 3 Другие свойства
• 4 Рефлексивность
• 5 Ссылки

Индукция и рекурсия

Важной причиной того, что хорошо обоснованные отношения интересны, является то, что для них можно использовать версию трансфинитной индукции : if (X, R) - хорошо обоснованное отношение, P (x) - некоторое свойство элементов X, и мы хотим показать, что

P (x) выполняется для всех элементов x из X,

достаточно показать, что :

Если x является элементом X и P (y) истинно для всех y таких, что y R x, то P (x) также должно быть истинным.

То есть

$(\forall \; x\; \in \; X)\; [(\forall \; y\; \in \; X)\; [y\; R\; x\; ⟹\; P\; (y)]\; ⟹\; P\; (x)]\; влечет\; (\forall \; x\; \in \; X)\; P\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; forall\; x\; \backslash \; in\; X)\; \backslash ;\; [(\backslash \; forall\; y\; \backslash \; in\; X)\; \backslash ;\; [yRx\; \backslash \; подразумевает\; P\; (y)]\; \backslash \; подразумевает\; P\; (x)]\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{подразумевает\}\}\; \backslash \; quad\; (\backslash \; forall\; x\; \backslash \; in\; X)\; \backslash ,\; P\; (x).\}$

Хорошо обоснованная индукция иногда называется нётеровой индукцией после Эмми Нётер.

Наравне с индукцией, хорошо обоснованные отношения также поддерживают построение объектов с помощью трансфинитной рекурсии. Пусть (X, R) будет подобным множеству хорошо обоснованным отношением, а F - функцией, которая присваивает объект F (x, g) каждой паре элемента x ∈ X и функции g на начальный сегмент {y: y R x} X. Тогда существует единственная функция G такая, что для любого x ∈ X

$G\; (x)\; =\; F\; (x,\; G\; |\; \{y:\; y\; R\; x\}).\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (x)\; =\; F\; \backslash \; left\; (x,\; G\; \backslash \; vert\; \_\; \{\backslash \; left\; \backslash \; \{y:\; \backslash ,\; yRx\; \backslash \; right\; \backslash \}\}\; \backslash \; right).\}$

То есть, если мы хотим построить функцию G на X, мы можем определить G (x), используя значения G (y) для y R x.

В качестве примера рассмотрим хорошо обоснованное отношение (N, S), где N - это набор всех натуральных чисел, и S - график функции-последователя x ↦ x + 1. Тогда индукция по S - это обычная математическая индукция, а рекурсия по S дает примитивную рекурсию. Если мы рассмотрим отношение порядка (N, <), we obtain полная индукция и рекурсия курса значений. Утверждение о том, что (N, <) is well-founded is also known as the принцип хорошего порядка.

), есть и другие интересные частные случаи хорошо обоснованной индукции. Когда хорошо обоснованное отношение представляет собой обычное упорядочение класса всех порядковых чисел, метод называется трансфинитной индукцией. Когда хорошо обоснованным набором является набор рекурсивно определенных структур данных, метод называется структурной индукцией. Когда хорошо обоснованное отношение устанавливается членством в универсальном классе, метод известен как ∈-индукция. См. Эти статьи для более подробной информации.

Примеры

Обоснованные отношения, которые не полностью упорядочены, включают:

• положительные целые числа {1, 2, 3,...}, с порядком, определенным a < b тогда и только тогда, когда a делит b и a ≠ b.
• множество всех конечных строки по фиксированному алфавиту с порядком, определенным s < t if and only if s is a proper substring of t.
• набором N× Nиз пар из натуральных чисел, упорядоченных по (n 1, n 2) < (m1, m 2) тогда и только тогда, когда n 1< m1и n 2< m2.
• набор всех регулярных выражений в фиксированном алфавите с порядком, определенным s < t if and only if s is a proper subexpression of t.
• любым классом, элементы которого являются наборами, с отношением $\in \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; in\}$("является элементом"). Это аксиома регулярности.
• узлов любого конечного направленного ациклического графа с отношением R, определенным таким образом, что a R b тогда и только тогда, когда существует ребро от a до b.

Примеры недостаточно обоснованных отношений:

• отрицательные целые числа {−1, −2, −3,…} в обычном порядке, поскольку любое неограниченное подмножество не имеет наименьшего элемента.
• Набор строк в конечном алфавите с более чем одним элементом в обычном (лексикографическом ) порядке, поскольку последовательность «B»>«AB»>«AAB»>«AAAB»>… Это бесконечная нисходящая цепочка. Это отношение не может быть обоснованным, даже если весь набор имеет минимальный элемент, а именно пустую строку.
• рациональные числа (или вещественные числа ) под стандартный порядок, поскольку, например, в наборе положительных рациональных чисел (или действительных чисел) отсутствует минимум.

Другие свойства

If (X, <) is a well-founded relation and x is an element of X, then the descending chains starting at x are all finite, but this does not mean that their lengths are necessarily bounded. Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer. Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n − 1, n − 2,..., 2, 1 has length n for any n.

лемма о коллапсе Мостовского означает, что членство в множестве является универсальным среди экстенсиональных хорошо обоснованных отношений: для любого подобного множеству хорошо обоснованного отношения R на экстенсиональном классе X существует такой класс C, что (X, R) изоморфен (C, ∈).

Рефлексивность

Отношение R называется рефлексивным, если aRa выполняется для любого a в области определения отношения. Каждое рефлексивное отношение на непустая область имеет бесконечные нисходящие цепочки, потому что любая постоянная последовательность - это нисходящая цепочка. Например, в натуральных числах с их обычным порядком ≤ $1\; \ge \; 1\; \ge \; 1\; \ge \; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; geq\; 1\; \backslash \; geq\; 1\; \backslash \; geq\; \backslash \; cdots.\}$Чтобы избежать эти тривиальные убывающие последовательности, при работе с частичным порядком ≤, обычно применяют определение обоснованности (возможно, неявно) к альтернативному отношению < defined such that a < b if and only if a ≤ b and a ≠ b. More generally, when working with a предварительный порядок ≤, обычно используется отношение < defined such that a < b if and only if a ≤ b and b ≰ a. In the context of the natural numbers, this means that the relation <, which is well-founded, is used instead of the relation ≤, which is not. In some texts, the definition of a well-founded relation is changed from the definition above to include these conventions.

Ссылки

• Джаст, Винфрид и Виз, Мартин (1998) Открытие современной теории множеств. I, Американское математическое общество ISBN 0-8218-0266-6.
• Карел Хрбачек и Томас Йех (1999) Введение в теорию множеств, 3-е издание, «Обоснованные отношения», страницы 251–5, Марсель Деккер ISBN 0-8247-7915-0