Парадокс фон Неймана

редактировать

В математике парадокс фон Неймана, названный в честь Джона фон Неймана, идея о том, что можно разбить плоскую фигуру, такую как единичный квадрат, на наборы точек и подвергнуть каждый набор аффинному преобразованию с сохранением площади, так что в результате получатся две плоские фигуры того же размера, что и o исходный. Это было доказано в 1929 году Джоном фон Нейманом, принявшим аксиому выбора . Он основан на более раннем парадоксе Банаха – Тарского, который, в свою очередь, основан на парадоксе Хаусдорфа.

Банах и Тарский доказали, что с помощью изометрических преобразований Результат разборки и повторной сборки двухмерной фигуры обязательно будет иметь ту же площадь, что и оригинал. Это сделало бы невозможным создание двух единичных квадратов из одного. Но фон Нейман понял, что уловка таких так называемых парадоксальных разложений заключается в использовании группы преобразований, которые включают в качестве подгруппы свободную группу с двумя генераторы. Группа сохраняющих площадь преобразований (будь то специальная линейная группа или специальная аффинная группа ) содержит такие подгруппы, и это открывает возможность выполнения парадоксальных разложений с их использованием.

Содержание

1 Набросок метода
2 Последствия
3 Недавний прогресс
4 Ссылки

Набросок метода

Ниже приводится неформальное описание метода найден фон Нейманом. Предположим, что у нас есть свободная группа H линейных преобразований, сохраняющих площадь, порожденная двумя преобразованиями, σ и τ, которые находятся недалеко от элемента идентичности. Быть свободной группой означает, что все ее элементы могут быть однозначно выражены в виде $σ u 1 τ v 1 σ u 2 τ v 2 ⋯ σ un τ vn {\ displaystyle \ sigma ^ {u_ {1}} \ tau ^ {v_ {1}} \ sigma ^ {u_ {2}} \ tau ^ {v_ {2}} \ cdots \ sigma ^ {u_ {n}} \ tau ^ {v_ {n}}}$ $\ sigma ^ {{u_ {1}}} \ tau ^ {{v_ {1}}} \ sigma ^ {{u_ {2}}} \ tau ^ {{v_ {2}}} \ cdots \ sigma ^ {{u_ {n}}} \ tau ^ {{v_ {n}}}$ для некоторого n, где $u {\ displaystyle u}$ $u$ s и $v {\ displaystyle v}$ $v$ s - все ненулевые целые числа, за исключением, возможно, первый $u {\ displaystyle u}$ $u$ и последний $v {\ displaystyle v}$ $v$ . Мы можем разделить эту группу на две части: те, которые начинаются слева с σ в некоторой ненулевой степени (мы называем это множество A), и те, которые начинаются с τ в некоторой степени (то есть $u 1 {\ displaystyle u_ {1}}$ $u_ {1}$ равен нулю - мы называем этот набор B, и он включает в себя идентификатор).

Если мы оперируем любой точкой в евклидовом 2-пространстве различными элементами H, мы получим то, что называется орбитой этой точки. Таким образом, все точки на плоскости могут быть классифицированы по орбитам, которых существует бесконечное число с мощностью континуума. Используя аксиому выбора, мы можем выбрать по одной точке на каждой орбите и назвать множество этих точек M. Мы исключаем начало координат, которое является фиксированной точкой в H. Если затем мы будем действовать на M всеми элементы H, мы генерируем каждую точку плоскости (кроме начала координат) ровно один раз. Если мы оперируем M всеми элементами A или B, мы получим два непересекающихся множества, объединение которых - это все точки, кроме начала координат.

Теперь возьмем какую-нибудь фигуру, например, единичный квадрат или единичный диск. Затем мы выбираем другую фигуру внутри нее, например, меньший квадрат с центром в начале координат. Мы можем покрыть большую фигуру несколькими копиями маленькой фигуры, хотя некоторые точки покрыты двумя или более копиями. Затем мы можем назначить каждую точку большой фигуры одной из копий маленькой фигуры. Назовем наборы, соответствующие каждой копии $C 1, C 2,…, C m {\ displaystyle C_ {1}, C_ {2}, \ dots, C_ {m}}$ $C_ {1}, C_ {2}, \ dots, C_ {m}$ . Теперь мы сделаем взаимно однозначное отображение каждой точки большого рисунка в точку внутри него, используя только преобразования, сохраняющие площадь. Берем точки, принадлежащие $C 1 {\ displaystyle C_ {1}}$ $C_ {1}$ , и переводим их так, чтобы центр $C 1 {\ displaystyle C_ {1}}$ $C_ {1}$ квадрат находится в начале координат. Затем мы берем те точки в нем, которые находятся в множестве A, определенном выше, и воздействуем на них с помощью операции сохранения площади σ τ. Это помещает их в множество B. Затем мы берем точки, принадлежащие B, и обрабатываем их с помощью σ. Теперь они все еще будут в B, но набор этих точек будет отличаться от предыдущего набора. Мы действуем таким же образом, используя στ в точках A из C 2 (после его центрирования) и σ в его точках B, и так далее. Таким образом, мы сопоставили все точки большой фигуры (за исключением некоторых фиксированных точек) взаимно однозначным образом с точками типа B не слишком далеко от центра и внутри большой фигуры. Затем мы можем сделать второе сопоставление с точками типа A.

Здесь мы можем применить метод теоремы Кантора-Бернштейна-Шредера. Эта теорема говорит нам, что если у нас есть инъекция из набора D в набор E (например, от большого числа до точек типа A в нем), и инъекция из E в D (например, тождество отображение из точек типа A на рисунке в самих себя), то существует взаимно однозначное соответствие между D и E. Другими словами, отображение большого рисунка на подмножество В нем есть точки, мы можем сделать отображение (биекцию) большой фигуры на все точки А. (В некоторых регионах точки сопоставляются сами с собой, в других они отображаются с использованием сопоставления, описанного в предыдущем абзаце.) Аналогичным образом мы можем сделать сопоставление от большой фигуры ко всем точкам B в ней. Итак, посмотрев на это с другой стороны, мы можем разделить фигуру на ее точки A и B, а затем отобразить каждую из них обратно во всю фигуру (то есть, содержащую оба вида точек)!

В этом наброске некоторые вещи замалчиваются, например, как обращаться с фиксированными точками. Оказывается, чтобы обойти это, необходимо больше отображений и больше наборов.

Последствия

Парадокс квадрата может быть усилен следующим образом:

Любые два ограниченных подмножества евклидовой плоскости с непустыми внутренностями равноразложимы относительно сохраняющего площадь аффинного maps.

Это имеет последствия для файла. Как отмечает фон Нейман,

"Infolgedessen gibt es bereits in der Ebene kein nichtnegatives adds Maß (wo das Einheitsquadrat das Maß 1 hat), dass [sic] gegenüber allen Abbildungen von A 2 invariant wäre."

«В соответствии с этим уже в плоскости нет неотрицательной аддитивной меры (для которой единичный квадрат имеет меру 1), инвариантной относительно всех преобразований, принадлежащих A 2 [группа сохраняющих площадь аффинных преобразований] ".

Чтобы объяснить это немного подробнее, вопрос о том, существует ли конечно аддитивная мера, которая сохраняется при определенных преобразованиях, зависит от того, какие преобразования разрешены. Мера Банаха множеств на плоскости, которая сохраняется при перемещениях и поворотах, не сохраняется при неизометрических преобразованиях, даже если они сохраняют площадь многоугольников. Как объяснялось выше, точки плоскости (кроме начала координат) можно разделить на два плотных множества, которые мы можем назвать A и B. Если точки A данного многоугольника преобразованы определенной областью -сохраняя преобразование и точки B другим, оба набора могут стать подмножествами точек B в двух новых многоугольниках. Новые многоугольники имеют ту же площадь, что и старый многоугольник, но два преобразованных набора не могут иметь ту же самую меру, что и раньше (поскольку они содержат только часть B-точек), и, следовательно, нет меры, которая «работает».

Класс групп, выделенный фон Нейманом в ходе изучения феномена Банаха – Тарского, оказался очень важным для многих областей математики: это аменабельные группы, или группы с инвариантное среднее и включает все конечные и все разрешимые группы. Вообще говоря, парадоксальные разложения возникают, когда группа, используемая для эквивалентностей в определении равноразложимости, не поддается.

Недавний прогресс

Статья фон Неймана оставила открытой возможность парадоксального разложения внутренней части единичного квадрата относительно линейной группы SL (2, R ) (Вагон, вопрос 7.4). В 2000 г. Миклош Лацкович доказал, что такое разложение существует. Точнее, пусть A - семейство всех ограниченных подмножеств плоскости с непустой внутренней частью и на положительном расстоянии от начала координат, а B - семейство всех плоских множеств, обладающих тем свойством, что объединение конечного числа переносится под некоторые элементы SL (2, R ) содержит проколотую окрестность начала координат. Тогда все множества в семействе A SL (2, R ) -эквивалентно разложимы, так же как и для множеств в B. Отсюда следует, что оба семейства состоят из парадоксальных множеств.

Ссылки

^На стр. 85 из: фон Нейман, J. (1929), «Zur allgemeinen Theorie des Masses» (PDF), Fundamenta Mathematicae, 13: 73–116
^Laczkovich, Miklós (1999), "Парадоксальные множества при SL 2[R]", Ann. Univ. Sci. Будапешт. Eötvös Sect. Math., 42 : 141–145