Закрученный поток Фон Кармана

редактировать

Закрученный поток Фон Кармана - это поток, созданный равномерно вращающимся бесконечно длинным плоским диском, названным в честь Теодор фон Карман, который решил проблему в 1921 году. Эта проблема используется в качестве модели для центробежных вентиляторов или компрессоров. Этот поток классифицируется по категории стационарных потоков, в которых завихренность, генерируемая на твердой поверхности, предотвращается от распространения далеко за счет встречной конвекции, другими примерами являются пограничный слой Блазиуса с всасывание, точка застоя потока и т. д.

Содержание

  • 1 Описание потока
  • 2 Нет вращения на бесконечности
  • 3 Жесткое вращение тела на бесконечности
    • 3.1 Почти вращается с одинаковой скоростью, | γ - 1 | ≪ 1 {\ displaystyle | \ gamma -1 | \ ll 1}{\ displaystyle | \ gamma - 1 | \ ll 1}
    • 3.2 Неосесимметричные решения
  • 4 Два вращающихся коаксиальных диска
  • 5 Приложения
  • 6 Ссылки
  • 7 Библиография

Flow описание

Рассмотрим плоский диск бесконечного радиуса, вращающийся с постоянной угловой скоростью Ω {\ displaystyle \ Omega}\ Omega в жидкости, которая изначально находится повсюду. Радиальное движение жидкости наружу вблизи диска из-за центробежной силы должно сопровождаться осевым движением жидкости внутрь к диску для сохранения массы. Теодор фон Карман заметил, что основные уравнения и граничные условия допускают такое решение, что u / r, v / r {\ displaystyle u / r, v / r}{\ displaystyle u / r, v / r} и w {\ displaystyle w}{ \ displaystyle w} являются функциями только z {\ displaystyle z}z , где (u, v, w) {\ displaystyle (u, v, w)}(u, v, w) - компоненты скорости в цилиндрической (r, θ, z) {\ displaystyle (r, \ theta, z)}(r, \ theta, z) координаты с r = 0 {\ displaystyle r = 0}r = 0 - ось вращения, а z = 0 {\ displaystyle z = 0}z=0- плоский диск. Из-за симметрии давление жидкости может зависеть только от радиальной и осевой координаты p = p (r, z) {\ displaystyle p = p (r, z)}{\ displaystyle p = p (r, z)} . Тогда уравнение неразрывности и уравнения несжимаемой жидкости Навье – Стокса сводятся к

2 ur + dwdz = 0 (ur) 2 - (vr) 2 + wd (u / r) dz = - 1 ρ ∂ p ∂ r + ν d 2 (u / r) dz 2 2 uvr 2 + wd (v / r) dz = ν d 2 (v / r) dz 2 wdwdz = - 1 ρ ∂ p ∂ z + ν d 2 wdz 2 ⇒ п ρ = ν dwdz - 1 2 вес 2 + f (r) {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {2u} {r}} + {\ frac {dw} {dz}} = 0 \\ [8pt] \ left ({\ frac {u} {r}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {v} {r}} \ right) ^ {2} + w { \ frac {d (u / r)} {dz}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial r}} + \ nu {\ frac {d ^ {2} (u / r)} {dz ^ {2}}} \\ [8pt] {\ frac {2uv} {r ^ {2}}} + w {\ frac {d (v / r)} {dz}} = \ nu {\ frac {d ^ {2} (v / r)} {dz ^ {2}}} \\ [8pt] w {\ frac {dw} {dz}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} + \ nu {\ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} \ qquad \ Rightarrow \ qquad {\ frac {p} {\ rho}} = \ nu {\ frac {dw} {dz}} - {\ frac {1} {2}} w ^ {2} + f (r) \ end {выровнено }}}{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {2u} {r}} + {\ frac {dw} {dz}} = 0 \\ [8pt] \ left ({\ frac {u} {r}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {v} {r}} \ right) ^ {2} + w {\ frac {d (u / r)} {dz }} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial r}} + \ nu {\ frac {d ^ {2} (u / r)} {dz ^ {2}}} \\ [8pt] {\ frac {2uv} {r ^ {2}}} + w {\ frac {d (v / r)} {dz}} = \ nu {\ frac {d ^ {2} (v / r)} {dz ^ {2}}} \\ [8pt] w {\ frac {dw} {dz}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} + \ nu {\ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} \ qquad \ Rightarrow \ qquad {\ frac {p} {\ rho}} = \ nu {\ frac {dw} {dz}} - {\ frac {1} {2}} w ^ {2} + f (r) \ end {align}}}

Нет вращения на бесконечности

Закрученный поток Фон Кармана

Поскольку нет вращения в большом количестве z → ∞ {\ displaystyle z \ rightarrow \ infty}{\ displaystyle z \ rightarrow \ infty} , p (r, z) {\ displaystyle p (r, z)}{\ displaystyle p (r, z)} становится независимым от r {\ displaystyle r}р в результате в p = p (z) {\ displaystyle p = p (z)}{\ displaystyle p = p (z)} . Следовательно, f (r) = константа {\ displaystyle f (r) = {\ text {constant}}}{\ displaystyle f (r) = {\ text {constant}}} и ∂ p / ∂ r = 0 {\ displaystyle \ partial p / \ partial r = 0}{\ displaystyle \ partial p / \ partial r = 0} .

Здесь граничные условия для жидкости z>0 {\ displaystyle z>0}z>0 равны

u = 0, v = Ω r, w = 0 для z = 0 {\ displaystyle u = 0, \ quad v = \ Omega r, \ quad w = 0 \ quad {\ text {for}} z = 0}{\ displaystyle u = 0, \ quad v = \ Omega r, \ quad w = 0 \ quad {\ text {для }} z = 0}
u = 0, v = 0 для z → ∞ {\ displaystyle u = 0, \ quad v = 0 \ quad {\ text {for}} z \ rightarrow \ infty}{\ displaystyle u = 0, \ quad v = 0 \ quad {\ text {for}} z \ rightarrow \ infty}

Самоподобное решение получается путем введения следующего преобразования,

η = Ω ν z, u = r Ω F ( η), v знак равно р Ω г (η), вес знак равно ν Ω H (η), {\ displaystyle \ eta = {\ sqrt {\ frac {\ Omega} {\ nu}}} z, \ quad u = r \ Omega F (\ eta), \ quad v = r \ Omega G (\ eta), \ quad w = {\ sqrt {\ nu \ Omega}} H (\ eta).}{\ displaystyle \ eta = {\ sqrt {\ frac {\ Omega} {\ nu}}} z, \ quad u = r \ Omega F (\ eta), \ quad v = r \ Omega G (\ eta), \ quad w = {\ sqrt {\ nu \ Omega}} H (\ eta).}

Самоподобные уравнения

2 F + H ′ = 0 F 2 - G 2 + F ′ H = F ″ 2 FG + G ′ H = G ″ {\ displaystyle {\ be джин {выровненный} 2F + H '= 0 \\ F ^ {2} -G ^ {2} + F'H = F' '\\ 2FG + G'H = G' '\ end {выровненный}}}{\displaystyle {\begin{aligned}2F+H'=0\\F^{2}-G^{2}+F'H=F''\\2FG+G'H=G''\end{aligned}}}

с граничными условиями для жидкости η>0 {\ displaystyle \ eta>0}{\displaystyle \eta>0} are

F = 0, G = 1, H = 0 для η = 0 {\ displaystyle F = 0, \ quad G = 1, \ quad H = 0 \ quad {\ text {for}} \ eta = 0}{\ dis playstyle F = 0, \ quad G = 1, \ quad H = 0 \ quad {\ text {for}} \ eta = 0}
F = 0, G = 0 для η → ∞ {\ displaystyle F = 0, \ quad G = 0 \ quad {\ text {for}} \ eta \ rightarrow \ infty}{\ displaystyle F = 0, \ quad G = 0 \ quad {\ текст {for}} \ eta \ rightarrow \ infty}

Связанные обыкновенные дифференциальные уравнения необходимо решать численно, и точное решение дает Кохран (1934). Осевая скорость притока на бесконечности, полученная в результате численного интегрирования, составляет w = - 0,886 ν Ω {\ displaystyle w = -0,886 {\ sqrt {\ nu \ Omega}}}{\ displaystyle w = -0.886 {\ sqrt {\ nu \ Omega}}} , поэтому общий отток объемный поток через цилиндрическую поверхность радиусом r {\ displaystyle r}р равен 0,886 π r 2 ν Ω {\ displaystyle 0.886 \ pi r ^ {2} {\ sqrt {\ nu \ Omega}}}{\ displaystyle 0,886 \ pi r ^ {2} {\ sqrt {\ nu \ Omega}}} . Касательное напряжение на диске составляет σ z φ = μ (∂ v / ∂ z) z = 0 = ρ ν Ω 3 r G ′ (0) {\ displaystyle \ sigma _ {z \ varphi} = \ mu (\ partial v / \ partial z) _ {z = 0} = \ rho {\ sqrt {\ nu \ Omega ^ {3}}} rG '(0)}{\displaystyle \sigma _{z\varphi }=\mu (\partial v/\partial z)_{z=0}=\rho {\sqrt {\nu \Omega ^{3}}}rG'(0)}. Если пренебречь краевыми эффектами, крутящий момент, создаваемый жидкостью на диске с большим (R ≫ ν / Ω {\ displaystyle R \ gg {\ sqrt {\ nu / \ Omega}}}{\ displaystyle R \ gg {\ sqrt {\ nu / \ Omega}}} ), но конечный радиус R {\ displaystyle R}R равен

T = 2 ∫ 0 R 2 π r 2 σ r θ dr = π R 4 ρ ν Ω 3 G '(0). {\ displaystyle T = 2 \ int _ {0} ^ {R} 2 \ pi r ^ {2} \ sigma _ {r \ theta} \, dr = \ pi R ^ {4} \ rho {\ sqrt {\ nu \ Omega ^ {3}}} G '(0).}{\displaystyle T=2\int _{0}^{R}2\pi r^{2}\sigma _{r\theta }\,dr=\pi R^{4}\rho {\sqrt {\nu \Omega ^{3}}}G'(0).}

Коэффициент 2 {\ displaystyle 2}2 добавляется для учета обеих сторон диска. На основе численного решения крутящий момент определяется как T = - 1.94 R 4 ρ ν Ω 3 {\ displaystyle T = -1.94R ^ {4} \ rho {\ sqrt {\ nu \ Omega ^ {3}}}}{\ displaystyle T = -1.94R ^ {4} \ rho {\ sqrt {\ nu \ Omega ^ {3}}}} . Крутящий момент, предсказанный теорией, отлично согласуется с экспериментом на больших дисках вплоть до числа Рейнольдса примерно R e = R 2 Ω / ν = 3 × 10 5 {\ displaystyle Re = R ^ {2} \ Omega / \ nu = 3 \ times 10 ^ {5}}{\ displaystyle Re = R ^ {2} \ Omega / \ nu = 3 \ times 10 ^ {5}} , поток становится турбулентным при высоком числе Рейнольдса.

Вращение твердого тела на бесконечности

Эта проблема была рассмотрена Джорджем Китом Бэтчелором (1951). Пусть Γ {\ displaystyle \ Gamma}\ Gamma будет угловой скоростью на бесконечности. Теперь давление в z → ∞ {\ displaystyle z \ rightarrow \ infty}{\ displaystyle z \ rightarrow \ infty} равно 1 2 ρ Γ 2 r 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ rho \ Gamma ^ {2} r ^ {2}}{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ rho \ Gamma ^ { 2} r ^ {2}} . Следовательно, f (r) = 1 2 ρ Γ 2 r 2 {\ displaystyle f (r) = {\ frac {1} {2}} \ rho \ Gamma ^ {2} r ^ {2}}{\ displaystyle f (r) = {\ frac {1 } {2}} \ rho \ Gamma ^ {2} r ^ {2}} и ∂ p / ∂ r = Γ 2 {\ displaystyle \ partial p / \ partial r = \ Gamma ^ {2}}{\ displaystyle \ partial p / \ partial r = \ Gamma ^ {2}} .. Тогда граничные условия для жидкости z>0 {\ displaystyle z>0}z>0 равны

u = 0, v = Ω r, w = 0 для z = 0 {\ displaystyle u = 0, \ quad v = \ Omega r, \ quad w = 0 \ quad {\ text {for}} z = 0}{\ displaystyle u = 0, \ quad v = \ Omega r, \ quad w = 0 \ quad {\ text {для }} z = 0}
u = 0, v = Γ r для z → ∞ {\ displaystyle u = 0, \ quad v = \ Gamma r \ quad {\ text {for}} z \ rightarrow \ infty}{\ displaystyle u = 0, \ quad v = \ Gamma r \ quad {\ text {for}} z \ rightarrow \ infty}

Автомодельное решение получается введением следующего преобразования:

η = Ω ν z, γ = Γ Ω, u = r Ω F (η), v = r Ω G (η), w = ν Ω ЧАС (η). {\ Displaystyle \ eta = {\ sqrt {\ frac {\ Omega} {\ nu}}} z, \ quad \ gamma = {\ frac {\ Gamma} {\ Omega}}, \ quad u = r \ Omega F (\ eta), \ quad v = r \ Omega G (\ eta), \ quad w = {\ sqrt {\ nu \ Omega}} H (\ eta).}{\ displaystyle \ eta = {\ sqrt {\ frac {\ Omega} {\ nu}}} z, \ quad \ gamma = {\ frac {\ Gamma} {\ Omega}}, \ quad u = r \ Omega F (\ eta), \ quad v = r \ Omega G (\ eta), \ quad w = {\ sqrt {\ nu \ Omega}} H (\ eta).}

самоподобный e цитаты:

2 F + H '= 0 F 2 - G 2 + F' H = F ″ - γ 2 2 FG + G 'H = G ″ {\ displaystyle {\ begin {align} 2F + H' = 0 \\ [3pt] F ^ {2} -G ^ {2} + F'H = F '' - \ gamma ^ {2} \\ [3pt] 2FG + G'H = G '' \ end { выровнено}}}{\displaystyle {\begin{aligned}2F+H'=0\\[3pt]F^{2}-G^{2}+F'H=F''-\gamma ^{2}\\[3pt]2FG+G'H=G''\end{aligned}}}

с граничными условиями для жидкости η>0 {\ displaystyle \ eta>0}{\displaystyle \eta>0} равно

F = 0, G = 1, H = 0 для η = 0 {\ displaystyle F = 0, \ quad G = 1, \ quad H = 0 \ quad {\ text {for}} \ eta = 0}{\ dis playstyle F = 0, \ quad G = 1, \ quad H = 0 \ quad {\ text {for}} \ eta = 0}
F = 0, G = γ для η → ∞ {\ displaystyle F = 0, \ quad G = \ gamma \ quad {\ text {for}} \ eta \ rightarrow \ infty}{\ displaystyle F Знак равно 0, \ quad G = \ gamma \ quad {\ text {for}} \ eta \ rightarrow \ infty}

Решение легко получить только для γ>0 {\ displaystyle \ gamma>0}{\displaystyle \gamma>0} то есть жидкость на бесконечности вращается в том же смысле, что и пластина. Для γ < 0 {\displaystyle \gamma <0}{\ displaystyle \ gamma <0} решение более сложное в том смысле, что возникают ветви с множеством решений. Эванс (1969) получил решение для диапазона - 1,35 < γ < − 0.61 {\displaystyle -1.35<\gamma <-0.61}{\ displaystyle -1,35 <\ gamma <-0,61 } . Зандберген и Дейкстра показали, что решение демонстрирует сингулярность квадратного корня как γ - → - 0.16053876 {\ displaystyle \ gamma ^ {-} \ rightarrow -0.16053876}{\ displaystyle \ gamma ^ {-} \ rightarrow -0.16053876} и нашли ветвь второго решения, сливающуюся с решение, найденное для γ → - 0.16053876 {\ displaystyle \ gamma \ rightarrow -0.16053876}{\ displaystyle \ gamma \ rightarrow -0.16053876} . Решение второй ветви продолжается до γ - → 0,07452563 {\ displaystyle \ gamma ^ {-} \ rightarrow 0,07452563}{\ displaystyle \ gamma ^ {-} \ rightarrow 0,07452563} , после чего обнаруживается, что возникает ветвь третьего решения. Они также обнаружили бесконечное количество ветвей решения вокруг точки γ - → 0 {\ displaystyle \ gamma ^ {-} \ rightarrow 0}{\ displaystyle \ gamma ^ {-} \ rightarrow 0} . Бодойни (1975) вычислил решения для больших отрицательных значений γ {\ displaystyle \ gamma}\ gamma , показал, что решение разрушается при γ - = - 1,436 {\ displaystyle \ gamma ^ {-} = -1,436}{\ displaystyle \ gamma ^ {-} = - 1,436 } . Если вращающейся пластине разрешено иметь равномерную скорость всасывания на пластине, то значимое решение может быть получено для γ ≤ - 0,2 {\ displaystyle \ gamma \ leq -0.2}{\ displaystyle \ gamma \ leq -0.2} .

Для 0 < γ < ∞, γ ≠ 1 {\displaystyle 0<\gamma <\infty,\ \gamma \neq 1}{\ displaystyle 0 <\ gamma <\ infty, \ \ gamma \ neq 1} (γ = 1 { \ displaystyle \ gamma = 1}\ gamma = 1 представляет вращение твердого тела, вся жидкость вращается с одинаковой скоростью) раствор достигает вращения твердого тела на бесконечности колебательным образом от пластины. Осевая скорость отрицательна w < 0 {\displaystyle w<0}{\ displaystyle w <0 } для 0 ≤ γ < 1 {\displaystyle 0\leq \gamma <1}{\ displaystyle 0 \ leq \ gamma <1} и положительна w>0 {\ displaystyle w>0}w>0 для 1 < γ < ∞ {\displaystyle 1<\gamma <\infty }{\ displaystyle 1 <\ gamma <\ infty} . Существует явное решение, когда | γ - 1 | ≪ 1 {\ displaystyle | \ gamma -1 | \ ll 1}{\ displaystyle | \ gamma - 1 | \ ll 1} .

почти вращается с той же скоростью, | γ - 1 | ≪ 1 {\ displaystyle | \ gamma -1 | \ ll 1}{\ displaystyle | \ gamma - 1 | \ ll 1}

Поскольку оба граничных условия для G {\ displaystyle G}G почти равны единице, можно ожидать, что решение для G {\ displaystyle G}G будет немного отклоняются от единицы. Соответствующие шкалы для F {\ displaystyle F}F и H {\ displaystyle H}H могут быть получены из автомодельных уравнений. Поэтому,

G = 1 + G ^, H = H ^, F = F ^ | F ^ |, | G ^ |, | H ^ | ≪ 1 {\ displaystyle G = 1 + {\ hat {G}}, \ quad H = {\ hat {H}}, \ quad F = {\ hat {F}} \ qquad | {\ hat {F}} |, | {\ hat {G}} |, | {\ hat {H}} | \ ll 1}{\ displaystyle G = 1 + {\ hat {G}}, \ quad H = {\ hat { H}}, \ quad F = {\ hat {F}} \ qquad | {\ hat {F}} |, | {\ hat {G}} |, | {\ hat {H}} | \ ll 1}

Т o приближение первого порядка (без учета F ^ 2, G ^ 2, H ^ 2 {\ displaystyle {\ hat {F}} ^ {2}, {\ hat {G}} ^ {2}, {\ hat {H}} ^ {2}}{\ displaystyle {\ hat {F}} ^ {2}, {\ hat {G}} ^ {2}, { \ hat {H}} ^ {2}} ), автомодельное уравнение принимает вид

2 F ^ + H ^ ′ = 0 1 + 2 G ^ = γ 2 - F ^ ″ 2 F ^ = G ^ ″ {\ displaystyle {\ begin {align} 2 {\ hat {F}} + {\ hat {H}} '= 0 \\ 1 + 2 {\ hat {G}} = \ gamma ^ {2} - {\ hat {F}} '' \\ 2 {\ hat {F}} = {\ hat {G}} '' \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}2{\hat {F}}+{\hat {H}}'=0\\1+2{\hat {G}}=\gamma ^{2}-{\hat {F}}''\\2{\hat {F}}={\hat {G}}''\end{aligned}}}

с точными решениями

F (η) = - (γ - 1) e - η sin ⁡ η, G (η) = 1 + (γ - 1) (1 - e - η cos ⁡ η), H (η) = (γ - 1) [1 - e - η (sin ⁡ η + cos ⁡ η)]. {\ Displaystyle {\ begin {выровнены} F (\ eta) = - (\ gamma -1) e ^ {- \ eta} \ sin \ eta, \\ G (\ eta) = 1 + (\ gamma - 1) (1-e ^ {- \ eta} \ cos \ eta), \\ H (\ eta) = (\ gamma -1) [1-e ^ {- \ eta} (\ sin \ eta + \ cos \ eta)]. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {выровнено} F (\ eta) = - (\ gamma -1) e ^ {- \ eta} \ sin \ eta, \\ G (\ eta) = 1 + (\ gamma -1) (1-e ^ {- \ eta} \ cos \ eta), \\ H (\ eta) = (\ gamma -1) [1-e ^ {- \ eta} (\ sin \ eta + \ cos \ eta)]. \ конец {выровнено}}}

Эти решения аналогичны решению слоя Экмана.

Неосесимметричные решения

Поток принимает неосесимметричное решение с осесимметричными граничными условиями, обнаруженными Хьюиттом, Даком и Фостером. Определив

η = Ω ν z, γ = Γ Ω, u = r Ω [f ′ (η) + ϕ (η) cos ⁡ 2 θ], v = r Ω [g (η) - ϕ (η) грех ⁡ 2 θ], вес знак равно - 2 ν Ω е (η), {\ displaystyle \ eta = {\ sqrt {\ frac {\ Omega} {\ nu}}} z, \ quad \ gamma = {\ frac { \ Gamma} {\ Omega}}, \ quad u = r \ Omega [f '(\ eta) + \ phi (\ eta) \ cos 2 \ theta], \ quad v = r \ Omega [g (\ eta) - \ phi (\ eta) \ sin 2 \ theta], \ quad w = -2 {\ sqrt {\ nu \ Omega}} f (\ eta),}{\displaystyle \eta ={\sqrt {\frac {\Omega }{\nu }}}z,\quad \gamma ={\frac {\Gamma }{\Omega }},\quad u=r\Omega [f'(\eta)+\phi (\eta)\cos 2\theta ],\quad v=r\Omega [g(\eta)-\phi (\eta)\sin 2\theta ],\quad w=-2{\sqrt {\nu \Omega }}f(\eta),}

и основные уравнения:

f ‴ + 2 ff ″ - f ′ 2 - ϕ 2 + g 2 = γ 2, g ″ + 2 (fg ′ - f ′ g) = 0, ϕ ″ + 2 (f ϕ ′ - f ′ ϕ) = 0, { \ displaystyle {\ begin {align} f '' '+ 2ff' '- f' ^ {2} - \ phi ^ {2} + g ^ {2} = \ gamma ^ {2}, \\ g '' +2 (fg'-f'g) = 0, \\\ phi '' +2 (f \ phi '-f' \ phi) = 0, \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}f'''+2ff''-f'^{2}-\phi ^{2}+g^{2}=\gamma ^{2},\\g''+2(fg'-f'g)=0,\\\phi ''+2(f\phi '-f'\phi)=0,\end{aligned}}}

с граничными условиями

е (0) знак равно f ′ (0) = ϕ (0) = g (0) - 1 = f ′ (∞) = ϕ (∞) = g (∞) - γ = 0. {\ displaystyle f (0) = f '(0) = \ phi (0) = g (0) -1 = f' (\ infty) = \ phi (\ infty) = g (\ infty) - \ gamma = 0.}{\displaystyle f(0)=f'(0)=\phi (0)=g(0)-1=f'(\infty)=\phi (\infty)=g(\infty)-\gamma =0.}

Решение найдено путем численного интегрирования для - 0,14485 ≤ γ ≤ 0 {\ displaystyle - 0.14485 \ leq \ gamma \ leq 0}{\ displaystyle -0.14485 \ leq \ gamma \ leq 0} .

Два вращающихся коаксиальных диска

Эту проблему решали Джордж Кейт Бэтчелор (1951), Кит Стюартсон (1952) и многих других исследователей. Здесь решение непростое из-за дополнительной шкалы длины, наложенной в задаче, то есть расстояния h {\ displaystyle h}h между двумя дисками. Кроме того, уникальность и существование устойчивого решения также зависят от соответствующего числа Рейнольдса R e = Ω h 2 / ν {\ displaystyle Re = \ Omega h ^ {2} / \ nu}{\ displaystyle Re = \ Omega h ^ {2} / \ nu} .. Тогда граничные условия для жидкости 0 < z < h {\displaystyle 0{\ displaystyle 0 <z <h} :

u = 0, v = Ω r, w = 0 для z = 0 {\ displaystyle u = 0, \ quad v = \ Omega r, \ quad w = 0 \ quad {\ text {for}} z = 0}{\ displaystyle u = 0, \ quad v = \ Omega r, \ quad w = 0 \ quad {\ text {для }} z = 0}
u = 0, v = Γ r, w = 0 для z = h. {\ displaystyle u = 0, \ quad v = \ Gamma r, \ quad w = 0 \ quad {\ text {for}} z = h.}{\ displaystyle u = 0, \ quad v = \ Gamma r, \ quad w Знак равно 0 \ quad {\ text {for}} z = h.}

в терминах η {\ displaystyle \ eta}\ eta , расположение верхней стены просто η = Ω / ν h = R e 1/2 {\ displaystyle \ eta = {\ sqrt {\ Omega / \ nu}} h = Re ^ { 1/2}}{\ displaystyle \ eta = {\ sqrt {\ Omega / \ nu}} h = Re ^ {1/2}} . Таким образом, вместо скейлингов

η = Ω ν z, γ = Γ Ω, u = r Ω F ′ (η), v = r Ω G (η), w = - 2 ν Ω F (η) { \ Displaystyle {\ begin {align} \ eta = {\ sqrt {\ frac {\ Omega} {\ nu}}} z, \ quad \ gamma = {\ frac {\ Gamma} {\ Omega}}, \ quad u = r \ Omega F '(\ eta), \ quad v = r \ Omega G (\ eta), \ quad w = -2 {\ sqrt {\ nu \ Omega}} F (\ eta) \ end {выровнено} }}{\displaystyle {\begin{aligned}\eta ={\sqrt {\frac {\Omega }{\nu }}}z,\quad \gamma ={\frac {\Gamma }{\Omega }},\quad u=r\Omega F'(\eta),\quad v=r\Omega G(\eta),\quad w=-2{\sqrt {\nu \Omega }}F(\eta)\end{aligned}}}

, использованное ранее, удобно ввести следующее преобразование:

ξ = R e - 1/2 η, f = R e - 1/2 F, g = G {\ displaystyle {\ begin {align } \ xi = Re ^ {- 1/2} \ eta, \ quad f = Re ^ {- 1/2} F, \ quad g = G \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ xi = Re ^ {- 1/2} \ eta, \ quad f = Re ^ {- 1/2} F, \ quad g = G \ end {выровнено}}}

, так что определяющие уравнения становятся

R e - 1 f ‴ + 2 ff ″ - f ′ 2 + g 2 = λ, R e - 1 g ″ + 2 (fg ′ - f ′ g) = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} Re ^ {- 1} f '' '+ 2ff' '- f' ^ {2} + g ^ {2} = \ lambda, \\ Re ^ {- 1} g '' + 2 (fg'-f ' g) = 0 \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}Re^{-1}f'''+2ff''-f'^{2}+g^{2}=\lambda,\\Re^{-1}g''+2(fg'-f'g)=0\end{aligned}}}

с шестью граничными условиями

f ′ = 0, g = 1, f = 0 для ξ = 0 {\ displaystyle f '= 0, \ quad g = 1, \ quad f = 0 \ quad {\ text {for}} \ xi = 0}{\displaystyle f'=0,\quad g=1,\quad f=0\quad {\text{ for }}\xi =0}
f ′ = 0, g = γ, f = 0 for ξ = 1. {\ displaystyle f '= 0, \ quad грамм = \ gamma, \ quad f = 0 \ quad {\ text {for}} \ xi = 1.}{\displaystyle f'=0,\quad g=\gamma,\quad f=0\quad {\text{for }}\xi =1.}

, а давление определяется как

p - po ρ = 1 2 λ r 2 Ω 2 - 2 ν Ω (R ef 2 + f ′). {\ displaystyle {\ frac {p-p_ {o}} {\ rho}} = {\ frac {1} {2}} \ lambda r ^ {2} \ Omega ^ {2} -2 \ nu \ Omega ( Ref ^ {2} + f ').}{\displaystyle {\frac {p-p_{o}}{\rho }}={\frac {1}{2}}\lambda r^{2}\Omega ^{2}-2\nu \Omega (Ref^{2}+f').}

Здесь шесть граничных условий, потому что давление неизвестно ни на верхней, ни на нижней стенке; λ {\ displaystyle \ lambda}\ lambda должен быть получен как часть решения. Для большого числа Рейнольдса R e ≫ 1 {\ displaystyle Re \ gg 1}{\ displaystyle Re \ gg 1} , Бэтчелор утверждал, что жидкость в ядре будет вращаться с постоянной скоростью, окруженной двумя пограничными слоями на каждом диске в течение γ ≥ 0 {\ displaystyle \ gamma \ geq 0}{\ displaystyle \ gamma \ geq 0} и будет два равномерных потока, вращающихся в противоположных направлениях, толщиной ξ = 1/2 {\ displaystyle \ xi = 1/2}{\ displaystyle \ xi = 1/2} для γ = - 1 {\ displaystyle \ gamma = -1}{\ displaystyle \ gamma = -1} . Однако Стюартсон предсказал, что для γ = 0, - 1 {\ displaystyle \ gamma = 0, -1}{\ displaystyle \ gamma = 0, -1} жидкость в керне не будет вращаться на R e ≫ 1 {\ displaystyle Re \ gg 1}{\ displaystyle Re \ gg 1} , но осталось только два пограничных слоя на каждом диске. Оказывается, предсказания Стюартсона оказались верными.

Существует также точное решение, если два диска вращаются вокруг разных осей, но для γ = 1 {\ displaystyle \ gamma = 1}\ gamma = 1 .

Applications

Von Kármán swirling Flow находит свое применение в широком диапазоне областей, включая вращающиеся машины, системы фильтрации, компьютерные запоминающие устройства, приложения теплопередачи и массообмена, проблемы, связанные с горением, планетные образования, геофизические приложения и т. д.

Ссылки

Библиография

Последняя правка сделана 2021-06-18 05:26:39
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте