Теорема фон Штаудта – Клаузена

В теории чисел теорема фон Штаудта – Клаузена является результатом, определяющим дробная часть из чисел Бернулли, независимо найденных Карлом фон Штаудтом (1840) и Томасом Клаузеном (1840 г.).

В частности, если n является положительным целым числом и мы добавляем 1 / p к числу Бернулли B 2n для каждого простого p, такого что p - 1 делит 2n, получаем целое число, т.е. $B\; 2\; n\; +\; \sum \; (p\; -\; 1)\; |\; 2\; n\; 1\; p\; \in \; Z.\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{2n\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{(p-1)\; |\; 2n\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{p\}\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}.\}$

Этот факт сразу позволяет нам охарактеризовать знаменатели ненулевых чисел Бернулли B 2n как произведения всех простых чисел p таких, что p - 1 делит 2n; следовательно, знаменатели без квадратов и делятся на 6.

Эти знаменатели равны

6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530,... (последовательность A002445 в OEIS ).

Содержание

• 1 Доказательство
• 2 См. Также
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

Доказательство

Доказательство теоремы Фон Штаудта – Клаузена следует из явной формулы для чисел Бернулли, которая имеет следующий вид:

$B\; 2\; n\; Знак\; равно\; \sum \; J\; знак\; равно\; 0\; 2\; N\; 1\; J\; +\; 1\; \sum \; м\; знак\; равно\; 0\; J\; (-\; 1)\; м\; (JM)\; м\; 2\; N\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\_\; \{2n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{2n\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{j\; +\; 1\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{j\}\; \{(-\; 1)\; ^\; \{m\}\; \{j\; \backslash \; choose\; m\}\; m\; ^\; \{2n\}\}\}$

и в качестве следствия :

$В\; 2\; N\; =\; \sum \; J\; знак\; равно\; 0\; 2\; NJ!\; J\; +\; 1\; (-\; 1)\; J\; S\; (2\; N,\; J)\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\_\; \{2n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{2n\}\; \{\backslash \; frac\; \{j!\}\; \{j\; +\; 1\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{j\}\; S\; (2n,\; j)\}$

где $S\; (n,\; j)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (n,\; j)\; \}$являются числами Стирлинга второго рода.

Кроме того, необходимы следующие леммы:. Пусть p будет простым числом, тогда. 1. Если p-1 делит 2n th ru,

$\sum \; м\; знак\; равно\; 0\; п\; -\; 1\; (-\; 1)\; м\; (п\; -\; 1\; м)\; м\; 2\; N\; \equiv \; -\; 1\; (модуль\; р)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{p-1\}\; \{(-1)\; ^\; \{m\}\; \{p-1\; \backslash \; choose\; m\}\; m\; ^\; \{2n\}\}\; \backslash \; Equiv\; \{-1\}\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}\}$

2. Если p-1 не делит 2n, то

$\sum \; m\; =\; 0\; p\; -\; 1\; (-\; 1)\; m\; (p\; -\; 1\; m)\; m\; 2\; n\; \equiv \; 0\; (mod\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{p-1\}\; \{(-\; 1)\; ^\; \{m\}\; \{p-1\; \backslash \; choose\; m\}\; m\; ^\; \{2n\}\}\; \backslash \; Equiv\; 0\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}\}$

Доказательство (1) и (2) : из маленькой теоремы Ферма,

$mp\; -\; 1\; \equiv \; 1\; (mod\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; ^\; \{p-1\}\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}\}$

для $m\; =\; 1,\; 2,...,\; p\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; 1,2,...,\; p-1\}$.. Если p-1 делит 2n, то получается,

$m\; 2\; n\; \equiv \; 1\; (mod\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; ^\; \{2n\}\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}\}$

для $m\; =\; 1,\; 2,...,\; п\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; 1,2,...,\; p-1\}$.. После этого

$\sum \; m\; =\; 1\; p\; -\; 1\; (-\; 1)\; m\; (p\; -\; 1\; m)\; m\; 2\; N\; \equiv \; \sum \; м\; знак\; равно\; 1\; п\; -\; 1\; (-\; 1)\; м\; (п\; -\; 1\; м)\; (модуль\; р)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; сумма\; \_\; \{м\; =\; 1\}\; ^\; \{р-1\}\; \{(-\; 1)\; ^\; \{м\; \}\; \{p-1\; \backslash \; choose\; m\}\; m\; ^\; \{2n\}\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 1\}\; ^\; \{p-1\}\; \{(-\; 1)\; ^\; \{m\}\; \{p-1\; \backslash \; choose\; m\}\}\; \{\; \backslash \; pmod\; \{p\}\}\}$

, из которого немедленно следует (1) .. Если p-1 не делит 2n, то после теоремы Ферма будет

$м\; 2\; N\; \equiv \; м\; 2\; N\; -\; (п\; -\; 1)\; (модуль\; р)\; \{\backslash \; Displaystyle\; м\; ^\; \{2n\}\; \backslash \; экв\; м\; ^\; \{2n-\; (р-1)\}\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}\}$

Если позволить $\wp \; =\; [2\; np\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; wp\; =\; [\{\backslash \; frac\; \{2n\}\; \{p-1\}\}]\}$(Наибольшая целочисленная функция ), то после итерации будет

$м\; 2\; N\; \equiv \; м\; 2\; N\; -\; \wp \; (p\; -\; 1)\; (mod\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; ^\; \{2n\}\; \backslash \; Equiv\; m\; ^\; \{2n-\; \backslash \; wp\; (p-1)\}\; \{\backslash \; pmod\; \{p\; \}\}\}$

для $m\; =\; 1,\; 2,...,\; p\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; 1,2,...,\; p-1\}$и .. После этого

$\sum \; m\; =\; 0\; p\; -\; 1\; (-\; 1)\; m\; (п\; -\; 1\; м)\; м\; 2\; N\; \equiv \; \sum \; м\; знак\; равно\; 0\; п\; -\; 1\; (-\; 1)\; м\; (п\; -\; 1\; м)\; м\; 2\; N\; -\; \wp \; (п\; -\; 1)\; (модуль\; р)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; сумма\; \_\; \{м\; =\; 0\}\; ^\; \{p-1\}\; \{(-\; 1)\; ^\; \{m\}\; \{p-1\; \backslash \; choose\; m\}\; m\; ^\; \{2n\}\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{p-1\}\; \{(\; -1)\; ^\; \{m\}\; \{p-1\; \backslash \; choose\; m\}\; m\; ^\; \{2n-\; \backslash \; wp\; (p-1)\}\}\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}\}$

Лемма (2) теперь следует из вышеизложенного и того факта, что S (n, j) = 0 для j>n.. (3) . Легко вывести, что для a>2 и b>2 ab делит (ab-1)! .. (4). Числа Стирлинга второго рода - это целые числа .

Доказательство теоремы : Теперь мы готовы доказать теорему Фон-Штаудта Клаузена,. Если j + 1 составное и j>3 то из (3) j + 1 делит j !.. Для j = 3,

$\sum \; m\; =\; 0\; 3\; (-\; 1)\; m\; (3\; m)\; m\; 2\; n\; =\; 3\; \cdot \; 2\; 2\; n\; -\; 3\; 2\; n\; -\; 3\; \equiv \; 0\; (модуль\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{3\}\; \{(-\; 1)\; ^\; \{m\}\; \{3\; \backslash \; choose\; m\}\; m\; ^\; \{\; 2n\}\}\; =\; 3\; \backslash \; cdot\; 2\; ^\; \{2n\}\; -3\; ^\; \{2n\}\; -3\; \backslash \; Equiv\; 0\; \{\backslash \; pmod\; \{4\}\}\}$

Если j + 1 простое число, то мы используем (1) и (2) и если j + 1 составное, то мы используем (3) и (4), чтобы вывести:

$B\; 2\; n\; =\; I\; n\; -\; \sum \; (p\; -\; 1)\; |\; 2\; n\; 1\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{2n\}\; =\; I\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{(p-1)\; |\; 2n\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{p\}\}\}$

где $I\; n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; I\_\; \{n\}\}$- целое число, которое является теоремой Фон-Штаудта Клаузена.

См. также

• сравнение Куммера

Ссылки

1. ^H. Радемахер, Аналитическая теория чисел, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1973.
2. ^Т. М. Апостол, Введение в аналитическую теорию чисел, Springer-Verlag, 1976.

• Клаузен, Томас (1840), «Теорема», Astronomische Nachrichten, 17(22): 351–352, doi : 10.1002 / asna.18400172204
• Радо, Р. (1934), «Новое доказательство теоремы В. Штаудта», J. London Math. Soc., 9 (2): 85–88, doi : 10.1112 / jlms / s1-9.2.85
• von Staudt, Ch. (1840), «Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 21 : 372–374, ISSN 0075-4102, ERAM 021.0672cj

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик У. «Теорема фон Штаудта-Клаузена». MathWorld.