Подготовительная теорема Вейерштрасса

редактировать

Теорема об аналитических функциях нескольких комплексных переменных

В математике Подготовительная теорема Вейерштрасса - это инструмент для работы с аналитическими функциями от нескольких комплексных переменных в заданной точке P. В нем говорится, что такая функция, вверх к умножению на функцию, отличную от нуля в точке P, многочлен от одной фиксированной переменной z, которая является monic, и коэффициенты членов более низкой степени являются аналитическими функциями по остальным переменным и нулем в P.

Существует также ряд вариантов теоремы, расширяющих идею факторизации в некотором кольце R как u · w, где u - единица, а w - какой-то выделенный полином Вейерштрасса . Карл Сигель оспорил приписывание теоремы Вейерштрассу, заявив, что это произошло под нынешним названием в некоторых Traités d'analyse конца девятнадцатого века без всяких оснований.

Содержание

1 Комплексные аналитические функции
- 1.1 Теорема о делении
- 1.2 Приложения
2 Гладкие функции
3 Формальные степенные ряды в полных локальных кольцах
4 Алгебры Тейта
5 Ссылки

Комплексные аналитические функции

Для одной переменной локальная форма аналитической функции f (z) около 0 - это zh (z), где h (0) не равно 0, а k - порядок нуль функции f в 0. Это результат, который обобщает подготовительная теорема. Мы выбираем одну переменную z, которую мы можем считать первой, и записываем наши комплексные переменные как (z, z 2,..., z n). Многочлен Вейерштрасса W (z) равен

z + g k − 1 z +... + g 0

, где g i(z2,..., z n) является аналитическим и g i (0,..., 0) = 0.

Тогда теорема утверждает, что для аналитических функций f, если

f (0,..., 0) = 0,

f (z, z 2,..., z n)

как степенной ряд имеет только некоторый член с участием z, мы можем написать (локально около (0,..., 0))

f (z, z 2,..., z n) = W (z) h (z, z 2,..., z n)

с аналитическим h и h (0,..., 0) не 0, и W многочлен Вейерштрасса.

Непосредственным следствием этого является то, что набор нулей f, близких к (0,..., 0), может быть найден путем фиксации любых малых значений z 2,..., z n с последующим решением уравнения W (z) = 0. Соответствующие значения z образуют ряд непрерывно изменяющихся ветвей, количество которых равно степени W в z. В частности, f не может иметь изолированный ноль.

Теорема о делении

Связанный результат - теорема Вейерштрасса о делении, в которой говорится, что если f an dg - аналитические функции, а g - многочлен Вейерштрасса степени N, то существует единственная пара h и j такая, что f = gh + j, где j - многочлен степени меньше N. Фактически, многие авторы доказывают, что Подготовка Вейерштрасса как следствие теоремы о делении. Также возможно доказать теорему о делении из подготовительной теоремы, так что эти две теоремы фактически эквивалентны.

Приложения

Подготовительную теорему Вейерштрасса можно использовать, чтобы показать, что кольцо ростков Аналитические функции от n переменных - это нётерово кольцо, которое также называют теоремой Рюккерта о базисе.

Гладкие функции

Есть более глубокая подготовительная теорема для гладких функций, из-за Бернарда Малгранжа, назвал теорему о приготовлении Мальгранжа. С ней также связана теорема о делении, названная в честь Джона Мезера.

Формальный степенной ряд в полных локальных кольцах

Аналогичный результат, также называемый подготовительной теоремой Вейерштрасса, для кольца формальный степенной ряд над полными локальными кольцами A: для любого степенного ряда $f = ∑ n = 0 ∞ antn ∈ A [[t]] {\ displaystyle f = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} t ^ {n} \ in A [[t]]}$ ${\ displaystyle f = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} t ^ {n} \ in A [[t]]}$ так, что не все $an {\ displaystyle a_ {n} }$ $a_ {n}$ находятся в максимальном идеале $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ $\ mathfrak m$ из A, существует уникальная единица u в $A [[t]] {\ displaystyle A [[t]]}$ ${\ displaystyle A [[t]]}$ и многочлен F вида $F = ts + bs - 1 ts - 1 + ⋯ + b 0 {\ displaystyle F = t ^ {s} + b_ {s-1} t ^ {s-1} + \ dots + b_ {0}}$ ${\ displaystyle F = t ^ {s} + b_ {s-1} t ^ {s-1} + \ dots + b_ {0}}$ с $bi ∈ m {\ displaystyle b_ {i} \ in {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle b_ {i } \ in {\ mathfrak {m}}}$ (так называемый выделенный многочлен) такой, что

f = u F. {\ displaystyle f = uF.}

{\ displaystyle f = uF.}

Поскольку $A [[t]] {\ displaystyle A [[t]]}$ ${\ displaystyle A [[t]]}$ снова является полным локальным кольцом, результат можно повторить и поэтому дает аналогичные результаты факторизации для формальных степенных рядов от нескольких переменных.

Например, это относится к кольцу целых чисел в p-адическом поле. В этом случае теорема утверждает, что степенной ряд f (z) всегда можно однозначно разложить на множители как π · u (z) · p (z), где u (z) - единица в кольце степенных рядов, p (z) - это выделенный многочлен (monic, с коэффициентами при невыводящих членах, каждый в максимальном идеале), а π - фиксированный униформизатор.

Применение подготовки и деления Вейерштрасса теорема для кольца $Z p [[t]] {\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {p} [[t]]}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {p} [[t]]}$ (также называемая алгеброй Ивасавы ) встречается в теории Ивасавы при описании конечно порожденных модулей над этим кольцом.

алгебры Тейта

Существует также подготовительная теорема Вейертрасса для алгебр Тейта

T n (k) = {∑ ν 1,…, ν n ≥ 0 a ν 1,…, ν n X 1 ν 1 ⋯ X n ν n, | a ν 1,…, ν n | → 0 для ν 1 + ⋯ + ν N → ∞} {\ displaystyle T_ {n} (k) = \ left \ {\ sum _ {\ nu _ {1}, \ dots, \ nu _ {n} \ geq 0} a _ {\ nu _ {1}, \ dots, \ nu _ {n}} X_ {1} ^ {\ nu _ {1}} \ cdots X_ {n} ^ {\ nu _ {n}}, | a _ {\ nu _ {1}, \ dots, \ nu _ {n}} | \ to 0 {\ text {for}} \ nu _ {1} + \ dots + \ nu _ {n} \ to \ infty \ right \}}

{\ displaystyle T_ {n} (k) = \ left \ {\ sum _ {\ nu _ {1}, \ dots, \ nu _ {n} \ geq 0} a _ {\ nu _ {1}, \ dots, \ nu _ {n}} X_ {1} ^ {\ nu _ {1}} \ cdots X_ {n} ^ {\ nu _ {n}}, | a _ {\ nu _ { 1}, \ dots, \ nu _ {n}} | \ to 0 {\ text {for}} \ nu _ {1} + \ dots + \ nu _ {n} \ to \ infty \ right \}}

над полным неархимедовым полем k. Эти алгебры являются основными строительными блоками жесткой геометрии. Одним из приложений этой формы подготовительной теоремы Вейерштрасса является тот факт, что кольца $T n (k) {\ displaystyle T_ {n} (k)}$ ${\ displaystyle T_ {n} (k)}$ являются нётерановыми.

Ссылки

Льюис, Эндрю, Заметки по глобальному анализу
Сигель, CL (1969), «Zu den Beweisen des Vorbereitungssatzes von Weierstrass», Теория и анализ чисел (статьи в честь Эдмунда Ландау), Нью-Йорк: Plenum, pp. 297–306, MR 0268402, перепечатано в Siegel, Carl Ludwig (1979), Chandrasekharan, K.; Maass., H. (eds.), Gesammelte Abhandlungen. Band IV, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 1–8, ISBN 0-387-09374-5, MR 0543842
Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Stickelberger, L. (1887), «Ueber einen Satz des Herrn Noether», Mathematische Annalen, 30 (3): 401–409, doi : 10.1007 / BF01443952
Weierstrass, K. (1895), Mathematische Werke. II. Abhandlungen 2, Berlin: Mayer Müller, pp. 135–142 перепечатано Johnson, New York, 1967.