Тензор вязких напряжений

Тензор вязких напряжений - это тензор, используемый в механике сплошных сред для моделирования части напряжения в точке в некотором материале, которая может быть отнесена к скорости деформации, скорости, при которой она деформируя вокруг этой точки.

Тензор вязких напряжений формально аналогичен тензору упругих напряжений (тензору Коши), который описывает внутренние силы в упругом материале из-за его деформации. Оба тензора отображают вектор нормали элемента поверхности с плотностью и направлением напряжения, действующего на этот элемент поверхности. Однако упругое напряжение возникает из-за величины деформации (деформация ), а вязкое напряжение связано со скоростью изменения деформации во времени (скорость деформации). В вязкоупругих материалах, поведение которых является промежуточным между поведением жидкостей и твердых тел, тензор общих напряжений включает как вязкие, так и упругие («статические») компоненты. Для полностью жидкого материала термин «упругость» сводится к гидростатическому давлению.

. В произвольной системе координат вязкое напряжение ε и скорость деформации E в определенный момент и время могут быть представлены как 3 × 3 матрицы действительных чисел. Во многих ситуациях между этими матрицами существует приблизительно линейная связь; то есть тензор вязкости четвертого порядка μ такой, что ε = μE. Тензор μ имеет четыре индекса и состоит из 3 × 3 × 3 × 3 действительных чисел (из которых только 21 независимый). В ньютоновской жидкости, по определению, соотношение между ε и E является совершенно линейным, а тензор вязкости μ не зависит от состояния движения или напряжения в жидкости. Если жидкость является изотропной, а также ньютоновской, тензор вязкости μ будет иметь только три независимых реальных параметра: коэффициент объемной вязкости, который определяет сопротивление среды постепенному равномерному сжатию; коэффициент динамической вязкости, который выражает сопротивление постепенному сдвигу, и коэффициент вращательной вязкости, который возникает в результате связи между потоком текучей среды и вращением отдельных частиц. В отсутствие такой связи тензор вязких напряжений будет иметь только два независимых параметра и будет симметричным. В неньютоновских жидкостях, с другой стороны, соотношение между ε и E может быть чрезвычайно нелинейным, и ε может даже зависеть от других характеристик потока помимо E.

Содержание

• 1 Определение
  • 1.1 Вязкое напряжение в зависимости от упругого
  • 1.2 Тензор вязкого напряжения
  • 1.3 Симметрия
• 2 Физические причины вязкого напряжения
• 3 Уравнение вязкости
  • 3.1 Тензор скорости деформации
  • 3.2 Общие потоки
  • 3.3 Общие ньютоновские среды
• 4 Сдвиг и объемное вязкое напряжение
  • 4.1 Изотропный ньютоновский случай
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Определение

Вязкий против упругого напряжения

Внутренние механические напряжения в сплошной среде обычно связаны с деформацией материала из некоторого «расслабленного» (ненапряженного) состояния. Эти напряжения обычно включают в себя компонент упругого («статического») напряжения, который связан с текущей величиной деформации и действует для восстановления материала в его состояние покоя; и компонент вязкого напряжения, который зависит от скорости, с которой деформация изменяется со временем, и противодействует этому изменению.

Тензор вязких напряжений

Как и общие и упругие напряжения, вязкие напряжения вокруг определенной точки в материале в любое время могут быть смоделированы с помощью тензора напряжений, a линейная связь между вектором направления нормали идеальной плоскости, проходящей через точку, и локальным элементом на этой плоскости в этой точке.

В любой выбранной системе координат с осями, пронумерованными 1, 2, 3, этот тензор вязких напряжений может быть представлен в виде матрицы 3 × 3 действительных чисел:

$\epsilon \; (p,\; t)\; =\; [\epsilon \; 11\; \epsilon \; 12\; \epsilon \; 13\; \epsilon \; 21\; \epsilon \; 22\; \epsilon \; 23\; \epsilon \; 31\; \epsilon \; 32\; \epsilon \; 33].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; (p,\; t)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{11\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{12\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{13\}\; \backslash \backslash \backslash \; varepsilon\; \_\; \{21\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{\; 22\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{23\}\; \backslash \backslash \backslash \; varepsilon\; \_\; \{31\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{32\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{33\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash ,.\}$

Обратите внимание, что эти числа обычно меняются с точкой p и временем t.

Рассмотрим бесконечно малый плоский элемент поверхности с центром в точке p, представленный вектором dA, длина которого равна площади элемента и направление которого перпендикулярно ему. Пусть dF будет бесконечно малой силой из-за вязкого напряжения, которое приложено через этот элемент поверхности к материалу на стороне, противоположной dA. Компоненты dF вдоль каждой координатной оси тогда задаются как

$d\; F\; i\; =\; \sum \; j\; \epsilon \; i\; j\; d\; A\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; dF\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; \backslash ,\; dA\_\; \{j\}\; \backslash ,.\}$

В любом материале тензор полного напряжения σ является суммой этого тензора вязкого напряжения ε, тензор упругих напряжений τ и гидростатическое давление p. В идеально текучем материале, который по определению не может иметь статического напряжения сдвига, тензор упругих напряжений равен нулю:

$\sigma \; ij\; =\; -\; p\; \delta \; ij\; +\; \epsilon \; ij,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{ij\}\; =\; -\; p\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; +\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; \backslash ,,\}$

где δ ij - это единичный тензор, такой, что δ ij равно 1 если i = j и 0, если i ≠ j.

В то время как вязкие напряжения создаются физическими явлениями, которые сильно зависят от природы среды, тензор вязких напряжений ε является только описанием локальных мгновенных сил между соседними частями материала, а не свойством материал.

Симметрия

Игнорирование крутящего момента на элементе из-за потока («внешний» крутящий момент), вязкий «собственный» крутящий момент на единицу объема на элементе жидкости записывается (как антисимметричный тензор) как

$\tau \; ij\; =\; \epsilon \; ij\; -\; \epsilon \; ji\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; -\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ji\}\}$

и представляет скорость изменения собственного углового момента плотность со временем. Если частицы имеют вращательные степени свободы, это будет означать собственный угловой момент, и если этот угловой момент может быть изменен столкновениями, возможно, что этот собственный угловой момент может измениться во времени, что приведет к собственному крутящему моменту, который не равен нулю, что будет означать, что тензор вязких напряжений будет иметь антисимметричный компонент с соответствующим коэффициентом вращательной вязкости. Если частицы жидкости имеют пренебрежимо малый угловой момент или если их угловой момент существенно не связан с внешним угловым моментом, или если время установления равновесия между внешней и внутренней степенями свободы практически равно нулю, крутящий момент будет равен нулю и тензор вязких напряжений будет симметричным. Внешние силы могут привести к асимметричной составляющей тензора напряжений (например, ферромагнитные жидкости, которые могут испытывать крутящий момент из-за внешних магнитных полей ).

Физические причины вязкого напряжения

В твердом материале упругую составляющую напряжения можно отнести к деформации связей между атомами и молекул материала и могут включать в себя напряжения сдвига. В жидкости упругое напряжение можно отнести к увеличению или уменьшению среднего расстояния между частицами, что влияет на скорость их столкновения или взаимодействия и, следовательно, на передачу импульса через жидкость; поэтому оно связано с микроскопической термической случайной составляющей движения частиц и проявляется в виде напряжения изотропного гидростатического давления.

Вязкая составляющая напряжения, с другой стороны, возникает из макроскопической средней скорости частиц. Это может быть связано с трением или диффузией частиц между соседними частями среды, которые имеют разные средние скорости.

Уравнение вязкости

Тензор скорости деформации

В плавном потоке скорость, с которой локальная деформация среды изменяется во времени (скорость деформации), может аппроксимировать тензором скорости деформации E (p, t), который обычно является функцией точки p и времени t. По отношению к любой системе координат это может быть выражено матрицей 3 × 3.

Тензор скорости деформации E (p, t) может быть определен как производная тензора деформации e (p, t) по времени, или, эквивалентно, как симметричная часть градиента (производная по пространству) вектора скорости потока v (p, t):

$E\; =\; \partial \; e\; \partial \; t\; =\; 1\; 2\; ((\nabla \; v)\; +\; (\nabla \; v)\; T),\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; e\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; ((\backslash \; nabla\; v)\; +\; (\; \backslash \; nabla\; v)\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,,\}$

где ∇v обозначает градиент скорости. В декартовых координатах ∇v - это матрица Якоби,

$(\nabla \; v)\; ji\; =\; \partial \; vj\; \partial \; xi\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; nabla\; v)\; \_\; \{ji\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{j\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\}$

и, следовательно,

$E\; ij\; =\; \partial \; eij\; \partial \; t\; =\; 1\; 2\; (\partial \; vj\; \partial \; xi\; +\; \partial \; vi\; \partial \; xj).\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{ij\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; e\_\; \{ij\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{j\}\})\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,.\}$

В любом случае тензор скорости деформации E (p, t) выражает скорость, с которой средняя скорость изменяется в среде при удалении от точки p - за исключением изменений, вызванных вращением среды вокруг p как твердого тела, которые не изменяют относительные расстояния между частицами и вносят вклад во вращательную часть вязкого напряжения только за счет вращения самих отдельных частиц. (Эти изменения включают завихренность потока, которая представляет собой curl (вращательное) ∇ × v скорости; которая также является антисимметричной частью градиента скорости ∇v.)

Общие потоки

Тензор вязких напряжений является только линейной аппроксимацией напряжений вокруг точки p и не учитывает члены более высокого порядка своего ряда Тейлора. Однако почти во всех практических ситуациях этими членами можно пренебречь, поскольку они становятся незначительными в масштабах размеров, где возникает вязкое напряжение и влияет на движение среды. То же самое можно сказать о тензоре скорости деформации E как о представлении картины скорости вокруг p.

Таким образом, линейных моделей, представленных тензорами E и ε, почти всегда достаточно для описания вязкого напряжения и скорости деформации вокруг точки с целью моделирования ее динамики. В частности, скорость локальной деформации E (p, t) - единственное свойство скоростного потока, которое напрямую влияет на вязкое напряжение ε (p, t) в данной точке.

С другой стороны, взаимосвязь между E и ε может быть довольно сложной и сильно зависит от состава, физического состояния и микроскопической структуры материала. Это также часто очень нелинейно и может зависеть от деформаций и напряжений, которые ранее испытывал материал, который сейчас находится в рассматриваемой точке.

Общая ньютоновская среда

Среда называется ньютоновской, если вязкое напряжение ε (p, t) является линейной функцией скорости деформации E (p, t), и в остальном эта функция не зависит от напряжений и движения жидкости вокруг p. Никакая настоящая жидкость не является полностью ньютоновской, но можно предположить, что многие важные жидкости, включая газы и воду, являются таковыми, если напряжения потока и скорости деформации не слишком высоки.

В общем случае линейная связь между двумя тензорами второго порядка является тензором четвертого порядка. В частности, в ньютоновской среде вязкое напряжение и скорость деформации связаны соотношением μ:

$\epsilon \; i\; j\; =\; \sum \; k\; l\; \mu \; i\; j\; k\; l\; E\; k\; l.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{kl\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}\; \_\; \{ijkl\}\; E\_\; \{kl\}\; \backslash ,.\}$

Коэффициент вязкости μ равен свойство ньютоновского материала, которое по определению не зависит от v или σ.

Тензор скорости деформации E (p, t) по определению симметричен, поэтому он имеет только шесть линейно независимых элементов. Следовательно, тензор вязкости μ имеет только 6 × 9 = 54 степени свободы, а не 81. В большинстве жидкостей тензор вязких напряжений также является симметричным, что дополнительно уменьшает количество параметров вязкости до 6 × 6 = 36.

Сдвиг и объемное вязкое напряжение

При отсутствии вращательных эффектов тензор вязких напряжений будет симметричным. Как и в случае любого симметричного тензора, тензор вязких напряжений ε может быть выражен как сумма бесследового симметричного тензора ε и скалярного кратного ε единичного тензора. В координатной форме

$\epsilon \; i\; j\; =\; \epsilon \; i\; j\; v\; +\; \epsilon \; i\; j\; s\; \epsilon \; i\; j\; v\; =\; 1\; 3\; \delta \; i\; j\; \sum \; k\; \epsilon \; k\; k\; \epsilon \; i\; j\; s\; =\; \epsilon \; i\; j\; -\; 1\; 3\; \delta \; i\; j\; \sum \; k\; \epsilon \; k\; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{\backslash \; text\; \{v\}\}\; +\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{\backslash \; text\; \{s\}\}\; \backslash \backslash \; [3pt\; ]\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{\backslash \; text\; \{v\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{kk\}\; \backslash \backslash \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{\backslash \; text\; \{s\}\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{kk\}\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Это разложение не зависит от системы координат и, следовательно, имеет физическое значение. Постоянная часть ε тензора вязких напряжений проявляется как своего рода давление или объемное напряжение, которое действует одинаково и перпендикулярно на любую поверхность независимо от ее ориентации. В отличие от обычного гидростатического давления, оно может появиться только при изменении деформации, противодействуя изменению; и может быть отрицательным.

Изотропный ньютоновский случай

В изотропной ньютоновской среде (т. Е. Свойства которой одинаковы во всех направлениях) каждая часть тензора напряжений связана с соответствующей частью деформации. тензор скорости.

$\epsilon \; v\; (p,\; t)\; знак\; равно\; \mu \; v\; E\; v\; (p,\; t),\; \epsilon \; s\; (p,\; t)\; =\; \mu \; s\; E\; s\; (p,\; t),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{\backslash \; text\; \{v\}\}\; (p,\; t)\; =\; \backslash \; mu\; ^\; \{\backslash \; text\; \{v\}\}\; E\; ^\; \{\backslash \; text\; \{v\}\}\; (p,\; t)\; \backslash ,,\; \backslash \backslash \backslash \; varepsilon\; ^\; \{\backslash \; text\; \{s\}\}\; (p,\; t)\; =\; \backslash \; mu\; ^\; \{\backslash \; text\; \{s\}\}\; E\; ^\; \{\backslash \; text\; \{s\}\}\; (p,\; t)\; \backslash ,,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где E и E - скалярная изотропная и бесследная части тензора скорости деформации E, а μ и μ - два действительных числа. Таким образом, в этом случае тензор вязкости μ имеет только два независимых параметра.

Часть E с нулевым следом E представляет собой симметричный тензор 3 × 3, который описывает скорость, с которой среда деформируется путем сдвига, игнорируя любые изменения ее объема. Таким образом, часть ε с нулевым следом ε представляет собой знакомое напряжение вязкого сдвига, которое связано с прогрессирующей деформацией сдвига. Это вязкое напряжение, возникающее в жидкости, движущейся через трубу с однородным поперечным сечением (поток Пуазейля ) или между двумя параллельными движущимися пластинами (a поток Куэтта ) и сопротивляется этим движениям.

Часть E из E действует как скалярный множитель (как ε), средняя скорость расширения среды вокруг рассматриваемой точки. (Он представлен в любой системе координат диагональной матрицей 3 × 3 с равными значениями по диагонали.) Численно он равен 1/3 расходимости скорости

$\nabla \; \cdot \; v\; =\; \sum \; К\; \partial \; vk\; \partial \; xk,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; v\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{k\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{k\}\}\}\; \backslash ,,\}$

который в свою очередь - относительная скорость изменения объема жидкости из-за потока.

Следовательно, скалярная часть ε ε представляет собой напряжение, которое может наблюдаться, когда материал сжимается или расширяется с одинаковой скоростью во всех направлениях. Это проявляется как дополнительное давление, которое появляется только во время сжатия материала, но (в отличие от истинного гидростатического давления) пропорционально скорости изменения сжатия, а не величине сжатия, и исчезает, как только как громкость перестает меняться.

Эта часть вязкого напряжения, обычно называемая объемной вязкостью или объемной вязкостью, часто важна в вязкоупругих материалах и отвечает за затухание для волны давления в среде. Объемной вязкостью можно пренебречь, если материал можно рассматривать как несжимаемый (например, при моделировании течения воды в канале).

Коэффициент μ, часто обозначаемый η, называется коэффициентом объемной вязкости (или «второй вязкости»); а μ - коэффициент обычной (сдвиговой) вязкости.

См. Также

• Уравнение завихренности
• Уравнения Навье – Стокса

Ссылки