Подписаться

Пазл с проливанием воды

Последняя правка сделана 2021-06-20 09:29:58 Править
Начальное состояние стандартной головоломки

Пазлы с проливанием воды (также называемые проблемы с кувшинами для воды, задачи декантации или головоломки с измерениями ) - это класс головоломки, включающий конечный набор кувшинов с водой известных целых чисел. вместимость (в единицах измерения жидкости, например, литров или галлонов ). Первоначально каждый кувшин содержит известный целочисленный объем жидкости, не обязательно равный его вместимости. Головоломки этого типа спрашивают, сколько этапов перелива воды из одного кувшина в другой (до тех пор, пока один кувшин не станет пустым или другой не станет полным), необходимо для достижения целевого состояния, определяемого в терминах объема жидкости, который должен присутствовать в какой-нибудь кувшин или кувшины.

Согласно личности Безу, такие головоломки имеют решение тогда и только тогда, когда желаемый объем кратен наибольшему общему делителю всех целочисленных объемов кувшинов.

Содержание

  • 1 Правила
  • 2 Стандартный пример
  • 3 Вариант с кранами и раковинами
  • 4 Три кувшина
  • 5 Литература
  • 6 Ссылки

Правила

Это распространенное предположение, сформулированное как часть этих головоломок, что кувшины в головоломке имеют неправильную форму и не имеют маркировки, поэтому невозможно точно измерить любое количество воды, которое не полностью наполняет кувшин. Другие предположения об этих проблемах могут включать в себя то, что нельзя пролить воду и что каждый этап перелива воды из исходного кувшина в целевой кувшин прекращается, когда либо исходный кувшин пуст, либо целевой кувшин полон, в зависимости от того, что произойдет раньше.

Стандартный пример

Стандартный пазл такого типа работает с тремя кувшинами емкостью 8, 5 и 3 литра. Первоначально они заполнены на 8, 0 и 0 литров. В целевом состоянии они должны быть залиты на 4, 4 и 0 литров. Загадку можно решить за семь шагов, пройдя через следующую последовательность состояний (обозначенную в скобках тройкой из трех объемов воды в трех кувшинах):

[8,0,0] → [3,5, 0] → [3,2,3] → [6,2,0] → [6,0,2] → [1,5,2] → [1,4,3] → [4,4,0]

Коули (1926) пишет, что эта конкретная головоломка «восходит к средневековью», и отмечает ее появление в учебнике математики Баше 17 века.

Вариант с кранами и раковинами

Решение головоломки с использованием двух контейнеров, крана и слива

Правила иногда формулируются путем добавления источника (крана) и слива (раковины) которые обеспечивают бесконечное количество дополнительной воды и возможность вылить всю жидкость из любого кувшина в раковину. Наполнение кувшина до краев из-под крана или выливание всего содержимого кувшина в сток - все это считается одним шагом при решении проблемы. Эта версия головоломки была показана в сцене из фильма 1995 года Крепкий орешек с местью.

Этот вариант идентичен оригиналу, поскольку третий контейнер, способный хранить содержимое первых двух, математически эквивалентен кран или слив для заполнения или опорожнения обоих контейнеров. Оптимальное решение может быть легко получено с использованием барицентрического графика в форме бильярда (или математического бильярда).

Другой вариант - когда в одном из кувшинов изначально имеется известный объем воды; В этом случае достижимые объемы являются либо кратным наибольшим общим делителем между двумя контейнерами от существующего известного объема, либо от нуля. Например, если один кувшин на 8 литров пуст, а другой кувшин на 12 литров содержит для начала 9 литров воды, то с источником (кран) и сливом (раковиной) эти два кувшина могут измерять объемы 9 литров, 5 литров, 1 литр, а также 12 литров, 8 литров, 4 литра и 0 литров. Самое простое решение для 5 литров: [9,0] → [9,8] → [12,5]; Самым простым решением для 4 литров является [9,0] → [12,0] → [4,8]. Эти решения визуализируются красными и синими стрелками на графике декартовой системы ниже:

Раствор для 5 литров показан красным цветом слева, а раствор для 4 литров показан синим справа.. Все наклонные линии имеют одинаковый наклон -1, что соответствует переливанию воды из одного кувшина в другой.

Три кувшина

Два решения стандартной головоломки с использованием барицентрического графика

Если количество кувшинов равно трем, состояние заполнения после каждого шага можно описать в виде диаграммы барицентрических координат, поскольку сумма всех трех целых чисел остается неизменной на всех шагах. Следовательно, шаги можно визуализировать как своего рода бильярдные движения в (отсеченной) системе координат на треугольной решетке.

Барицентрический график справа дает два решения головоломки 8, 5 и 3 L. Желтая область обозначает комбинации, достижимые с кувшинами. Сплошные красные и синие пунктирные пути, начинающиеся от квадрата, показывают текучие переходы. Когда вершина попадает в пунктирный черный треугольник, измеряется 4 L. Еще одна заливка алмаза дает по 4 л в кувшины на 8 и 5 л.

Литература

Ссылки

Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: mail@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте