Виртуальная черная дыра

редактировать

В квантовой гравитации виртуальная черная дыра представляет собой черный дыра, которая существует временно в результате квантовой флуктуации пространства-времени. Это пример квантовой пены и гравитационный аналог виртуальных пар электрон - позитрон, обнаруженных в квантовой электродинамике.. Теоретические аргументы предполагают, что виртуальные черные дыры должны иметь массу порядка планковской массы, время жизни около планковского времени и иметь числовую плотность примерно одну на планковскую. объем.

Возникновение виртуальных черных дыр на шкале Планка является следствием соотношения неопределенностей

Δ R μ Δ x μ ≥ ℓ P 2 = ℏ G c 3 {\ displaystyle \ Delta R _ {\ mu} \ Delta x _ {\ mu} \ geq \ ell _ {P} ^ {2} = {\ frac {\ hbar G} {c ^ {3}}}}

\ Delta R _ {{\ mu}} \ Delta x _ {{\ mu}} \ geq \ ell _ {{P}} ^ {2} = {\ frac {\ hbar G } {c ^ {3}}}

где $R μ {\ displaystyle R _ {\ mu}}$ $R _ {{\ mu}}$ - радиус кривизны небольшой области пространства-времени; $x μ {\ displaystyle x _ {\ mu}}$ $x _ {{\ mu}}$ - координата малого домена; $ℓ P {\ displaystyle \ ell _ {P}}$ $\ ell _ {{P}}$ - длина Планка ; $ℏ {\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ - постоянная Планка ; $G {\ displaystyle G}$ $G$ - гравитационная постоянная Ньютона ; $c {\ displaystyle c}$ $c$ - скорость света. Эти соотношения неопределенностей являются еще одной формой принципа неопределенности Гейзенберга в шкале Планка.

Доказательство: действительно, эти соотношения неопределенностей могут быть получены на основе уравнений Эйнштейна

$G μ ν + Λ g μ ν знак равно 8 π G c 4 T μ ν {\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T_ {\ mu \ nu}}$ $G _ {{\ mu \ nu}} + \ Lambda g _ {{\ mu \ nu}} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {{\ mu \ nu}}$

где $G μ ν = R μ ν - R 2 g μ ν {\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} = R _ {\ mu \ nu} - {R \ over 2} g _ {\ mu \ nu}}$ $G _ {{\ mu \ nu}} = R _ {{\ mu \ nu}} - {R \ over 2} g _ {{\ mu \ nu}}$ - это тензор Эйнштейна, который объединяет тензор Риччи, скалярную кривизну и метрический тензор, $Λ {\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ - космологическая постоянная, а $T μ ν {\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}}$ $T _ {\ mu \ nu}$ тензор энергии-импульса материи, $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ - это иррациональное число, первоначально введенное как отношение длины окружности к ее диаметр, $c {\ displaystyle c}$ $c$ - скорость света, $G {\ displaystyle G}$ $G$ - Гравитационная постоянная Ньютона .

При выводе своих уравнений Эйнштейн предположил, что физическое пространство-время является римановым, то есть искривленным. Небольшая его область - это примерно плоское пространство-время.

Для любого тензорного поля $N μ ν... {\ displaystyle N _ {\ mu \ nu...}}$ $N _ {{\ mu \ nu...}}$ значение $N μ ν... - g {\ displaystyle N _ {\ mu \ nu...} {\ sqrt {-g}}}$ $N _ {{\ mu \ nu...}} {\ sqrt {-g}}$ мы можем назвать тензорной плотностью, где $g {\ displaystyle g}$ $g$ - определитель метрического тензора $g μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ . Интеграл $∫ N μ ν... - gd 4 x {\ displaystyle \ int N _ {\ mu \ nu...} {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} x}$ $\ int N _ {{\ mu \ nu...}} {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} x$ - тензор, если область интегрирования маленький. Это не тензор, если область интегрирования не мала, потому что тогда она состоит из суммы тензоров, расположенных в разных точках, и не преобразуется каким-либо простым образом при преобразовании координат. Здесь мы рассматриваем только небольшие домены. Это также верно для интегрирования по трехмерной гиперповерхности $S ν {\ displaystyle S ^ {\ nu}}$ $S ^ {{\ nu}}$ .

Таким образом, уравнения Эйнштейна для небольшого пространства -временной домен может быть интегрирован в трехмерную гиперповерхность $S ν {\ displaystyle S ^ {\ nu}}$ $S ^ {{\ nu}}$ . Имеем

1 4 π ∫ (G μ ν + Λ g μ ν) - gd S ν = 2 G c 4 ∫ T μ ν - gd S ν {\ displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int \ left (G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} \ right) {\ sqrt {-g}} \, dS ^ {\ nu} = {2G \ over c ^ {4 }} \ int T _ {\ mu \ nu} {\ sqrt {-g}} \, dS ^ {\ nu}}

{\ frac {1} {4 \ pi}} \ int \ left (G _ {{\ mu \ nu}} + \ Lambda g _ {{\ mu \ nu}} \ right) {\ sqrt {-g}} \, dS ^ {{\ nu}} = {2G \ над c ^ {4}} \ int T _ {{\ mu \ nu}} {\ sqrt {-g}} \, dS ^ {{\ nu}}

Поскольку интегрируемая пространственно-временная область мала, мы получаем тензорное уравнение

$R μ Знак равно 2 G c 3 P μ {\ displaystyle R _ {\ mu} = {\ frac {2G} {c ^ {3}}} P _ {\ mu}}$ $R _ {{\ mu}} = { \ frac {2G} {c ^ {3}}} P _ {{\ mu}}$

где $P μ = 1 c ∫ T μ ν - ГД S ν {\ Displaystyle P _ {\ mu} = {\ frac {1} {c}} \ int T _ {\ mu \ nu} {\ sqrt {-g}} \, dS ^ {\ nu} }$ $P _ {{\ mu}} = {\ frac {1} {c}} \ int T _ {{\ mu \ nu}} {\ sqrt { -g}} \, dS ^ {{\ nu}}$ - составляющая 4-импульса материи, $R μ = 1 4 π ∫ (G μ ν + Λ g μ ν) - gd S ν {\ displaystyle R _ {\ mu} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int \ left (G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} \ right) {\ sqrt {-g }} \, dS ^ {\ nu}}$ $R _ {{\ mu}} = {\ frac { 1} {4 \ pi}} \ int \ left (G _ {{\ mu \ nu}} + \ Lambda g _ {{\ mu \ nu}} \ right) {\ sqrt {-g}} \, dS ^ {{\ nu}}$ - это составляющая радиуса кривизны малого домена.

Полученное тензорное уравнение можно переписать в другом виде. Поскольку $P μ = mc U μ {\ displaystyle P _ {\ mu} = mc \, U _ {\ mu}}$ $P _ {{\ mu}} = mc \, U _ {{\ mu}}$ , тогда

R μ = 2 G c 3 mc U μ = rs U μ {\ displaystyle R _ {\ mu} = {\ frac {2G} {c ^ {3}}} mc \, U _ {\ mu} = r_ {s} \, U _ {\ mu}}

R _ {{\ mu}} = {\ frac {2G} {c ^ {3}}} mc \, U _ {{\ mu}} = r_ {s} \, U_ { {\ mu}}

где $rs {\ displaystyle r_ {s}}$ $r_ {s}$ - радиус Шварцшильда, $U μ {\ displaystyle U _ {\ mu}}$ $U _ {{\ mu}}$ - 4-скоростная, $m {\ displaystyle m}$ $m$ - это гравитационная масса. Эта запись раскрывает физический смысл значений $R μ {\ displaystyle R _ {\ mu}}$ $R _ {{\ mu}}$ как компонентов гравитационного радиуса $rs {\ displaystyle r_ {s}}$ $r_ {s}$ .

На небольшой площади пространство-время почти плоское, и это уравнение можно записать в виде оператора в виде

R ^ μ = 2 G c 3 P ^ μ = 2 G c 3 (- i ℏ) ∂ ∂ x μ знак равно - 2 я ℓ п 2 ∂ ∂ x μ {\ displaystyle {\ hat {R}} _ {\ mu} = {\ frac {2G} {c ^ {3}}} {\ hat {P}} _ {\ mu} = {\ frac {2G} {c ^ {3}}} (- i \ hbar) {\ frac {\ partial} {\ partial \, x ^ {\ mu}}} = -2i \, \ ell _ {P} ^ {2} {\ frac {\ partial} {\ partial \, x ^ {\ mu}}}}

{\ displaystyle {\ hat {R}} _ {\ mu} = {\ frac {2G} {c ^ {3}}} {\ hat { P}} _ {\ mu} = {\ frac {2G} {c ^ {3}}} (- i \ hbar) {\ frac {\ partial} {\ partial \, x ^ {\ mu}}} = -2i \, \ ell _ {P} ^ {2} {\ frac {\ partial} {\ partial \, x ^ {\ mu}}}}

или

Основное уравнение квантовая гравитация

$- 2 i ℓ P 2 ∂ ∂ x μ | Ψ (x μ)⟩ = R ^ μ | Ψ (Икс μ)⟩ {\ Displaystyle -2i \ ell _ {P} ^ {2} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ mu}}} | \ Psi (x _ {\ mu}) \ rangle = {\ hat {R}} _ {\ mu} | \ Psi (x _ {\ mu}) \ rangle}$ ${\ displaystyle -2i \ ell _ {P} ^ { 2} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ mu}}} | \ Psi (x _ {\ mu}) \ rangle = {\ hat {R}} _ {\ mu} | \ Psi (x_ {\ mu}) \ rangle}$

Тогда коммутатор операторов $R ^ μ {\ displaystyle {\ hat {R} } _ {\ mu}}$ ${\ hat R} _ {{\ mu}}$ и $x ^ μ {\ displaystyle {\ hat {x}} _ {\ mu}}$ ${ \ hat x} _ {{\ mu}}$ равно

[R ^ μ, x ^ μ] = - 2 я ℓ п 2 {\ displaystyle [{\ hat {R}} _ {\ mu}, {\ hat {x}} _ {\ mu}] = - 2i \ ell _ {P } ^ {2}}

[{\ hat R} _ {{\ mu}}, {\ hat x} _ {{\ mu }}] = - 2i \ ell _ {{P}} ^ {2}

Отсюда следуют указанные соотношения неопределенностей

$Δ R μ Δ x μ ≥ ℓ P 2 {\ displaystyle \ Delta R _ {\ mu} \ Delta x _ {\ mu} \ geq \ ell _ {P} ^ {2}}$ $\ Delta R _ {{\ mu}} \ Delta x _ {{\ mu}} \ geq \ ell _ {{P}} ^ {2}$

Подставляем значения $R μ = 2 G c 3 mc U μ {\ displaystyle R _ {\ mu} = {\ frac {2G} {c ^ {3} }} m \, c \, U _ {\ mu}}$ $R _ {{\ mu}} = {\ frac {2G} {c ^ {3}}} m \, c \, U _ {{\ mu}}$ и $ℓ P 2 = ℏ G c 3 {\ displaystyle \ ell _ {P} ^ {2} = {\ frac { \ hbar \, G} {c ^ {3}}}}$ $\ ell _ {{P}} ^ {2} = {\ frac {\ hbar \, G} {c ^ {3}}}$ и уменьшая идентичные константы с двух сторон, мы получаем принцип неопределенности Гейзенберга

Δ P μ Δ x μ = Δ (mc U μ) Δ x μ ≥ ℏ 2 {\ displaystyle \ Delta P _ {\ mu} \ Delta x _ {\ mu} = \ Delta (mc \, U _ {\ mu}) \ Delta x _ {\ mu} \ g eq {\ frac {\ hbar} {2}}}

\ Delta P _ {{\ mu}} \ Delta x _ {{\ mu}} = \ Delta (mc \, U _ {{\ mu}}) \ Delta x _ {{\ mu}} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}

В частном случае статического сферически-симметричного поля и статического распределения материи $U 0 = 1, U i = 0 (i = 1, 2, 3) {\ displaystyle U_ {0} = 1, U_ {i} = 0 \, (i = 1,2,3)}$ $U _ {{0}} = 1, U_ {i} = 0 \, (i = 1,2,3)$ и остались

Δ R 0 Δ x 0 = Δ rs Δ r ≥ ℓ P 2 {\ displaystyle \ Delta R_ {0} \ Delta x_ {0} = \ Delta r_ {s} \ Delta r \ geq \ ell _ {P} ^ {2}}

\ Delta R _ {{0}} \ Delta x _ {{0}} = \ Delta r_ {s} \ Delta r \ geq \ ell _ {{ P}} ^ {2}

где $rs {\ displaystyle r_ {s}}$ $r_ {s}$ - это радиус Шварцшильда,, $r {\ displaystyle r}$ $r$ - радиальная координата. Здесь $R 0 = rs {\ displaystyle R_ {0} = r_ {s}}$ ${\ displaystyle R_ {0} = r_ {s}}$ и $x 0 = ct = r {\ displaystyle x_ {0} = c \, t = r}$ ${\ displaystyle x_ {0} = c \, t = r}$ , поскольку вещество движется со скоростью света в масштабе Планка.

Последнее соотношение неопределенностей позволяет сделать некоторые оценки уравнений общей теории относительности в масштабе Планка. Например, уравнение для инвариантного интервала $d S {\ displaystyle dS}$ $dS$ в в решении Шварцшильда имеет вид

d S 2 знак равно (1 - rsr) c 2 dt 2 - dr 2 1 - rs / r - r 2 (d Ω 2 + sin 2 ⁡ Ω d φ 2) {\ displaystyle dS ^ {2} = \ left (1- { \ frac {r_ {s}} {r}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - {\ frac {dr ^ {2}} {1- {r_ {s}} / {r}} } -r ^ {2} (d \ Omega ^ {2} + \ sin ^ {2} \ Omega d \ varphi ^ {2})}

dS ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - {\ frac {dr ^ {2}} {1- {r_ {s}} / {r}}} - r ^ {2} (d \ Omega ^ {2} + \ sin ^ {2 } \ Omega d \ varphi ^ {2})

Заменить в соответствии с соотношениями неопределенности $rs ≈ ℓ P 2 / г {\ displaystyle r_ {s} \ приблизительно \ ell _ {P} ^ {2} / r}$ $r_ {s} \ приблизительно \ ell _ {P} ^ {2} / r$ . Получаем

d S 2 ≈ (1 - ℓ P 2 r 2) c 2 dt 2 - dr 2 1 - ℓ P 2 / r 2 - r 2 (d Ω 2 + sin 2 ⁡ Ω d φ 2) { \ displaystyle dS ^ {2} \ приблизительно \ left (1 - {\ frac {\ ell _ {P} ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - {\ frac {dr ^ {2}} {1 - {\ ell _ {P} ^ {2}} / {r ^ {2}}}} - r ^ {2} (d \ Omega ^ {2} + \ sin ^ {2} \ Omega d \ varphi ^ {2})}

{\ displaystyle dS ^ {2} \ приблизительно \ left (1 - {\ frac {\ ell _ {P} ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - {\ frac {dr ^ {2}} {1 - {\ ell _ {P} ^ {2}} / {r ^ {2}}}} - r ^ {2} (d \ Omega ^ {2} + \ sin ^ {2} \ Omega d \ varphi ^ {2})}

Видно, что на шкале Планка $r = ℓ P {\ displaystyle r = \ ell _ {P}}$ $r = \ ell _ {P}$ метрика пространства-времени ограничена длиной Планка (появляется деление на ноль), и на этой шкале есть реальные и виртуальные планковские черные дыры.

Подобные оценки могут быть сделаны в других уравнениях общей теории относительности. Например, анализ уравнения Гамильтона – Якоби для центрально-симметричного гравитационного поля в пространствах разной размерности (с помощью полученного соотношения неопределенности) указывает на предпочтение трехмерного пространства для появления виртуального черного дырки (квантовая пена, основа «ткани» Вселенной.). Это могло предопределить трехмерность наблюдаемого пространства.

Описанное выше соотношение неопределенности справедливо для сильных гравитационных полей, поскольку в любой достаточно малой области сильного поля пространство-время по существу является плоским.

Если виртуальные черные дыры существуют, они обеспечивают механизм распада протона. Это связано с тем, что, когда масса черной дыры увеличивается за счет массы, падающей в дыру, и теоретически уменьшается, когда из дыры испускается излучение Хокинга, испускаемые элементарные частицы, как правило, не такие, как те который упал. Следовательно, если два из составляющих кварка протона упадут в виртуальную черную дыру, это возможно для антикварка и лептон возникает, нарушая сохранение барионного числа.

Существование виртуальных черных дыр усугубляет парадокс потери информации черной дыры, поскольку любой физический процесс потенциально может быть нарушен взаимодействием с виртуальной черной дырой.

См. также

Ссылки