Закрученный поток Фон Кармана - это поток, созданный равномерно вращающимся бесконечно длинным плоским диском, названным в честь Теодор фон Карман, который решил проблему в 1921 году. Эта проблема используется в качестве модели для центробежных вентиляторов или компрессоров. Этот поток классифицируется по категории стационарных потоков, в которых завихренность, генерируемая на твердой поверхности, предотвращается от распространения далеко за счет встречной конвекции, другими примерами являются пограничный слой Блазиуса с всасывание, точка застоя потока и т. д.
Содержание
- 1 Описание потока
- 2 Нет вращения на бесконечности
- 3 Жесткое вращение тела на бесконечности
- 3.1 Почти вращается с одинаковой скоростью,
- 3.2 Неосесимметричные решения
- 4 Два вращающихся коаксиальных диска
- 5 Приложения
- 6 Ссылки
- 7 Библиография
Flow описание
Рассмотрим плоский диск бесконечного радиуса, вращающийся с постоянной угловой скоростью в жидкости, которая изначально находится повсюду. Радиальное движение жидкости наружу вблизи диска из-за центробежной силы должно сопровождаться осевым движением жидкости внутрь к диску для сохранения массы. Теодор фон Карман заметил, что основные уравнения и граничные условия допускают такое решение, что и являются функциями только , где - компоненты скорости в цилиндрической координаты с - ось вращения, а - плоский диск. Из-за симметрии давление жидкости может зависеть только от радиальной и осевой координаты . Тогда уравнение неразрывности и уравнения несжимаемой жидкости Навье – Стокса сводятся к
Нет вращения на бесконечности
Закрученный поток Фон Кармана
Поскольку нет вращения в большом количестве , становится независимым от в результате в . Следовательно, и .
Здесь граничные условия для жидкости равны
Самоподобное решение получается путем введения следующего преобразования,
Самоподобные уравнения
с граничными условиями для жидкости are
Связанные обыкновенные дифференциальные уравнения необходимо решать численно, и точное решение дает Кохран (1934). Осевая скорость притока на бесконечности, полученная в результате численного интегрирования, составляет , поэтому общий отток объемный поток через цилиндрическую поверхность радиусом равен . Касательное напряжение на диске составляет . Если пренебречь краевыми эффектами, крутящий момент, создаваемый жидкостью на диске с большим (), но конечный радиус равен
Коэффициент добавляется для учета обеих сторон диска. На основе численного решения крутящий момент определяется как . Крутящий момент, предсказанный теорией, отлично согласуется с экспериментом на больших дисках вплоть до числа Рейнольдса примерно , поток становится турбулентным при высоком числе Рейнольдса.
Вращение твердого тела на бесконечности
Эта проблема была рассмотрена Джорджем Китом Бэтчелором (1951). Пусть будет угловой скоростью на бесконечности. Теперь давление в равно . Следовательно, и .. Тогда граничные условия для жидкости равны
Автомодельное решение получается введением следующего преобразования:
самоподобный e цитаты:
с граничными условиями для жидкости равно
Решение легко получить только для то есть жидкость на бесконечности вращается в том же смысле, что и пластина. Для решение более сложное в том смысле, что возникают ветви с множеством решений. Эванс (1969) получил решение для диапазона . Зандберген и Дейкстра показали, что решение демонстрирует сингулярность квадратного корня как и нашли ветвь второго решения, сливающуюся с решение, найденное для . Решение второй ветви продолжается до , после чего обнаруживается, что возникает ветвь третьего решения. Они также обнаружили бесконечное количество ветвей решения вокруг точки . Бодойни (1975) вычислил решения для больших отрицательных значений , показал, что решение разрушается при . Если вращающейся пластине разрешено иметь равномерную скорость всасывания на пластине, то значимое решение может быть получено для .
Для (представляет вращение твердого тела, вся жидкость вращается с одинаковой скоростью) раствор достигает вращения твердого тела на бесконечности колебательным образом от пластины. Осевая скорость отрицательна для и положительна для . Существует явное решение, когда .
почти вращается с той же скоростью,
Поскольку оба граничных условия для почти равны единице, можно ожидать, что решение для будет немного отклоняются от единицы. Соответствующие шкалы для и могут быть получены из автомодельных уравнений. Поэтому,
Т o приближение первого порядка (без учета ), автомодельное уравнение принимает вид
с точными решениями
Эти решения аналогичны решению слоя Экмана.
Неосесимметричные решения
Поток принимает неосесимметричное решение с осесимметричными граничными условиями, обнаруженными Хьюиттом, Даком и Фостером. Определив
и основные уравнения:
с граничными условиями
Решение найдено путем численного интегрирования для .
Два вращающихся коаксиальных диска
Эту проблему решали Джордж Кейт Бэтчелор (1951), Кит Стюартсон (1952) и многих других исследователей. Здесь решение непростое из-за дополнительной шкалы длины, наложенной в задаче, то есть расстояния между двумя дисками. Кроме того, уникальность и существование устойчивого решения также зависят от соответствующего числа Рейнольдса .. Тогда граничные условия для жидкости
в терминах , расположение верхней стены просто . Таким образом, вместо скейлингов
, использованное ранее, удобно ввести следующее преобразование:
, так что определяющие уравнения становятся
с шестью граничными условиями
, а давление определяется как
Здесь шесть граничных условий, потому что давление неизвестно ни на верхней, ни на нижней стенке; должен быть получен как часть решения. Для большого числа Рейнольдса , Бэтчелор утверждал, что жидкость в ядре будет вращаться с постоянной скоростью, окруженной двумя пограничными слоями на каждом диске в течение и будет два равномерных потока, вращающихся в противоположных направлениях, толщиной для . Однако Стюартсон предсказал, что для жидкость в керне не будет вращаться на , но осталось только два пограничных слоя на каждом диске. Оказывается, предсказания Стюартсона оказались верными.
Существует также точное решение, если два диска вращаются вокруг разных осей, но для .
Applications
Von Kármán swirling Flow находит свое применение в широком диапазоне областей, включая вращающиеся машины, системы фильтрации, компьютерные запоминающие устройства, приложения теплопередачи и массообмена, проблемы, связанные с горением, планетные образования, геофизические приложения и т. д.
Ссылки
Библиография
- Фон Карман, Теодор (1921). "Über Luminare und Turbulente Reibung" (PDF). Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 1 (4): 233–252. doi : 10.1002 / zamm.19210010401.
- Бэтчелор, Джордж Кейт (1951). «Заметка о классе решений уравнений Навье-Стокса, представляющих установившееся вращательно-симметричное течение». Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики. 4 : 29–41. doi : 10.1093 / qjmam / 4.1.29.
- Стюартсон, К. (1953). «О потоке между двумя вращающимися коаксиальными дисками». Математические труды Кембриджского философского общества. 49 (2): 333. doi : 10.1017 / S0305004100028437.
- Бэтчелор, Джордж Кейт (2000). Введение в гидродинамику. Пресса Кембриджского университета. ISBN 978-0521663960.
- Ландау, Лев Д.. Механика жидкости. ISBN 978-0750627672.
- Шлихтинг, Герман (1960). Теория пограничного слоя. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.